Định luật bảo toàn năng lượng

30

Định luật bảo toàn năng lượng là một trong những định luật cơ bản của tự nhiên. Ông lập luận rằng năng lượng không sinh khởi cũng không biến mất; trong bất kỳ quá trình vật lý nào nó chỉ chuyển hóa từ loại này sang loại khác hoặc truyền từ cơ thể này sang cơ thể khác. Có thể nói rằng định luật này thiết lập các điều kiện cho sự cân bằng năng lượng của các quá trình vật lý.

Định luật bảo toàn năng lượng không phải là hệ quả của bất kỳ định luật vật lý nào khác. Nó thu được là kết quả của sự khái quát hóa toàn bộ tập hợp các sự kiện thực nghiệm, bao gồm cả các hiện tượng quy mô lớn ở quy mô vũ trụ và nguồn gốc của chính chúng trong thế giới phân tử, nguyên tử và các hạt cơ bản. Những sự thật đặc trưng cho các quá trình cơ, nhiệt, điện từ, hạt nhân, hóa học và sinh học không có lý do gì để nghi ngờ tính đúng đắn của định luật bảo toàn năng lượng.

Ở dạng toán học tổng quát nhất, định luật này có thể được viết như sau:

$$\Delta E + \Delta U = A + Q.$$ (1)

Ở đây $\Delta E$ là độ biến thiên cơ năng của hệ, bằng tổng độ biến thiên động năng và thế năng của các vật có trong hệ đang xét; $\Delta U$ - sự thay đổi năng lượng bên trong của các phần của hệ thống; $A$ - công của ngoại lực; $Q$ là nhiệt mà hệ thống nhận được.

Khi xem xét bất kỳ quá trình cụ thể nào, định luật bảo toàn năng lượng thường được viết dưới dạng đơn giản hơn. Vì vậy, ở mức lời giải cơ học bài toán thường không được sử dụng trong truyền nhiệt bên trong ($Q = 0$). Trong trường hợp này đẳng thức giữ:

$$\Delta E + \Delta U = 0.$$

Một ví dụ về quá trình trong đó cơ năng được chuyển hóa thành nội năng là va chạm không đàn hồi.

Nếu lực cơ học tác dụng lên hệ chỉ phụ thuộc vào vị trí tương đối của vật thì

$$\Delta E = A,$$

và trong các hệ cô lập

$$\Delta E = 0.$$

Hai đẳng thức cuối cùng có thể thu được trực tiếp từ các định luật Newton. (Ví dụ, hãy xem xét sự rơi tự do của các vật thể trong trường trọng lực, như được thực hiện trong sách giáo khoa vật lý lớp 8). Do đó, chúng ta có thể nói rằng định luật bảo toàn năng lượng trong cơ học không độc lập, mặc dù định luật tổng quát về bảo toàn và biến đổi năng lượng (chúng ta hãy lưu ý lại điều này) không thể suy ra từ bất kỳ định luật vật lý nào khác.

Trong lý thuyết về các quá trình nhiệt, những bài toán như vậy thường được xem xét trong đó sự thay đổi cơ năng c có thể bị bỏ qua

31

thân cây. Từ đó suy ra rằng
$$\Delta U = A + Q.$$
Định luật bảo toàn năng lượng ở dạng này gọi là định luật nhiệt động thứ nhất *). Đối với hệ thống cách nhiệt $Q = 0$, và do đó
$$\Delta U = A.$$
Trong một số bài toán về hiện tượng điện từ, việc ghi lại định luật bảo toàn năng lượng cũng được đơn giản hóa, chẳng hạn khi $\Delta E = 0$ hoặc $Q = 0$. Cần nhớ rằng năng lượng của điện trường và từ trường tồn tại trong một hệ thống nhất định được bao gồm trong năng lượng bên trong của hệ thống.
Định luật bảo toàn năng lượng (cùng với định luật bảo toàn động lượng và các định luật bảo toàn khác rút ra từ vật lý, chưa được học ở trường trung học) là một công cụ đắc lực cho lời giải vật lý bài toán. Lý do chính của điều này là định luật bảo toàn năng lượng luôn có hiệu lực, bất kể diễn biến của quá trình và bản chất của các lực tác dụng. Định luật này cũng có thể được sử dụng khi diễn biến của quá trình nói chung là không xác định - chỉ các trạng thái ban đầu và cuối cùng của hệ thống được trích xuất. Ví dụ, đây là trường hợp trong vật lý hạt cơ bản.
Bây giờ chúng ta sẽ phân tích một số bài toán, trong đó việc áp dụng định luật bảo toàn năng lượng cho phép chúng ta hiểu tình huống trong đó các mô hình đường kính dẫn đến các phép tính toán học rất phức tạp và đôi khi thậm chí dẫn đến ngõ cụt.
Tất cả bài toán đều được lấy từ bài viết trong kỳ thi tuyển sinh tại MIPT năm 1970-1972.
Bài toán 1. Trên mặt phẳng nghiêng từ độ cao $h$ chiếc vòng bị nghiền nát mà không xuyên qua nhà sư. Xác định vận tốc của nó ở cuối mặt phẳng nghiêng.
bài toán này có thể được giải chỉ bằng định luật Newton. Nhưng

*) Thường thì phần mở đầu đầu tiên được gọi là sự tương ứng tổng quát hơn (1).

Cơm. 1.
lời giải như vậy thực tế không thể thực hiện được trong khuôn khổ một khóa học ở trường.
Hãy sử dụng định luật bảo toàn năng lượng.
Ban đầu vòng có thế năng $mgh$ (m là khối lượng của vòng); Đến cuối đường đi dọc theo mặt phẳng nghiêng, toàn bộ năng lượng này đã chuyển thành động năng, gồm năng lượng của chuyển động tịnh tiến $\frac{mv^2}{2}$ (v là tốc độ cuối cùng của khối tâm vòng) và năng lượng của chuyển động quay. Vì vòng không trượt nên tốc độ tuyến tính của tất cả các điểm của nó bằng tốc độ chuyển động tịnh tiến của toàn bộ vòng, tức là $v$. Do đó, động năng của chuyển động quay cũng như chuyển động tịnh tiến bằng $\frac{mv^2}{2}$.
Như vậy,
$$2 \cdot \frac{mv^2}{2} = mgh$$
Và
$$v = \sqrt{gh}.$$
Bài toán 2. Hai bình thông nhau có tiết diện $S_1 = 100 \text{ cm}^2$ và $S_2 = 200 \text{ cm}^2$ chứa đầy nước và đóng kín bằng piston. Hệ thống đang ở trạng thái cân bằng. Ở vị trí này, phông chữ lớn $m = 1$ke được đặt trên piston lớn hơn. Xác định lượng chổi sẽ được giải phóng trong hệ thống trong quá trình chuyển sang vị trí cân bằng mới (Hình 1).

32

Dưới tác dụng của trọng lượng của tải, hệ sẽ luôn chuyển động. Bạn có thể tính trực tiếp lượng nhiệt tỏa ra trong quá trình chuyển động, nhưng để làm được điều này, bạn cần biết nhiều dữ liệu bổ sung - lượng nước, độ nhớt của nó, hình dạng của ống nối, tính chất chuyển động của nước, v.v. Lời giải được đơn giản hóa đáng kể nếu bạn sử dụng định luật bảo toàn năng lượng.

Vì ở thời điểm đầu và cuối, cả nước và trọng lượng đều tích tụ nên nhiệt chỉ tỏa ra do thế năng của hệ giảm $W$

$$Q = W_{\text{н}} - W_{\text{к}},$$

(1)

trong đó $W_{\text{н}}$ và $W_{\text{к}}$ là giá trị ban đầu và cuối cùng của thế năng. Dễ dàng nhận thấy thế năng của vật nặng giảm còn thế năng của nước tăng lên.

Hãy viết các biểu thức của $W_{\text{н}}$ và $W_{\text{к}}$ (hãy coi bình chứa là mức 0):

$$W_{\text{н}} = \rho g \frac{h^2}{2} (S_1 + S_2) + mgh$$

(2)

(h là mực nước ban đầu trong bình hàng ngày),

$$W_{\text{к}} = \rho g \frac{h^2}{2} S_1 + \rho g \frac{h^2}{2} S_2 + mgh_2$$

(3)

($h_1$ và $h_2$ lần lượt là cấp độ cuối cùng trong bình thứ nhất và thứ hai).

Các giá trị $h_1$ và $h_2$ có thể được tìm thấy từ điều kiện cân bằng của hệ và khối lượng không đổi của nước:

$$\rho gh_1 = \rho gh_2 + \frac{mg}{S_2},$$

(4)

$$\rho h_1 S_1 + \rho h_2 S_2 = \rho h (S_1 + S_2).$$

(5)

Giải hệ phương trình (1)–(5), ta tìm được

$$Q = \frac{m^2 g S_1}{2 \rho S_2 (S_1 + S_2)} \approx 0,08 \text{ дж.}$$

Bài toán 3. Phương pháp nào nổi bật trong mạch như hình 2.

Hình 2, khi chuyển phím $K$ từ vị trí 1 sang vị trí 2?

bài toán này, thoạt nhìn không có gì chung với cái trước, rất giống với sự chuyển đổi vị trí - ngược lại. Do đó, quá trình sạc lại tụ điện xảy ra và một dòng điện chạy qua mạch. Nếu biết điện trở của dây dẫn và nguồn dòng điện thì dòng điện có thể được xác định là hàm của thời gian và có thể tính được nhiệt sinh ra trong mạch.

Định luật bảo toàn năng lượng cho phép thu được điện tích ngay cả khi không biết độ lớn của quá trình, có nghĩa là năng lượng của tụ điện không thay đổi (trong trường hợp thứ nhất, cũng như trong trường hợp thứ hai, tổng e.d.c. của các nguồn sạc cho tụ điện bằng $E$). Vì vậy mọi công do nguồn dòng điện thực hiện đều phải chuyển thành nhiệt. Và công việc này không khó để tính toán. Nguồn có e. d. c. $2E$, không thực hiện công nào vì ở vị trí 2 nó bị ngắt khỏi mạch điện. Nguồn từ e. d. c. $E$ có ​​tác dụng vượt qua điện tích $q = 2CE$.

Vậy nhiệt lượng tỏa ra trong mạch bằng

$$Q = A = E \cdot 2CE = 2CE^2.$$

Bài toán 4. Một tụ điện có công suất $C_1 = 1$ uF được tích điện bằng hiệu giữa $U_0 = 300$ V. $K$ được đặt

33

Cơm. 3.

Một tụ điện không tích điện có xương $C_2 = 2$ µF được nối với nó thông qua diode D và độ tự cảm L (Hình 3). Menchalas sẽ bị tính phí chênh lệch bao nhiêu sau khi đóng khóa K? Điện trở của dây không đáng kể. Điện trở của diode theo hướng thuận có thể được coi là bằng 0 và theo hướng ngược lại, nó có thể được coi là vô cùng lớn. Giá trị của độ tự cảm L đủ lớn để quá trình nạp điện diễn ra chậm.

Tại thời điểm đầu tiên nạp điện, tụ điện có năng lượng điện dự trữ $\frac{C_1 U_0^2}{2}$.

Sau khi đóng chìa khóa, trong mạch xuất hiện một dòng điện; điện tích và do đó năng lượng của tụ thứ nhất giảm và tụ thứ hai tăng. Kết thúc quá trình, khi dòng điện trong mạch dừng thì tụ điện sẽ có năng lượng điện lần lượt là $\frac{C_1 U_1^2}{2}$ và $\frac{C_2 U_2^2}{2}$.

Tổn thất nhiệt trong hệ thống trong quá trình này có thể được bỏ qua vì điện trở mạch điện không đáng kể. Sự phát xạ năng lượng vào không gian là không đáng kể, vì quá trình sạc lại diễn ra chậm do có độ tự cảm cao trong mạch.

Do đó, định luật bảo toàn năng lượng có thể được viết như sau:

$$\frac{C_1 U_1^2}{2} + \frac{C_2 U_2^2}{2} = \frac{C_1 U_0^2}{2}.$$ (1)

Ngoài ra, tất nhiên, hệ thống vẫn giữ lại điện tích, nghĩa là

$$C_1 U_1 + C_2 U_2 = C_1 U_0.$$ (2)

Từ hệ thống điều khiển (1) và (2) ta thu được mức tăng cần thiết

$$U_2 = \frac{2 C_1 U_0}{C_1 + C_2} = 200 \text{ e}.$$

Sau đó và e. Tính điện áp trên tụ thứ nhất $U_1$ và công bố kết quả.

Bài toán 5. Tell foremimic (Hình 4) là một buồng rỗng có diện tích bề mặt bên trong $S = 2 \text{ cm}^2$, có diện tích loại bỏ nhỏ $\sigma = 1 \text{ mm}^2$. Bề mặt bên trong của máy ảnh làm biến dạng một phần ánh sáng (hệ số vị trí $k = 0,01$) và làm tán xạ phần còn lại. Phần nào của luồng ánh sáng đi vào đầu vào của máy ảnh sẽ thoát ra qua nó?

Đặc tính định tính của bức xạ ánh sáng bên trong buồng có thể được mô tả như sau. Ánh sáng chiếu vào tường, một phần trăm năng lượng của nó bị hấp thụ và phần năng lượng còn lại bị tiêu tán. Một phần ánh sáng tán xạ được giải phóng thông qua sự từ chối, phần còn lại sẽ rơi trở lại bề mặt của bộ tách sóng quang và một phần trăm năng lượng này (ít hơn năng lượng ban đầu) sẽ bị hấp thụ và 99 phần trăm sẽ bị tán xạ, v.v.

Vì vật chịu trách nhiệm nhỏ và hệ số hấp thụ nhỏ nên mỗi “phần” ánh sáng nhỏ trước khi nó đi ngược lại qua đáp số

34

Cơm. 5. Hình 6.

chất rắn hoặc sẽ bị các bức tường hấp thụ, theo quy luật, sẽ đi qua khoang thu nhiều lần theo nhiều hướng khác nhau. Vì hướng của ánh sáng được xác định bởi các yếu tố ngẫu nhiên nên các dòng năng lượng theo các hướng khác nhau phải được cân bằng. Bức xạ đẳng hướng (phân bố đều theo mọi hướng) xảy ra trong buồng.

Hãy viết điều kiện cân bằng năng lượng cho bức xạ đó. Cho một luồng ánh sáng (năng lượng trên một đơn vị thời gian) $P_0$ đi vào buồng, một luồng $P_1$ thoát ra và bị hấp thụ - $P_2$. Theo định luật bảo toàn năng lượng

$$P_0 = P_1 + P_2.$$ (1)

Hãy biểu thị $P_2$ đến $P_1$. Vì bức xạ có tính đẳng hướng nên bất kỳ khu vực nào cũng nhận được quang thông tỷ lệ với kích thước của khu vực đó. Nếu một dòng chảy $P_1$ đi ra qua diện tích nghịch đảo $\sigma$ thì một dòng chảy bằng $\frac{P_1}{\sigma}(S - \sigma)$ rơi vào các vách của buồng có diện tích $S - \sigma$.

Pozny

$$P_2 = k \frac{P_1}{\sigma}(S - \sigma) \approx kP_1 \frac{S}{\sigma}.$$ (2)

Từ (1) và (2) ta tìm được đại lượng mong muốn

$$\frac{P_1}{P_0} = \frac{1}{1 + k \frac{S}{\sigma}} = \frac{1}{3}.$$

Tóm lại, chúng tôi khuyên bạn nên tự mình giải quyết bài toán, tương tự như những gì được thảo luận trong bài viết.