Задачи М211—М215; Ф223—Ф227

24

Задачи
M211-M215; Ф223-Ф227

M211. Дано $n$ точек, $n > 4$. Докажите, что можно соединить их стрелками так, чтобы из каждой точки в каждой можно было попасть, пройдя либо по одной стрелке, либо по двум (каждый две точки можно соединить стрелкой только в одном направлении; идти по стрелке можно только в указанном на ней направлении). (8 кл.)

Г. Ш. Фридман

M212. На суде в качестве вещественного доказательства предъявлено 14 монет. Эксперт обнаружил, что семь из них — фальшивые, ослабленные — настоящие, причем узнал, какие именно фальшивые, а какие — настоящие. Суд же знает только, что фальшивые монеты есть одинаково, настоящие монеты всеят одинаково и фальшивые легче настоящих. Эксперт хочетремя взвешивания на чашечных весах без гриь доказать суду, что все обнаруженные им фальшивые монеты действительно являются фальшивыми, а остальные — настоящими. Сможет ли он это сделать? (8, 9 кл.)

Р. В. Фрейвалд

M213. Дан угол с вершиной $O$ и окружность, касающаяся его сторон в точках $A$ и $B$. Из точки $A$ параллельно $OB$ проведен луч, пересекающий окружность в точке $C$

25

Отрезок OC пересекает окружность в точке E, а прямые AE и OB пересекаются в точке K. Доказать, что OK = KB. (9, 10 кл.)

Е. В. Саллинен

M214. Квадратный треугольен f(x) = ax² + bx + c таков, что уравнение f(x) = x не имеет вещественных корней. Доказать, что уравнение f(f(x)) = x также не имеет вещественных корней. (10 кл.)

Ю. И. Ионин

M215.* На бесконечном клетчатом листе белой бумаги n клеток закрашено в черный цвет. В момент времени t = 1, 2… проискодит одновременное перекрашивание всех клеток листа по следующему правилу: каждая клетка k приобретает тот цвет, который имело в предыдущей моменте большинство из трех клеток: самой клетки k и ее соседей справа и сверху (если две или три из этих клеток были белыми, то k становится белой, если две или три из них были черными, — то черной).

a) Доказать, что через конечное время на листе не останется черных клеток.

6. Доказать, что черные клетки исчезнут не позже, чем в момент времени t = n. (10 кл.)

А. Л. Тоом

Ф223. Модели корабля толчком сообщили скорость v₀ = 10 m/c. При движении модели на нее действует сила сопротивления, пропорциональная скорости: F = -kv. a) Найти путь, проиденный модель за время, в течение которого ее скорость уменьшилась вдвое. b) Найти путь, проиденный модель до полной остановки. Считать k = 0,5 ke/c. Масса модели m = 0,5 ke. (8 кл.)

Ф224. По деревянным сходям, образующим угол α с горизонтом, вставкают за вервку ящик. Козффициент трения ящика о сходии μ. Под каким углом к горизонту следует направить вервку, чтобы с наименьшим числом вставкать ящик: a) равномерно, 6) с заданнымускорением a? (8, 10 кл.)

Ф225. В стакан налиты две несмешивающей жидкости: четырехлорисный углерод CCl₄ и вода. При нормальном atmosферном давлении CCl₄ кипит при 76,7° C, вода — при 100° C. При равномерном нагревании стакана в водной бане кипение на границе раздела жидкости начинается при температуре 65,5° C. Определить, какая из жидкости быстро выкипает при таком «пограничном» кипении и во сколько раз. Давление насыщенных паров воды при 65,5° С составляет 192 mm pm. cm. (9, 10 кл.)

Ф226. Электромотор постоянного тока с независимым возбуждением (с постоянным магнитом) поднимает груз со скоростью v₁ при помощи нити, наматывающейся на ось мотора. В отсутствие груза не весомая нить поднимается со скоростью v₀. С какой скорость будет опускаться тот же груз, если в цепи якоря произойдет замыкание, в результате которой обмотка якоря оказывается замкнутой накороткой? Треннем в подшипниках претензь. (10 кл.)

Ф227. На горопадный сердечник из феррита с магнитной проницаемостью μ = 2000 намотаны две катушки: первичная, содержащая n₁ = 2000 витков, и вторичная с n₂ = 4000 витков. Когда на первичную катушку было подано напряжение U₁ = 100,0 в, на разомкнутой вторичной катушке, если сердечник заменить на сердечник того же размера, но из феррита с μ’ = 20. Рассеяние магнитного потока и потери в сердечнике не учитваны. (10 кл.)