Движение заряженных частиц в электрическом поле

35

Движение заряженных частц в электрическом поле

Характер движения тела (вид его траектории, формулы, выражение зависимости перемещения и скорости тела от времени и т. д.) не зависит от природы действующего на тело силы. Он определяется только тем, как эта сила зависит от координат тела и от времени. Поэтому различные по внешнему виду задачи, в которых зависимость силы, например, от координат, одинаковы, решаются современно одинаково. Это позволяет при решении многих задачи на движение заряженных частц в электрическом поле воспользоваться тем, что нам известно о движении тела в других «аналгоричных» полях.

Рассмотрим, например, следующую задачу.

Задача 1. На рассмотрении дом беконечной плоской монкой горизонтальной равномерной заряженной плоскими скоростью электрона была равна $v_0$, причем вектор $v_0$ составлял угол а с вертикалью (рис. 1). Плотность заряда плоскими равна $\sigma$. Какова траектория движения электрона, если плоска пропускаем для него? Какой будет скорость электрона, когда он будет находиться на расстоянии b ниже плоски?

Рис. 1.

При решении задачи пребегreb силой тяжестни и влиянием электрона на распределение заряда по лассине.

Решение. Беконечная плоскость, заряженная равномерно с поверхностной плотностью зарядов $\sigma$, создает однородное поле с направлением

$$E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0},$$

причем выше и ниже пластины вектор направлен в разные стороны. Поэтому, расматривая движение электрона, удобно отделно рассмотреть движение электрона выше и ниже пластины.

В однородном электрическом поле с направлением $E$ на электрон действует постоянная сила

$$F = eE,$$

(где $e = -1,6 \cdot 10^{-19} \text{ к} - \text{заряд электрона}).$ Эта сила сообщает электрону постоянное ускорение

$$a = \frac{F}{m} = \frac{e}{m} E,$$

$$a = \frac{e}{m} E = \frac{e\sigma}{2\varepsilon_0 m}$$

(m — масса электрона). Но, как мы знаем, с постоянным ускорением движения частца в близи поверхности Земли, где силу тяготения можно считать постоянной. Поэтому электрон в нашем случае будет движется так же, как движется частца, брошенная с Земли под углом к горизонту. В частности, это означает, что траекторий движения электрона будет парабола. Точе же, не парабола, а две парабoles, составленные вместе:

36

Одна — выше плоскости, а другая — ниже. Роль ускорения свободного падения $g$ играет ускорение $a$. Для того чтобы ответить на другие вопросы задачи, нужно рассмотреть два случая: а) пластина заряжена отрицательно и б) пластина заряжена положительно.

Рассмотрим случай a). В этом случае вектор направления электрического поля направлен к плоскине, а ускорение $a$ электрона — от плоскины. Несолько возможность траекторий движения электрона (для разных значений $\sigma$) показаны на рисунке 2. Если ускорение «свободного падения» $a$ велико, то электрон может и не достигнуть плоскины. Так как вертикальная составляющая начальной скорости электрона равна $v_y = v_0 \cos \alpha$, то максимальная высота $H$ его «подьема» равна

$$H = \frac{v_y^2}{2a} = \frac{(v_0 \cos \alpha)^2}{2a} = \frac{(v_0 \cos \alpha)^2 \varepsilon_0 m}{\varepsilon \sigma}.$$

Если $H < d$, то это значит, что электрон не должен до пластины. В этом случае минимальное расстояние, на котором электрон приближится к плоскине, равно

$$h = d - H = d - \frac{(v_0 \cos \alpha)^2 \varepsilon_0 m}{\varepsilon \sigma}.$$

При $H = d$ траектория электрона касается плоскины, а при $H > d$ электрон проетит плоскину. Ниже пластины траекторий движения электрона будет другая парабола.

Итак как здесь ускорение направлено от пластины, то электрон будет все время удалться от нее.

Найдем, в какой точке электрон проетит через пластину и скорость его в этот момент времени. Для этого запишем уравнения движения электрона. Проекция скорости электрона на ось $X$ (рис. 2) построена и равна $v_x = v_0 \sin \alpha$. Поэтому координата $x$ электрона меняется со временем по закону

$$x = v_x t = v_0 \sin \alpha \cdot t.$$ (4)

Так как ускорение электрона $a$ направлено вдоль оси $Y$, то координата $y$ меняется со временем так:

$$y = v_0 \cos \alpha \cdot t + \frac{at^2}{2}.$$ (5)

В момент времени $t = t_1$, в которой электрон пересекает пластину, $y = y_1 = d$ и $x = x_1$. Подставив эти значения $t$, $x$ и $y$ в уравнение (4) и (5), получим:

$$x_1 = v_0 \sin \alpha \cdot t_1,$$

$$d = v_0 \cos \alpha \cdot t_1 + \frac{at^2}{2}.$$ (6)

Решая эту систему уравнений, найдем

$$t_1 = \frac{-v_0 \cos \alpha + \sqrt{v_0^2 \cos^2 \alpha + 2ad}}{a}$$

$$x_1 = v_0 \sin \alpha \cdot \frac{-v_0 \cos \alpha + \sqrt{v_0^2 \cos^2 \alpha + 2ad}}{a}$$

*) Решая второе из уравнений (6), мы отбросили второй, больший корень для $t_1$. Это уравнение позволяет определить те моменты времени, когда частота имела координату $y$, равную $d$. Если бы пластина находилась далеко и электрон не пересекаел бы ее при своем движении, то это значение $y$ повторилось бы дважды: первый раз, когда электрон «поднимался», и второй раз, когда — «падал». Значению координаты $y = d$ при «возвращении» электрона и соответствует второй корень для $t_1$, равный

$$-v_0 \cos \alpha - \sqrt{v_0^2 \cos^2 \alpha + 2ad}$$

37

При $H = d$ ($2ad = -v_0^2 \cos^2 \alpha$) траектория электропа ксается пластны в точке $x_2 = -\frac{v_0^2 \sin \alpha \cos \alpha}{a} = -\frac{v_0^2 \sin 2\alpha}{2a}$. Это половина дальнейсти полета тела, брошенного под углом к горизонту.

Для того чтобы найти скорость электропа в любой момент времени, нужно найти только вертикальную составляющую $v_y$ его скорости в этот момент, так как $v_x = \text{const}$. Величина $v_y$ меняется со временем по формуле

$$v_y = v_0 \cos \alpha + at.$$

В момент времени $t = t_1$

$$v_y = v_0 \cos \alpha + at_1 = \sqrt{v_0^2 \cos^2 \alpha + 2ad}.$$

Скорость электропа в этот момент равна

$$v_1 = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{v_0^2 + 2ad} = \sqrt{v_0^2 + \frac{e\sigma d}{\varepsilon_0 m}}.$$

Для того чтобы найти скорость электропа, можно было бы посчитать и иначе — воспользоваться тем, что изменение кинетической энергии тела всегда равно работе действия на тело силы. Это означает, что

$$\frac{mv_1^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2} = Eed.$$

Отсюда

$$v_1 = \sqrt{v_0^2 + \frac{2Eed}{m}} = \sqrt{v_0^2 + \frac{e\sigma d}{\varepsilon_0 m}}.$$

Эта скорость составляется в вертикальной угол $\beta$ такой, что

$$\sin \beta = \frac{v_x}{v_1} = \frac{v_0}{\sqrt{v_0^2 + \frac{e\sigma d}{\varepsilon_0 m}}} \sin \alpha.$$

Точно так же можно найти скорость $v'$ электропа в тот момент, когда он находится ниже пластины на расстоянии $b$ от нее. Так как ниже пластины сила, действующая на электропа

Решим еще одну очевид распространению задачу.

Задча 2. Электрон влагаем в середину плоского конденсатора со скоростью $v_0$, направленной паралелю обкладкам конденсатора. Расстояние между обкладками конденсатора равно $d$, дилина пластин $L$. На какое расстояние $l$ относительно первого начального направления движения сметтся электрон при выполнении из конденсатора, если конденсатор заряжен до разности поменчалов $U$? Какой будет скорость $v$ электропа при выполнении из конденсатора? Силой мяжести претенбreb.

Решение. Поле конденсатора однородно. Поэтому внутренняя конденсатор электропа движется так же, как движется тела, брошенное горизонтом.

38

тально в однородном поле тяжестии. Ускорение свободного падения направлено вдоль оси $Y$ (рис. 4) и равно

$$a = \frac{eE}{m} = -\frac{e}{m} \frac{U}{d} (E < 0).$$

Вдоль оси $X$ электрон движется с постоянной скоростью $v_x = v_0$. Поэтому электрон вылетит из конденсатора через время

$$t = \frac{L}{v_0}.$$

Вдоль оси $Y$ за это время он смеется на расстояние

$$l = \frac{at^2}{2} = -\frac{1}{2} \frac{eU}{md} \left(\frac{L}{v_0}\right)^2.$$

Скорость электрона в момент вылетета из конденсатора найдет, воспользовавшись законом сохранения энергии:

$$\frac{mv^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2} = Eel,$$

$$v = \sqrt{v_0^2 + \frac{2Eel}{m}} = \sqrt{v_0^2 + \left(\frac{eUL}{mdv_0}\right)^2}.$$

Вектор скорости $v$ составляет с направлением вектора $v_0$ угол $\beta$ такой, что

$$\cos \beta = \frac{v_0}{v} = \frac{v_0}{\sqrt{v_0^2 + \left(\frac{eUL}{mdv_0}\right)^2}}.$$

Как видите, задача о движении заряженной частицы в конденсаоте

$$F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Qq}{r^2},$$

где $r$ — расстояние между зарядами. Эта сила направлена вдоль линии, соединяющей заряды, и сообщает заряду $q$ ускорение

$$a = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Qq}{r^2 m}$$

($m$ — масса заряда $q$).

Сила $F$ обратно пропорциональна квадрату расстояния между зарядами. Но точно так же зависит от расстояния сладь всемирного тяготения. Это означает, что в поле закрепленного точного заряда заряженная частица движется так же, как движется тело в поле тяготения на большом расстоянии от приятии шгощего центра — по окружности, эллипсу, параболе или гиперболе в зависимости от скорости частицы.

В подавляющем большинстве задач, которые могут встретиться на экзаменах, траектория движения — окружность. Решать такие задачи нужно точно так же, как и любые другие задачи на движение тела по окружности — запись уравнения движения (уравнение П. закона Ньютона), воспользовавшись тем, что при движении тела по окружности радиуса $R$ со скоростью $v$ его центроретическим ускорением равно

$$a = \frac{v^2}{R}.$$

Рассмотрим пример.

Задача 3. В модели атома водорода Бора — Резерфора электрон врачается по окружности векру

39

Рис. 5.

положимельно заряженное ядра. Заряд ядра $|e|$. Определять скорость иускорение электрона в атоме, если радиус атома водорода $r = 0,5 \cdot 10^{-10}$ м.

Решение e. Запишем уравнение движения электрона:

$$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{r^2} = m \frac{v^2}{r},$$

где $m$ — масса электрона и $v$ — его скорость. Отсюда найдем

$$v = \sqrt{\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{mr}} \approx 2,2 \cdot 10^6 \text{ m/c.}$$

$$a = \frac{v^2}{r} \approx 9,7 \cdot 10^{22} \text{ m/c}^2.$$

Задача 4. Два одинаковых мощных заряда $q$ движутся по окружности радиуса $R$ вокруг заряда $Q$. При этом заряды $q$ находятся на концах однозоно диаметра (рис. 5). Наименуемые скорости враценя зарядов $q$ и относение общей kinematicской энергии зарядов к моментальной.

Решение. Заряды $Q$ и $q$ должны иметь различные значки, иначе заряды $q$ разлетятся. На каждый из зарядов $q$ действует сила

$$F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{Qq}{R^2} - \frac{q^2}{(2R)^2} \right).$$

Эта сила сообщает каждому заряду центростремительное ускорение, равное $\frac{v^2}{R} = \omega^2 R$, где $\omega$ — угловая скорость враценя. Поэтому

$$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{Qq}{R^2} - \frac{q^2}{(2R)^2} \right) = m\omega^2 R.$$

Отсюда

$$\omega = \sqrt{\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{Qq}{R^2} - \frac{q^2}{4R^2} \right)} \frac{1}{mR} =$$

$$= \frac{1}{4R} \sqrt{\frac{1}{\pi\varepsilon_0 mR}} \left( 4Qq - q^2 \right).$$

Кинетическая энергия системы рана сумме kineticских энергий зарядов $q$:

$$W_{\text{киин}} = 2 \frac{mv^2}{2} = m(\omega R)^2 =$$

$$= \frac{1}{16\pi\varepsilon_0 R} \left( 4Qq - q^2 \right).$$

Потенциальная энергия системы численно равна работе, необходимой для переосназов $q$ из бесконечности на расстояние $R$ от заряда $Q$. Для переосназов одного из зарядов в поле заряда $Q$ необходимо совершить работу

$$A_1 = -\varphi \cdot q = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{R} q,$$

(ф — потенциаль поля заряда $Q$ на расстояние $R$ от заряда), а для переосназов второго заряда (телеръ уже в поле зарядов $Q$ и $q$) необходимо совершить работу

$$A_2 = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{R} q + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{2R} q.$$

Позному потенциальная энергия системы равна

$$W_{\text{пот}} = A_1 + A_2 =$$

$$= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{q^2}{2R} - 2 \frac{Qq}{R} \right),$$

и

$$\frac{W_{\text{киин}}}{W_{\text{пот}}} = -\frac{1}{2}.$$

Задача 5. Заряженная частница массы $m$ врачаемся вокруг заряда $Q$ по эллиптической орбите (рис. 6). Заряд частцы равен $q$. Миниальное расстояние между зарядом $Q$ и частцией равно $r$, а максимальное — $R$. За какое время $T$ частница делаем полный оборот вокруг заряда $Q$?

Решение. Сила, с которой заряд $Q$ действует на частцу с заряда-

41

и на расстоянии $l$ от него заряд $+q$ (рис. 7). Заряд $q$ отпускают. Какую максимальную скорость он получит?

Решение. На заряд $q$ действуют две силы — сила $F_1$ взимодейства с зарядом $Q$: $F_1 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Qq}{x^2}$ (х — расстояние между зарядами), и сила $F_2$ взимодейства с полем $E$:

$$F_2 = Eq.$$

Если в начальной момент $F_1 > F_2$, то есть $\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{qQ}{l^2} > Eq$, то после того, как заряд $q$ отпускили, он будет движаться вправа, а если $F_1 < F_2$ —лево. Расстоярим для определенияости случай $F_1 > F_2$. Разнодействующая сила $F_1$ и $F_2$ сообщает заряду $q$ускорение $a = \frac{F_1 + F_2}{m}$, направленное в начале движения по линии действия силы $F_1$ ($a = \frac{F_1 - F_2}{2}$). Сила $F_2$ не зависит от положения заряда, а сила $F_1$ убивает с увеличением расстояния между зарядами. Когда величины $F_2$, разнодействующая сила $F_1$ и $F_2$ будет направлена к заряду $Q$ и будет вызывать уменьшенное скорости заряда $q$. Очевидно, что скорость заряда $q$ максимальная, когда $F_1 = F_2$, то есть при

$$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Qq}{x^2} = Eq.$$

Расстояние между зарядами $q$ и $Q$ в этот момент равно

$$x_1 = \sqrt{\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 E}}.$$

Чтобы найти скорость заряда $q$ в этот момент времени, воспользуемся законом сохранения энергии:

$$-\Delta W_{\text{пот}} = \Delta W_{\text{кини}}$$

или

$$(\varphi_1 - \varphi_2)q = \frac{mv^2}{2},$$

где $\varphi_1$, $\varphi_2$ — потенциальы точек $x = l$ и $x = x_1$. Но

$$\varphi_1 - \varphi_2 = -E(x_1 - l) +$$

Рис. 7.

$$+\left(\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}l - \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 x_1}\right) =$$

$$= (x_1 - l)\left(-E + \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 x_1}\right) =$$

$$= \left(\sqrt{\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 E}} - l\right)\left(-E + \frac{1}{l}\sqrt{\frac{QE}{4\pi\varepsilon_0}}\right).$$

Постому

$$v = \sqrt{\frac{2q}{m}\left(\sqrt{\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 E}} - l\right)} \times \sqrt{\left(-E + \frac{1}{l}\sqrt{\frac{QE}{4\pi\varepsilon_0}}\right)}.$$

Уражнения

1. Во сколько раз изменится период колебаний математического матрика, если его шарик массы $m$ зарядить зарядом $q$ и магнит поместить в однородное электрическое поле с напряженностью $E$ (поле вертикально или горизонтально)?
2. При какой минимальной относительной скорости протоны, находящиеся на расстоянии $l_1 = 5$ см друг от друга, могут сблизиться до расстояния $l_2 = 10^{-4}$ см?
3. Одна из пластин плоского конденсатора с расстоянием между пластинами $d = 10$ мм «освещается»RENTенским лучами, вырывающим из нее фоотэлектроны, имеющие скорость $v = 10^6$ м/с. Электроны сбираются на второй пластине. Через какое время фооток прекратиется, если с каждой квадратаного сантиметра пластины вырывается $n = 10^{13}$ электронов в секунду?
4. В заряженной закрепленной сфере радиуса $R$ имеется маленькое отверстие, через которое в нее влетает заряд $q$, движущийся вдоль радиуса сферы. Какую скорость будет иметь этот заряд в центре сферы, если на расстоянии $l$ от сферы его скорость равна $v$ и заряд сферы равен $Q$?