Решения задач вступительной контрольной работы ВЗМШ 1973 года

21

Решения задач вступительного контрольной работы ВЗМШ 1973 года
А. Л. Тоом

В этом номере мы публикуем решения наиболее интересных задач из вступительного работы в ВЗМШ 1973 года (см. «Квант» № 1, 1973, с. 49).

Задача 2. Существуют ли целые числа такие $(k+1)$-значное число. Обозначим первую его цифру через $x$, а число, оставшееся после ее зачеркивания, — через $y$. Тогда исходное число равно $10^k x + y$. Оно совпадает по условию с 57$y$:

$$10^k x = 56y.$$

Поскольку 56 делится на 7, то $x$ делится на 7. Но $x$ — цифра, значит, $x = 7$, а $y = 10^k/8$.

При $k \geq 3$ число $y$ получается целым. Полягая $k = 3$, получаем один из возможных ответов:

$$10^k x + y = 7125.$$

Задача 5. На доске было написано 4 числа. Их сложили всевозможными способами по два и получили следующие численные суммы: 2, 4, 9, 9, 14, 16. Какие числа были написаны на доске?

Обозначим наименьшее из исходных чисел через $A$, следующее по величины — через $B$, следующее — через $C$, самое большое — через $D$. Итак, $A \geq B \geq C \geq D$. Тогда между их суммами по два заведomo имеются следующие неравенства:

$$A + B \leq A + C \left\{ \begin{array}{l} \leq A + D \\ \leq B + C \end{array} \right\} B + D \leq$$

Пользоваться этим неравенствами, легко однозначно распределить между суммами числовые значения, данные в условиям, что и сделано. Из четырех из них находится ответ:

$$A = -1,5; \quad B = 3,5;$$

$$C = 5,5; \quad D = 10,5.$$

Необходимо проверить, что остальные две суммы — тоже такие, как сказано в условиям.

Задача 6. Можно ли рассматривать 9 чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 по кругу так, чтобы сумма любых трех чисел, стоящих подряд, делилась бы на 3 и была: a) больше 9; b) больше 12?

a) Можно. Например: 1, 9, 2, 7, 3, 5, 4, 6, 8.

b) Нельзя. Пусть сумма в каждой тройке соседних чисел не меньше 15. Тогда, поскольку сумма всех де-

22

вяты чисел от 1 до 9 равна 45, сумма в каждой тройке равна 15. Но тогда числа, отстоящие на три места, должны быть равны, что невозможно.

Задача 7. Треугольник ABC после поворота около вершины A занял положение $AB_1C_1$. Доказим, что если прямая AC делит пополам отрезок $BB_1$, то прямая $AB_1$ делит пополам отрезок $CC_1$.

Обозначим через $M$ точку пересечения прямых $AC$ и $BB_1$. Расстоянием два случая.

a) $M$ совпадает с $A$. Тогда $A$ — центр отрезка $BB_1$, и, значит, угол поворота составляет $180^\circ$. Но тогда $A$ — центр отрезка $CC_1$, и, конечно, $AB_1$ делит $CC_1$ пополам.

6. $M$ не совпадает с $A$. Тогда $\triangle ABM = \triangle AB_1M$ по трем сторонам. Поэтому $MAB = MAB_1$.

Если точка $C$ лежит с той же стороны от $A$, что и точка $M$, то углы $CAB$ и $CAB_1$ совпадают с этим углами. Если точка $C$ лежит с противоположной стороны, то углы $CAB$ и $CAB_1$ — смежные с ним. В обих случаях

$$CAB_1 = CAB = C_1AB_1,$$
то есть $AB_1$ — биссертиса угла $A$ в $\triangle CAC_1$. Поскольку он равноведенный, то $AB_1$ — также и медиана, что и требовалось доказать.

Задача 8. Представьте число 203 в виде суммы нескольких положительных слааемых мaks, чтобы произведение этих слааемых мождеялось 203.

Искомые числа можно даже взять целыми:

$$203 = 29 + 7 + 1 \dots + 1 = 167 \text{ раз} = 29 \cdot 7 \cdot 1 \dots 1. 167 \text{ раз}$$

(C нецелыми числами существует и много других ответов).

Задача 10. На сколько частей модели делить плоскость 4 различные прямые? Для каждого случая применяем.

Если все прямые параллельны, то частей пять. Доказем, что во всех остальных случаях частей не меньше восемми. Проведем такую большую окружность, чтобы все точки пересечения оказались внутри нее (см. рис. 1, где все, что внутри окружности, для ясности не проведено). Из нее выходит наружу восемь непересеченной окружности, на восемь области. Доказем, что все эти области принадлежат разным частям. Допустим, что две области принадлежат одной части (области $A$ и $B$ на рис. 1). Тогда четыре луца, их ограничивающие, принадлежат двум параллельным прямым (см. рис. 1). Но тогда какая-то другая прямая их пересекает и все же отделяет $A$ от $B$.

Оценим теперь наиболее возможное число частей. Будем проводить прямые по очереди. Проще рассуждать в общем виде: пусть на плоскости

23

Рис. 3.

уже проведено $n$ прямых и мы проводим $n + 1$-ю. Очевидно, на ней не более чем $n$ точек пересечения, делих ее не более чем на $n + 1$ кусок. Каждый кусок делит какую-то часть на две. Таким образом, число частей увеличивается не более чем на $n + 1$. Для одной прямой части всегда две, поэтому для четырех прямы части не больше

$$2 + 2 + 3 + 4 = 11.$$

Итак, частей либо пять, либо не менее восеми и не более одинаковы. Примеры на рисунке 2 показывают, что все эти случаи возможны.

Примечние. Возможны другие способы решения: тот или иной перебор сч�aев. Наши рассуждания без труда переосстанавливаются на случай $n$ прямых и позволяет доказать, что число частей либо равно $n + 1$, либо не меньше $2n$ и не больше $\frac{1}{2} (n^2 + n + 2)$. Однако для больших $n$ уже не все числа в этом проектуке возможны. (И то, какие числа возможны, а какие нет — не известно).

Задача 11. Утром Коля и Оля решили полить одород. Коля открыл краан, наполнил своюлейку, и сразу вслед за ним Оля подставила своюлейку под струю. Колиналейка наполняется за 15 с, а Олина за 10 с. Наполнив своюлейку, каждай из детей могут не начиная поливать одород. Из Колинойлейки вода выпадает 60 с, а из Олиной — 45 с. Как молколейка оказывается пустой, каждай из них меняющего подставляем ее под струю воды, а если в этом момент начиная воду другой, то доказаемся, пока краан не освободится, и сразу же начиная полнятьлейку. Когданик не набирает своюлейку. Когданик не набирает воду, она льется в бочку, стоящую под краном. Если быникто не забирал воду, бочка наполнилась бы за 15 мин. За сколько времени после включения крана наполнимся бочка, если Коля и Оля все это время поливают одород? Кто первый будет набирать воду после моего, как вода пользовается через край бочки?

Эту задачу удобно решать с помощью графика. Начертим график действия Коля и Оли. Наполнение легки будем обозначать сним, поливание — красным, ожидание — черным. Масштаб удобно взять такой: в одной клеточке 5 секунд. Начало графика изображено на рисунке 3. Если вы достроите график до 50-й клетки, то заметите, что 48-я клетка совпадает по существу со 2-й (Коля 5 с наполняет легку, а Оля ждет); 49-я совпадает с 3-й; 50-я — с 4-й и так далее. Поэтому действия Коля и Оли будут периодически повторяться через каждые 46 клеток (230 с). Из графика видно, что в течение одного периода вода льется в бочку на протяжении 29 клеток. Посокльку 15 мин соответствует 180 клеткам, а 180 = $6 \cdot 29 + 6$, то должно пройти 6 полных периодов и часть седьмого, пока бочка заполнится.

Ползуясь графиком первого периода, определяем, что эта часть составляет 11 клеточек. Всего, пока бочка наполнится, пройдет $6 \cdot 46 + 11 = 287$ клеточек, то есть 23 мин 55 с. Ползуясь тем же графиком, видим, что первый после наполнения бочки воды в легку будет набирать Оля.