Lời giải bài toán Kỳ thi tuyển sinh VZMSH 1973

21

Lời giải bài toán công trình thử nghiệm giới thiệu của VZMSH 1973
A. L. Toom

Trong số này, chúng tôi xuất bản lời giải bài viết thú vị nhất bài toán từ tác phẩm giới thiệu về VZMSH năm 1973 (xem «Kvant» Số 1, 1973, trang 49).

Bài toán 2. Có số nguyên nào như số có $(k+1)$ chữ số không. Hãy biểu thị chữ số đầu tiên của nó bằng $x$ và số còn lại sau khi gạch bỏ nó bằng $y$. Vậy số ban đầu là $10^k x + y$. Nó trùng với điều kiện với 57$y$:

$$10^k x = 56y.$$

Vì 56 chia hết cho 7 nên $x$ chia hết cho 7. Nhưng $x$ là một chữ số nên nó là $x = 7$ và $y = 10^k/8$.

Với $k \geq 3$ thì số $y$ là số nguyên. Bằng cách nhấp vào $k = 3$, chúng tôi nhận được một trong những đáp số có thể:

$$10^k x + y = 7125.$$

Bài toán 5. 4 số được viết trên bảng. Chúng được cộng theo mọi cách có thể theo cặp và nhận được các tổng bằng số sau: 2, 4, 9, 9, 14, 16. Những con số nào được viết trên bảng?

Chúng ta hãy biểu thị số nhỏ nhất trong số ban đầu bằng $A$, số lớn tiếp theo là $B$, số tiếp theo là $C$ và số lớn nhất là $D$. Vì vậy, $A \geq B \geq C \geq D$. Khi đó tồn tại các bất đẳng thức sau giữa tổng của chúng bằng hai:

$$A + B \leq A + C \left\{ \begin{array}{l} \leq A + D \\ \leq B + C \end{array} \right\} B + D \leq$$

Sử dụng những bất đẳng thức này, có thể dễ dàng phân phối rõ ràng các giá trị số đã cho trong các điều kiện giữa các tổng, đây là điều đã được thực hiện. Trong số bốn người trong số họ, đáp số được tìm thấy:

$$A = -1,5; \quad B = 3,5;$$

$$C = 5,5; \quad D = 10,5.$$

Cần kiểm tra xem hai số tiền còn lại có đúng như quy định trong điều kiện hay không.

Bài toán 6. Có thể xét 9 số: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 trong một vòng tròn sao cho tổng của ba số bất kỳ liên tiếp đều chia hết cho 3 và là: a) lớn hơn 9; b) hơn 12?

a) Có thể được. Ví dụ: 1, 9, 2, 7, 3, 5, 4, 6, 8.

b) Điều đó là không thể được. Đặt tổng của mỗi bộ ba số liền kề ít nhất là 15. Khi đó, vì tổng của tất cả

22

Số các số từ 1 đến 9 bằng 45, tổng của mỗi bộ ba là 15. Nhưng khi đó các số cách nhau ba chữ số phải bằng nhau, điều này là không thể.

Bài toán 7. Tam giác ABC sau khi quay gần đỉnh A chiếm vị trí $AB_1C_1$. Chứng minh rằng nếu đường thẳng AC chia đôi đoạn $BB_1$ thì đường thẳng $AB_1$ chia đôi đoạn $CC_1$.

Chúng ta hãy biểu thị bằng $M$ điểm giao nhau của các đường $AC$ và $BB_1$. Hai trường hợp cách nhau.

a) $M$ giống với $A$. Khi đó $A$ là tâm của đoạn $BB_1$ và do đó góc quay là $180^\circ$. Nhưng khi đó $A$ là tâm của đoạn $CC_1$, và tất nhiên, $AB_1$ chia đôi $CC_1$.

6. $M$ không giống với $A$. Sau đó $\triangle ABM = \triangle AB_1M$ ở ba phía. Vì vậy $MAB = MAB_1$.

Nếu điểm $C$ nằm cùng phía với $A$ với điểm $M$ thì các góc $CAB$ và $CAB_1$ trùng với góc này. Nếu điểm $C$ nằm ở phía đối diện thì các góc $CAB$ và $CAB_1$ liền kề với điểm đó. Trong cả hai trường hợp

$$CAB_1 = CAB = C_1AB_1,$$
nghĩa là, $AB_1$ là bissertis của góc $A$ trong $\triangle CAC_1$. Vì nó cách đều nên $AB_1$ cũng là trung tuyến, đây là điều cần chứng minh.

Bài toán 8. Hãy tưởng tượng số 203 là tổng của một số tổng dương, sao cho tích của các tổng này có thể là 203.

Các số được yêu cầu thậm chí có thể được lấy dưới dạng số nguyên:

$$203 = 29 + 7 + 1 \dots + 1 = 167 \text{ раз} = 29 \cdot 7 \cdot 1 \dots 1. 167 \text{ раз}$$

(Với các số không nguyên thì còn rất nhiều đáp số khác).

Bài toán 10. Có thể chia mặt phẳng thành bao nhiêu phần của mô hình bởi 4 đường thẳng khác nhau? Chúng tôi áp dụng nó cho mọi trường hợp.

Nếu tất cả các đường thẳng song song thì có năm phần. Hãy chứng minh rằng trong mọi trường hợp khác có ít nhất 8 phần. Hãy vẽ một vòng tròn lớn sao cho tất cả các điểm giao nhau đều nằm bên trong nó (xem Hình 1, trong đó mọi thứ bên trong vòng tròn không được vẽ cho rõ ràng). Tám vòng tròn không giao nhau xuất hiện từ đó, chia thành tám khu vực. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng tất cả các khu vực này thuộc về các phần khác nhau. Giả sử rằng hai vùng thuộc cùng một phần (các vùng $A$ và $B$ trong Hình 1). Khi đó bốn vòng giới hạn chúng thuộc về hai đường thẳng song song (xem Hình 1). Nhưng sau đó một số đường khác cắt chúng và vẫn tách $A$ khỏi $B$.

Bây giờ chúng ta hãy ước tính số lượng bộ phận tối đa có thể. Chúng tôi sẽ tiến hành từng dòng một. Lý do chung chung sẽ dễ dàng hơn: hãy lên máy bay

23

Cơm. 3.

$n$ các đường thẳng đã được thực hiện và chúng tôi đang tiến hành lần thứ $n + 1$. Rõ ràng, không có nhiều hơn $n$ điểm giao nhau trên đó, chia nó thành không quá $n + 1$ phần. Mỗi phần chia một số phần thành hai. Do đó, số lượng bộ phận tăng không quá $n + 1$. Đối với một phần thẳng luôn có hai phần, vì vậy đối với bốn phần thì không còn phần thẳng nữa

$$2 + 2 + 3 + 4 = 11.$$

Vì vậy, có năm phần, hoặc ít nhất là tám phần và không giống nhau nữa. Các ví dụ trong Hình 2 cho thấy tất cả các trường hợp này đều có thể xảy ra.

Ghi chú. Có thể sử dụng các phương pháp khác lời giải: cách liệt kê tài khoản này hoặc cách khác. Lý luận của chúng ta có thể dễ dàng được khôi phục về trường hợp dòng $n$ và cho phép chúng ta chứng minh rằng số phần bằng $n + 1$ hoặc không nhỏ hơn $2n$ và không lớn hơn $\frac{1}{2} (n^2 + n + 2)$. Tuy nhiên, đối với $n$ lớn thì không phải tất cả các số trong dự án này đều có thể thực hiện được. (Còn con số nào có thể, con số nào không thì không biết).

Bài toán 11. Vào buổi sáng, Kolya và Olya quyết định đổ hydro. Kolya mở vòi, đổ đầy bình tưới của mình, và ngay sau anh ta, Olya đặt bình tưới của mình dưới dòng suối. Kolinaleika hoàn thành trong 15 giây và Olina sau 10 giây. Sau khi đổ đầy bình tưới, mỗi đứa trẻ có thể bắt đầu đổ hydro. Nước rơi từ Kolinoyeika trong 60 giây và từ Olina trong 45 giây. Ngay khi bình sữa cạn, mỗi lần thay bình, chúng ta thay bình dưới dòng nước, và nếu lúc này chúng ta bắt đầu đổ nước bằng bình khác thì chúng ta sẽ chứng minh cho đến khi hết vòi, và ngay lập tức bắt đầu đổ đầy bình sữa. Khi một người không nhặt leika của mình. Khi người ta không múc nước, nước sẽ đổ vào thùng đặt dưới vòi. Nếu không có ai lấy nước thì trong 15 phút thùng sẽ đầy. Sẽ mất bao lâu sau khi mở vòi để đổ đầy thùng nếu Kolya và Olya đã đổ hydro suốt thời gian qua? Ai sẽ là người đầu tiên múc nước sau tôi, như nước được múc qua mép thùng?

bài toán này có thể được giải quyết một cách thuận tiện bằng cách sử dụng biểu đồ. Hãy vẽ sơ đồ các hành động của Kohl và Olya. Làm đầy phổi sẽ được biểu thị bằng cách loại bỏ, tưới nước bằng màu đỏ, chờ đợi bằng màu đen. Thật thuận tiện để lấy thang đo như sau: có 5 giây trong một ô. Phần đầu của biểu đồ được hiển thị trong Hình 3. Nếu bạn hoàn thành biểu đồ đến ô thứ 50, bạn sẽ nhận thấy rằng ô thứ 48 về cơ bản trùng với ô thứ 2 (Kolya 5 giây lấp đầy phổi của anh ấy và Olya chờ đợi); Ngày 49 trùng với ngày 3; Thứ 50 - từ thứ 4, v.v. Do đó, hành động của Kolya và Olya sẽ được lặp lại định kỳ sau mỗi 46 ô (230 giây). Đồ thị cho thấy trong một chu kỳ, nước được đổ vào thùng trên 29 ô. Vì 15 phút tương ứng với 180 ô và 180 = $6 \cdot 29 + 6$, nên 6 tiết đầy đủ và một phần của tiết thứ bảy phải trôi qua cho đến khi thùng đầy.

Sử dụng biểu đồ của kỳ đầu tiên, chúng tôi xác định rằng phần này là 11 ô. Tổng cộng, cho đến khi thùng đầy, $6 \cdot 46 + 11 = 287$ ô sẽ trôi qua, tức là 23 phút 55 giây. Sử dụng cùng một biểu đồ, chúng ta thấy rằng Olya sẽ là người đầu tiên đổ đầy nước vào phổi sau khi đổ đầy nước.