Bài toán M211—M215; F223—F227

24

Bài toán
M211-M215; F223-F227

M211. Cho $n$ điểm, $n > 4$. Chứng minh rằng bạn có thể nối chúng bằng các mũi tên sao cho từ mỗi điểm bạn có thể đến từng điểm bằng cách đi theo một hoặc hai mũi tên (mỗi điểm có thể được nối bằng một mũi tên chỉ theo một hướng; bạn chỉ có thể đi theo mũi tên theo hướng chỉ trên đó). (8 lớp)

G. Sh. Friedman

M212. Tại phiên tòa, 14 đồng xu được đưa ra làm bằng chứng. Chuyên gia phát hiện ra bảy cái trong số đó là giả, cái yếu nhất là thật, ông tìm ra cái nào là giả, cái nào là thật. Tòa án chỉ biết rằng tiền giả có giá trị như nhau, tiền thật có giá trị như nhau và tiền giả nhẹ hơn tiền thật. Chuyên gia này muốn chứng minh trước tòa bằng cách cân trên chiếc cân cốc không dính bụi bẩn rằng tất cả những đồng tiền giả mà ông phát hiện được đều là tiền giả, còn lại là tiền thật. Liệu anh ấy có thể làm được điều đó không? (lớp 8, lớp 9)

R. V. Freivald

M213. Cho một góc có đỉnh $O$ và một đường tròn tiếp xúc với các cạnh của nó tại các điểm $A$ và $B$. Một tia được vẽ từ điểm $A$ song song với $OB$, cắt đường tròn tại điểm $C$

25

Đoạn OC cắt đường tròn tại điểm E, các đường thẳng AE và OB cắt nhau tại điểm K. Chứng minh OK = KB. (lớp 9, lớp 10)

E. V. Sallinen

M214. Tam giác vuông f(x) = ax² + bx + c sao cho phương trình f(x) = x không có nghiệm thực. Chứng minh rằng phương trình f(f(x)) = x cũng không có nghiệm thực. (10 lớp)

Yu. I. Ionin

M215.* Trên một tờ giấy trắng kẻ ô vuông có vô số n ô được tô màu đen. Tại thời điểm t = 1, 2…, việc đổi màu đồng thời tất cả các ô của trang tính sẽ diễn ra theo quy tắc sau: mỗi ô k nhận được màu mà hầu hết ba ô có ở thời điểm trước đó: chính ô k và các ô lân cận ở bên phải và phía trên (nếu hai hoặc ba ô này màu trắng thì k trở thành màu trắng, nếu hai hoặc ba ô màu đen thì đen).

a) Chứng minh rằng sau một thời gian hữu hạn sẽ không còn ô đen nào trên tờ giấy.

6. Chứng minh rằng ô đen sẽ biến mất không muộn hơn thời điểm t = n. (10 lớp)

A. L. Toom

F223. Mô hình tàu được đẩy và báo vận tốc v₀ = 10 m/s. Khi mô hình chuyển động, nó chịu tác dụng của một lực cản tỷ lệ thuận với tốc độ: F = -kv. a) Tìm quãng đường mà mô hình đã đi được trong thời gian vận tốc của nó giảm đi một nửa. b) Tìm đường đi mà mô hình bao phủ trước khi nó dừng hẳn. Xét k = 0,5 ke/s. Khối lượng mô hình m = 0,5 ke. (8 lớp)

F224. Dọc theo các đường dốc bằng gỗ tạo thành một góc α với đường chân trời, một hộp được chèn phía sau sợi dây. Hệ số ma sát của hộp đối với điểm hội tụ μ. Dây phải nghiêng một góc bao nhiêu so với đường chân trời để nhét được hộp có số nhỏ nhất: a) đều, 6) với gia tốc a cho trước? (lớp 8, 10)

F225. Hai chất lỏng không trộn lẫn được đổ vào ly: cacbon tetraclorua CCl₄ và nước. Ở áp suất khí quyển bình thường, CCl₄ sôi ở 76,7° C, nước - ở 100° C. Khi một cốc thủy tinh được đun nóng đồng đều trong nồi cách thủy, quá trình sôi ở bề mặt tiếp xúc chất lỏng bắt đầu ở nhiệt độ 65,5° C. Xác định chất lỏng nào sôi nhanh ở “biên giới” sôi như vậy và sôi bao nhiêu lần. Áp suất hơi bão hòa của nước ở 65,5°C là 192 mm/phút. cm. (lớp 9, lớp 10)

F226. Một động cơ điện DC được kích thích độc lập (có nam châm vĩnh cửu) nâng tải với tốc độ v₁ bằng cách sử dụng một sợi dây quấn quanh trục động cơ. Khi không có tải trọng, sợi dây không trọng lượng tăng lên với tốc độ v₀. Tải tương tự sẽ giảm ở tốc độ nào nếu xảy ra đoản mạch trong mạch phần ứng, do đó cuộn dây phần ứng bị đoản mạch? Chúng tôi có khiếu nại về vòng bi. (10 lớp)

F227. Hai cuộn dây được quấn trên lõi ferrite horopod có độ thấm từ μ = 2000: một cuộn sơ cấp có n₁ = 2000 vòng và một cuộn thứ cấp có n₂ = 4000 vòng. Khi đặt điện áp U₁ = 100,0 V vào cuộn sơ cấp, trên cuộn thứ cấp hở, nếu lõi được thay thế bằng lõi có cùng kích thước nhưng làm bằng ferit có μ’ = 20. Rò rỉ từ thông và tổn thất trong lõi không được tính đến. (10 lớp)