Решения задач М170—М173; Ф188—Ф192

26

Решения задач

M170—M173; Ф188—Ф192

M170. a) Пусть $M$ и $N$ — точки касания окружности, вписанной в треугольник ABC, со стороны AB и AC, P — точка пересечения прямой MN с биссекторной угла B. Докажите, что угол BPC прямой.

б). Докажите более общий факт: если точка O, расположенная внутри треугольника, максима, что $BOC - BAO = 90^\circ$, М и N — основания перпендикуляров, опущенных из точки O на стороны AB и AC, P — точка пересечения прямых BO и MN, то $BPC = 90^\circ$ (рис. 1).

Задча a), действительно, частный случай 6): если O — центр вписанной окружности, то BOC в сумме с углами OCB и OBC равен 180°, а BAO в сумме с теми же углами равен половине суммы углов треугольника, то есть 90°.

Позному решим сразу задачу 6). Пусть для определения точки P лежит на продолжении отрезка MN за точку N, как на нашем рисунке. (Другие случаи разбияются аналогично, вы без труда справитесь с ними самостояльно.) По условию $OMA = ONA = 90^\circ$, поэтому вектор четырехугольника OMNA можно описать окружность, следовательно,

$$OMM = OAM = BAO.$$

Покажем теперь, что точки O, N, P и C лежат на одной окружности. Действительно, $CNP = MNA = 90^\circ - MNO = 90^\circ - BAO = 180^\circ - BAO$.

Используя условия задачи: $BOC - BAO = 90^\circ$, получаем $CNP = CPO$.

Наконец, из того, что четырехугольник CONP вписанный, следует нужное нам равенство $CPO = CNO = 90^\circ$.

И. Ф. Шарыцин

M171. На плоскости нарисован правильный шестмерольник, длина стороны коморого равна 1. При помощи молко линейки построить отрезок длины $\sqrt{7}$.

Вы без труда доказете, что длина красных отрезков на рисунке 2 равна $\sqrt{7}$.

Рис. 2.

M172. Докажите, что при любом простом р число $\underline{11\dots1}$ $\underline{22\dots2}$ $\underline{33\dots3}$ $\dots$ $\underline{99\dots9}$ $= \underline{10\dots02}$ $\underline{0\dots03}$ $\dots$ $\underline{0\dots08}$ $\underline{0\dots09}$ $= 10^8p + 2 \cdot 10^7p + 3 \cdot 10^6p + \dots + 8 \cdot 10^p + 9 = C$, $\underline{11\dots1} = E$.

Ясно, что $B = E \cdot C$, $C - A = (10^8p - 10^8) + 2 (10^7p - 10^7) + 3 (10^6p - 10^6) + \dots + 8 (10^p - 10)$, $10^p - 10 = (9 \cdot E + 1) - 10 = 9 (E - 1)$.

Согласно малой теореме Ферма (см. «Квант» №10 (1972)) число $n^p$ — n делится на $p$ при любом простом $p$ и любом натураль-

27

В частности, $10^p - 10, 10^2p - 10^2, \dots, 10^8p - 10^8$ делятся на $p$. Значит, $C - A$ делится на $p$, и $9(E - 1)$ делится на $p$.

Так как сумма цифр числа $A$ равна 45, то $A$ делится на 9, и значит, $A(E - 1)$ делится на 9 $(E - 1)$. Следовательно, $A(E - 1)$ делится на $p$.

Тем самым, $B - A = EC - AE + AE - A = E(C - A) + A(E - 1)$ делится на $p$, что и требовалось доказать.

М. Л. Гервер

М173. В квадратной таблице $4 \times 4$ расстояний числа 1, 2, 3, …, 16 мак, что сумма чисел всех строке в каждой строке, в каждой стольце и на каждой из двух диагоналей равна одному и тому же числу, причем 1 и 16 стоян в противоположных углах таблицы. Доказим, что в этом квадратном квадратном сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра, равна 17. Для чисел 1 и 16 это так по условию. Будем считать, что 1 стоит в верхнем левом углу, а 16 — в правом нижнем, тогда два других числа на этой же диагоналии — обозначим их через $a$ и $a'$ — удовлетворяют равенству $a + a' = 17$. Условимся всегда число, дополнительное число $x$ до 17, обозначать через $x' : x' = 17 - x$.

Воспользовемся теперь обозначениями, приведенными на рисунке 3 ($S_i$ обозначают суммы чисел в соответствии клетках).

Верны следующие равенства:
$$S_1 + c + d + a + a' + S_2 + S_3 + c + d + a + a' + S_4 + 2(b + c + d + e) = 34 \cdot 6$$

Рис. 3.

Рис. 4.

Рис. 5.

28

Рис. 6.

Ф188. Холодильник мощностью $P$ за время $t$ превращил в лед $n$ литров воды, коморя перевоначально имела температуру $t^\circ$ С. Какое количество метла выделилось в комнате за это время?

Из принципи работы любой холодильной установки следует, что в теплопереходит как все энергия, потребляемая холодильником от сети, так и энергия, которую отделют охлаждаемые продукты (в данном случае — вода). Это означает, что количество теплла, выделившегося в комнате за время $t$, $Q = P\tau + c_B m_B t^\circ + \lambda m_B$,

где $m_B = n$ — масса воды, выраженная в ккал, $c_B$ — удельная теплопроемкость воды и $\lambda$ — удельная теплота плавления льда.

И. Ш. Слободецкий

Ф189. Заряд $q = 10^{-8}$ к равномерно распределен по душе окружности радиуса $R = 1$ см с углом расстояния воды и $\lambda = 2/3$ π радиан. Определите напряженность электрической поля в центре окружности.

а) Разобъем дуг на $n$ равных частей, каждая из которых имеет заряд $q/n$. При достижении большим $n$ ($\pi R/n \ll R$) эти заряды можно считать точными. Каждый из зарядов создает в центре окружности поле с напряжностью $\Delta E_i$, равной по величины

$$\Delta E_i = k \frac{q}{nR^2},$$

где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 9.10^9 \text{ nm}^2/\text{k}^2$. Направления векторов $\Delta E_i$ показаны на рисунке 6,a.

Чтобы найти напряженность суммарного поля $E = \sum_{i=1}^{n} \Delta E_i$, будем последовать только складывать эти векторы, приставляя начало каждого из векторов к концу предыдущего (рис. 6,6). Точность определения величины $E$ тем выше, чем больше $n$.

Легко заметить, что при достижении большим $n$ ломанную, которую образуют при сложении векторов $\Delta E_i$, можно заметить полуокружность, причем величина вектора $E$ численно равна ее диаметру. Для полуокружности $l$ равна

$$l = n \Delta E_i = n \frac{kq}{nR^2} = \frac{kq}{R^2}.$$

С другой стороны, $l = \pi E/2$.

Отсюда

$$E = \frac{2l}{\pi} = \frac{2kq}{\pi R^2} = 5.7 \cdot 10^5 \text{ σ/m}.$$

6. Задчаа для дуги с произвольным углом расвора $\varphi$ решается аналогично. В этом случае вектор $E$ является хордой дуги окружности (рис. 7,6). Длина дуги $l = n \Delta E_i$, центральный угол — $\varphi$ (pad) ($\varphi$ — максимальный угол между векторами $\Delta E_i$).

Обозначим радиус окружности $r$ и выразим через него длину дуги $l$ и хорды $E$:

$$l = r \varphi, \quad E = 2r \sin \frac{\varphi}{2}.$$

Но $l = n \Delta E_i = kq/R^2$, следовательно,

$$E = 2 \frac{kq}{\varphi R^2} \sin \frac{\varphi}{2}.$$

При $\varphi = 2/3$ π получим

$$E = 7.4 \cdot 10^5 \text{ σ/m}.$$

В. Г. Светmozаров

Ф190. Груз привазан на веревке к брусу квадратного сечения $c$ ребром $a$ (рис. 8). Длина веревки $l = na$ ($n$ — целое число). Грузу сообщена скорость $V$ в направлении, перpendicularном веревке. За какое время все веревка намотается на брусу?

Рассмотрим сучай, когда в начальной момент веревка параллельна одной из боковых граней бруса ($\alpha = 0$). Груз начинает движаться вокруг ребра $A$ по окружности радиуса $l$ с линейной скоростью $V$. Через четверть оборота веревка коснется грани бруса, груз становится с прежней линейной скоростью по окружности радиуса $l - a$. Еще через четверть оборота радиус окружности станет $l - 2a$ и т. д.