Cơ học giúp hình học

34

Cơ học
giúp hình học
M. B. Balk, N. A. Grigoriev

… Tôi thấy cần phải viết thư cho tôi và … nêu một số
một phương pháp đặc biệt mà chúng tôi đã nhận được
khả năng sử dụng cơ học để tìm thấy một số
định lý toán học hình xuyến. Tôi chắc chắn phương pháp này sẽ
dem không kém phần hữu ích đối với tôi để làm bằng chứng
định lý simkh.

Archimedes. “Thư gửi Eramosthenes.
Về các định lý cơ học”.

Kể từ thời Archimedes, cách đơn giản nhất
các khái niệm về cơ học - và trước hết,
Tuy nhiên, khái niệm trọng tâm của một hệ điểm vật chất mang tính chất riêng biệt.
nhiều lần và thành công lớn
hấp dẫn cho việc chứng minh các định lý hình học. Vì vậy, với sự giúp đỡ của một số
xét về mặt toán học, Archimedes là người đầu tiên chứng minh định lý về ba đường trung tuyến của một tam giác và tìm ra công thức tính thể tích của một quả bóng.
Các cân nhắc cơ học được sử dụng để tính thể tích của các vật quay khác nhau, tìm vị trí hình học của các điểm, chứng minh các bất đẳng thức và cho lời giải nhiều bài toán khác từ hình học và đại số *).

Bài viết này được viết dựa trên tư liệu từ các hoạt động được thực hiện với học sinh lớp 10 tại trường vật lý và toán học thành phố Smolensk (19 tháng 10 năm 1972) và tại Trường Thanh niên Ivanovo (ngày 1 tháng 12 năm 1972). Trong đó, chúng ta sẽ thảo luận về một định lý cơ học của nhà toán học nổi tiếng người Pháp Lagrange (1736-1813), và cho thấy định lý này cho phép chúng ta dễ dàng giải các bài toán bài toán khó trong lĩnh vực hình học cơ bản như thế nào. Như chúng ta sẽ thấy, định lý này về cơ bản là
*) Xem thêm M. B. Balk, Các ứng dụng hình học của khái niệm trọng tâm, M., Fizmatiz, 1959 (“Thư viện vòng tròn toán học,” số 9), và V. A. Uspensky, Một số ứng dụng của cơ học vào toán học, M., Fizmatiz, 1958 (“Các bài giảng phổ biến về toán học,” số 27).

đám rước là hệ quả trực tiếp của định lý Pythagore.

Trọng tâm

Cho có (xem Hình 1) hai điểm vật chất (khối lượng chính xác): Khối lượng $m_1$ (ta sẽ viết ngắn gọn như sau: $(A, m_1)$) và khối lượng B $m_2$ $(B, m_2)$.

Trọng tâm C của hai điểm vật chất $(A, m_1)$ và $(B, m_2)$ là một điểm nằm trên đoạn AB và thỏa mãn mối quan hệ sau (“quy tắc đòn bẩy” của Archimedes):

$$m_1 \cdot AC = m_2 \cdot CB.$$

Nếu tại điểm C chúng ta đặt khối lượng của cả hai điểm vật chất $m_1$ và $m_2$ thì điểm vật chất $(C, m_1 + m_2)$ phát sinh sẽ được gọi là trung tâm vật chất của các điểm $(A, m_1)$ và $(B, m_2)$. Trung tâm vật chất của ba điểm vật chất $(A_1, m_1), (A_2, m_2), (A_3, m_3)$ (Hình 2) được xác định như sau: đầu tiên bạn nên tìm trung tâm vật chất $(C, m_1 + m_2)$ của các điểm $(A_1, m_1)$ và $(A_2, m_2)$, sau đó - trung tâm vật chất $(Z, m_1 + m_2 + m_3)$ của các điểm $(C, m_1 + m_2)$ và $(A_3, m_3)$. Điểm Z sẽ là trọng tâm của hệ ba điểm vật chất $(A_1, m_1), (A_2, m_2), (A_3, m_3)$.

Cơm. 1.

35

Theo cách tương tự, tâm vật chất và trọng tâm của hệ được xác định từ số (n) điểm vật chất bất kỳ*).

Bây giờ hãy giải một bài toán.
Bài toán 1. Trong tam giác ABC (Hình 3), độ dài của dây BC, CA và AB lần lượt tương ứng với a cm, b cm và c cm. Đặt các khối lượng a e, b e và c tại các đỉnh A, B, C tương ứng. Tìm trọng tâm của các điểm vật chất này.

Chúng ta ký hiệu Z là trọng tâm của các điểm vật chất (A, a), (B, b), (C, c) và bằng C₁ là trọng tâm của các điểm vật chất (A, a) và (B, b).

Sau đó
$$a \cdot AC_1 = b \cdot C_1B,$$
Ở đâu
$$AC_1 : C_1B = b : a = AC : CB.$$

Suy ra CC₁ là phân giác của góc C. Chúng ta thay các điểm (A, a) và (B, b) bằng vật chất tâm của chúng (C₁, a + b). Khi đó trọng tâm Z phải nằm trên đoạn CC₁. Theo cách tương tự, bạn có thể đảm bảo rằng điểm Z phải nằm trên đường phân giác AA₁. Do đó Z là giao điểm của đường phân giác tresargon ABC.

Chúng ta hãy lưu ý ở đây một tính chất hữu ích của trọng tâm.

*) Có thể chứng minh rằng vị trí trọng tâm không phụ thuộc vào số điểm, nghĩa là định nghĩa của chúng ta là “đúng”.

Cơm. 2.

Cơm. 3.

Gọi Z là trọng tâm của n điểm vật chất (A₁, m₁), (A₂, m₂), …, (Aₙ, mₙ), nằm trên mặt phẳng cùng phía với một số đường thẳng α (Hình 4). Gọi y₁, y₂, …, yₙ và z là khoảng cách từ điểm A₁, A₂, …, Aₙ, Z đến đường thẳng α. Sau đó
$$z = \frac{m_1y_1 + m_2y_2 + \cdots + m_ny_n}{m_1 + m_2 + \cdots + m_n}.$$ (1)

Dễ dàng kiểm chứng tính đúng đắn của công thức này với n = 2 bằng cách sử dụng quy tắc đòn bẩy. Khi đó dễ dàng chứng minh công thức (1) với n = 3, rút ​​gọn trường hợp này về trường hợp n = 2. Với n tùy ý, công thức (1) được chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học. Hãy thử tự mình kiểm tra bằng chứng này.

Momen quán tính

Khái niệm “momen quán tính” được đưa ra bởi Leonhard Euler (1707–

Cơm. 4.

36

Cơm. 5.

1783. cách đây hơn 200 năm. Giả sử có một hệ thống gồm $n$ điểm vật chất $(A_1, m_1), (A_2, m_2), \dots, (A_n, m_n)$ và chọn một điểm khác $S$. Momen quán tính của một hệ điểm cho trước đối với điểm $S$ gọi là đại lượng

$$J_S = m_1 \cdot SA_1^2 + m_2 \cdot SA_2^2 + \dots + m_n \cdot SA_n^2$$

(tổng tích các khối lượng của các điểm vật chất của hệ với bình phương khoảng cách của chúng tới điểm $S$). Tóm lại, chúng ta viết công thức (2) như thế này:

$$J_S = \sum_{i=1}^{n} m_i \cdot SA_i^2.$$

Bài 2. Một vòng tròn được mô tả gần con mồi $ABC$ từ phía $a, b, c$ (Hình 5). Chúng ta hãy biểu thị bằng $Z$ điểm giao nhau của các đường trung tuyến của đường ngang và bằng $S$ tâm của đường tròn ngoại tiếp. Tính mômen quán tính của hệ các điểm vật chất $(A, 1), (B, 1), (C, 1)$ đối với điểm $Z$ và đối với điểm $S$.

Gọi $AA_1, BB_1, CC_1$ là đường trung tuyến của tam giác, $Z$ giao điểm của chúng. Sau đó

$$J_Z = 1 \cdot ZA^2 + 1 \cdot ZB^2 + 1 \cdot ZC^2 = \frac{4}{9} \left( AA_1^2 + BB_1^2 + CC_1^2 \right) = \frac{1}{3} \left( a^2 + b^2 + c^2 \right),$$

$$J_S = 1 \cdot SA^2 + 1 \cdot SB^2 + 1 \cdot SC^2 = 3R^2,$$

trong đó $R = \frac{abc}{4S_{\triangle ABC}}$ ($S_{\triangle ABC}$ được tìm thấy theo công thức Heron).

Định lý Lagrange

Năm 1783, Lagrange thu hút sự chú ý đến tính đúng đắn của phát biểu sau.

Gọi $J_S$ là mômen quán tính của hệ các điểm vật chất $(A_1, m_1), (A_2, m_2), \dots, (A_n, m_n)$ đối với một điểm tùy ý cho trước $S$, $J_Z$ là mômen quán tính của hệ này đối với trọng tâm Z của nó. Khi đó

$$J_S = J_Z + M \cdot SZ^2,$$

(4)

đồ ăn

$$M = m_1 + m_2 + \dots + m_n.$$

Bằng chứng *. Giả sử $\alpha$ là một đường thẳng sao cho tất cả các điểm $A_1, A_2, \dots, A_n$ nằm trên cùng một phía của nó và $\alpha \perp SZ$ (xem Hình 4). Gọi $B_1, B_2, \dots, B_n, B$ là hình chiếu của điểm $A_1, A_2, \dots, A_n, Z$ lên đường thẳng $\alpha$; $A_1B_1 = y_1, A_2B_2 = y_2, \dots, A_nB_n = y_n, BZ = z, BS = s$. Từ hình thang $A_1B_1BZ$ và $A_1B_1BS$ ta có:

$$SA_1^2 - ZA_1^2 = (y_1 - s)^2 - (y_1 - z)^2 = [(y_1 - z) - (s - z)]^2 - (y_1 - z)^2.$$

Đơn giản hóa quy tắc phần và nhân cả hai phần với $m_1$, chúng ta có:

$$m_1 \cdot SA_1^2 - m_1 \cdot ZA_1^2 = m_1 \cdot SZ^2 - 2(s - z)(m_1y_1 - m_1z).$$

*) Ta giới hạn trường hợp mọi điểm vật chất đã cho đều nằm trong cùng một mặt phẳng; tuy nhiên, phát biểu này cũng đúng đối với vị trí tùy ý của điểm trong không gian (xem cuốn sách được đề cập ở trên: M. B. Balk, Ứng dụng hình học của khái niệm trọng tâm, trang 75-76).

37

Tương tự như vậy

$$m_2 \cdot SA_2^2 - m_2 \cdot ZA_2^2 = m_2 \cdot SZ^2 - 2(s - z)(m_2y_2 - m_2z),$$

$$m_n \cdot SA_n^2 - m_n \cdot ZA_n^2 = m_n \cdot SZ^2 - 2(s - z)(m_ny_n - m_nz).$$

Cộng các đẳng thức này theo số hạng và tính đến mô men quán tính nhất định (2) và công thức (1), chúng ta thu được đẳng thức cần thiết:

$$J_S - J_Z = M \cdot SZ^2.$$

Bài tập 3. Cạnh của khối đa diện đều SABC bằng a. Tính bán kính R của quả cầu ngoại tiếp hình tứ diện.

Chúng ta hãy đặt khối lượng 1 gam ở bốn đỉnh của tứ diện. Khi đó trọng tâm của bốn điểm vật chất tạo thành trùng với tâm Z của hình cầu ngoại tiếp. Chúng ta có $J_S = 3a^2$, $J_Z = 4R^2$, $M = 4$ và theo công thức (4), chúng ta thu được: $3a^2 = 4R^2 + 4R^2$, từ đó $R = \frac{a\sqrt{6}}{4}$.

Bài 4. Biết độ dài a, b, c của tam giác ABC, tính độ dài phân giác CC$_1$ (Hình 6).

Chúng ta hãy đặt những khối lượng như vậy vào các điểm A và B sao cho điểm C$_1$ hóa ra là trọng tâm của chúng. Để làm điều này, chúng tôi lưu ý rằng theo tính chất nổi tiếng của đường phân giác AC$_1$: C$_1$B = AC:CB, tức là $a \cdot AC_1 = b \cdot C_1B$. Điều này có nghĩa là khối lượng gam phải được đặt tại điểm A, và b gam tại điểm B, trọng tâm của vật liệu của các điểm (A, a) và (B, b) sẽ là điểm C$_1$.

Theo công thức (4) chúng ta có $(a + b) \times CC_1^2 = J_C - J_{C_1}$, tức là $(a + b) CC_1^2 = (a \cdot CA^2 + b \cdot CB^2) - (a \cdot C_1A^2 + b \cdot C_1B^2)$.

Từ các đẳng thức AC$_1$: C$_1$B = b: a, AC$_1$ + C$_1$B = c ta tìm được:

$$AC_1 = \frac{bc}{a + b}, \quad C_1B = \frac{ac}{a + b}.$$

Từ (5) suy ra:

$$CC_1^2 = ab \left[ 1 - \frac{c^2}{(a + b)^2} \right].$$

Bài 5. Biết các cạnh a, b, c của tam giác ABC, tính khoảng cách giữa điểm Z giao điểm các đường trung tuyến của tam giác và điểm H giao điểm các đường cao của tam giác đó.

Chúng ta đặt các khối lượng bằng nhau (mỗi khối 1 gam) ở các đỉnh A, B, C (Hình 7). Theo công thức (3) và (4) ta có:

$$3HZ^2 = J_H - J_Z = HA^2 + HB^2 + HC^2 - \frac{1}{3}(a^2 + b^2 + c^2).$$

Để tính các khoảng cách HA, HB, HC người ta dựng tam giác A’B’C’ có các cạnh song song với các cạnh của tam giác ABC đã cho và đi qua các đỉnh của tam giác đó. Trong tam giác A’B’C’, điểm H là tâm đường tròn ngoại tiếp (kiểm tra!),

38

Cơm. 8.

và do đó $HA' = HB' = HC' = R'$, trong đó $R'$ là bán kính của đường tròn ngoại tiếp khoảng $\triangle A'B'C'$. Bởi vì
$$\frac{A'B'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{C'A'}{CA} = 2,$$
thì $R' = 2R$, trong đó $R$ là bán kính của hình tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Do đó $HA^2 = C'H^2 - a^2 = 4R^2 - a^2$, $HB^2 = 4R^2 - b^2$, $HC^2 = 4R^2 - c^2$. Đó là lý do tại sao
$$HZ^2 = 4R^2 - \frac{4}{9}(a^2 + b^2 + c^2),$$
trong đó $R = \frac{abc}{4S}$ và diện tích $S$ của tam giác $ABC$ được tính qua các cạnh của nó bằng công thức Heron.

Một công thức khác tính mô men quán tính
Bây giờ chúng ta hãy tập trung vào một công thức khác cho mômen quán tính, công thức này được sử dụng rộng rãi trong cơ học (đặc biệt là trong cơ học thiên thể khi nghiên cứu cái gọi là các vật thể “bài toán $n$”). Công thức này hóa ra rất hữu ích cho lời giải hình học thuần túy bài toán.

Giả sử có $n$ vật liệu của các điểm $(A_1, m_1), (A_2, m_2), \dots, (A_n, m_n)$ (Hình 8). Khoảng cách giữa các điểm $A_i$ và $A_k$ được ký hiệu là $r_{ik}$. (Ví dụ: $r_{24}$ là khoảng cách của $A_2A_4$.) Biểu thức
$$\sum_{i \leqslant k \leqslant n} m_i m_k r_{ik}^2$$
biểu thị tổng của tất cả các số hạng có thể có của dạng $m_i m_k r_{ik}^2$, trong đó $i$ và $k$ là số nguyên bất kỳ từ 1 đến $n$,

$i$ nhỏ hơn $k$. (Ví dụ,
$$\sum_{1 \leqslant i < k \leqslant 3} m_i m_k r_{ik}^2$$
là viết tắt của $m_1 m_2 r_{12}^2 + m_1 m_3 r_{13}^2 + m_2 m_3 r_{23}^2$.)
Hóa ra mômen quán tính $J_Z$ của một hệ gồm các điểm vật chất so với trọng tâm Z của nó có thể được biểu thị thông qua khoảng cách lẫn nhau giữa các âm này và khối lượng của chúng:
$$J_Z = \frac{1}{M} \sum_{1 \leqslant i < k \leqslant n} m_i m_k r_{ik}^2$$
($M = m_1 + m_2 + \dots + m_n$ là tổng khối lượng của toàn bộ hệ$)$.
Chúng tôi sẽ chỉ tiến hành chứng minh cho trường hợp $n = 4$, nhưng từ thảo luận sâu hơn, sẽ thấy rõ rằng nó phù hợp với mọi $n$.
Theo định lý Lagrange ta có:
$$m_1 \cdot J_{A_1} = m_1 J_Z + m_1 \cdot M \cdot ZA_1^2,$$
hoặc, chi tiết hơn:
$$m_1 m_2 r_{12}^2 + m_1 m_3 r_{13}^2 + m_1 m_4 r_{14}^2 = m_1 J_Z + m_1 \cdot M \cdot ZA_1^2.$$
Tương tự như vậy
$$m_2 m_1 r_{12}^2 + m_2 m_3 r_{23}^2 + m_2 m_4 r_{24}^2 = m_2 J_Z + m_2 \cdot M \cdot ZA_2^2,$$
$$m_3 m_1 r_{13}^2 + m_3 m_2 r_{23}^2 + m_3 m_4 r_{24}^2 = m_3 J_Z + m_3 \cdot M \cdot ZA_3^2,$$
$$m_4 m_1 r_{14}^2 + m_4 m_2 r_{24}^2 + m_4 m_3 r_{24}^2 = m_4 J_Z + m_4 \cdot M \cdot ZA_4^2.$$
Cộng các đẳng thức này dọc theo các tia:
$$2 \sum_{1 \leqslant i < k \leqslant 4} m_i m_k r_{ik}^2 = M \cdot J_Z + M \cdot J_Z,$$
đẳng thức đó với đẳng thức cần thiết (6) (đối với $n = 4$).
Nhiệm vụ 6. Trong một vòng tròn có bán kính $R$, đặt một bức tường 100 bên phải $A_1A_2A_3 \dots A_{100}$. Tính tổng σ của các bình phương có chiều dài tất cả các đường chéo và các cạnh của nó.

39

Cơm. 9.

Chúng ta đặt 1 gam khối lượng ở mỗi đỉnh của đa giác. Trọng tâm của hệ điểm vật chất đang nổi trùng với tâm O của đường tròn. Theo công thức (6) ta có
$$\sigma = \sum_{1 \leq i < k \leq 100} A_i A_k^2 = M J_0 = (100R)^2.$$
Bài 7. Biết bán kính R của đường tròn mô tả xung quanh tam giác ABC cho trước và bán kính r của đường tròn mô tả trong cùng một tam giác, tính khoảng cách d giữa tâm của chúng.

Gọi S là tâm đường tròn ngoại tiếp, Z là tâm đường tròn nội tiếp, a, b, c (cm) độ dài các cạnh của tam giác. Đặt khối lượng của các gam a, b và c tương ứng tại các đỉnh A, B, C. Trọng tâm của hệ này sẽ là điểm Z. Theo công thức (4) ta có
$$J_S - J_Z = (a + b + c) d^2.$$
Sử dụng công thức (2) và (6) chúng ta thấy:
$$J_S = a \cdot SA^2 + b \cdot SB^2 + c \cdot SC^2 = (a + b + c) R^2,$$
$$J_Z = \frac{abc^2 + bca^2 + cab^2}{a + b + c} = abc.$$
Ngoài ra, theo các công thức nổi tiếng về diện tích hình tam giác, chúng ta có
$$S_{\Delta ABC} = \frac{abc}{4R} = \frac{1}{2} (a + b + c) r,$$
Ở đâu
$$abc = 2Rr (a + b + c).$$
Từ công thức (7) - (10) suy ra
$$d^2 = R^2 - 2Rr.$$
Đây là công thức mong muốn (“công thức Euler”).

Bài 8. Biết rằng trong một hình bình hành, hiệu giữa tổng bình phương độ dài tất cả các điểm trên mặt phẳng sao cho tổng bình phương khoảng cách từ các đỉnh của hình vuông A_1 A_2 A_3 A_4 cho trong mặt phẳng này trên cạnh a là hằng số c^2, nếu c^2 > 2a^2?

Chúng ta đặt các khối lượng bằng nhau (mỗi khối 1 gam) tại các đỉnh của tứ giác A_1 A_2 A_3 A_4 và gọi Z là trọng tâm của hệ điểm vật chất thu được. Theo định nghĩa (2) và công thức (6) ta có
$$J_Z = ZA_1^2 + ZA_2^2 + ZA_3^2 + ZA_4^2 = \frac{1}{4} \left( A_1 A_2^2 + A_2 A_3^2 + A_3 A_4^2 + A_1 A_4^2 + A_2 A_4^2 \right).$$
Bây giờ chúng ta hãy xem xét một hệ gồm hai điểm vật chất (A_1, 1) và (A_3, 1) (trọng tâm của chúng là điểm P ở giữa của đoạn A_1 A_3). Chấp nhận công thức (4):
$$ZA_1^2 + ZA_3^2 = PA_1^2 + PA_3^2 + 2ZP^2 = \frac{1}{2} A_1 A_3^2 + \frac{1}{2} PQ^2.$$
Tương tự như vậy
$$ZA_2^2 + ZA_4^2 = \frac{1}{2} A_2 A_4^2 + \frac{1}{2} PQ^2.$$
Từ (11), (12) và (13) công thức Euler mong muốn như sau:
$$(A_1 A_2^2 + A_2 A_3^2 + A_3 A_4^2 + A_4 A_1^2) - (A_1 A_3^2 + A_2 A_4^2) = 4PQ^2.$$
Bài tập

1. Giải bài toán 4 câu khác bằng công thức (6).
2. Gọi Z là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC (BC=a, CA=b, AB=c). Chứng minh rằng
   $$a \cdot ZA^2 + b \cdot ZB^2 + c \cdot ZC^2 = abc.$$
3. Công thức nào biểu thị tập hợp tất cả các điểm trên mặt phẳng mà tổng bình phương khoảng cách từ các đỉnh của hình vuông A_1 A_2 A_3 A_4 cho trong mặt phẳng này với cạnh a là hằng số của c^2, nếu c^2 > 2a^2?
4. Trong một số tam giác, khoảng cách từ giao điểm của các đường trung tuyến đến tâm của đường tròn ngoại tiếp nhỏ hơn ba lần bán kính của đường tròn này. Chứng minh rằng tam giác đó đúng.