Bài toán M231—M235; F243—F247

40

Bài toán

M231—M235; F243—F247

M231. Tìm tất cả lời giải trong các số tự nhiên của phương trình
$$n^x + n^y = n^z.$$

R. Yegoryan, học sinh lớp 9

M232. a) Chứng minh rằng với một tập hợp hữu hạn các điểm trên một mặt phẳng có tính chất là ba điểm bất kỳ trong tập hợp này là các đỉnh của một tam giác tù không suy biến, bạn luôn có thể thêm một điểm nữa để tính chất này được bảo toàn.

b) * Khẳng định tương tự có đúng với tập vô hạn điểm trên mặt phẳng không?

P. S. Pankov

M233*. Trong định nghĩa cuối cùng, hai đơn vị được viết. Điểm giữa chúng được viết bằng tổng của chúng - số 2. Khi đó điểm giữa mỗi hai

41

các cạnh lớn nhất của hình bát giác, v.v. (Hình 2). Kết quả là một chuỗi các đa giác (mỗi đa giác có trong đa giác trước đó). Tìm diện tích của hình là giao điểm của tất cả các đa giác này (nghĩa là được tạo thành bởi các điểm thuộc toàn bộ đa giác).

S. Konyaets, học sinh lớp 10

M235 *. Một con sư tử đang chạy quanh sân khấu của một rạp xiếc hình tròn có bán kính 10 m. Di chuyển dọc theo một đường đứt đoạn, anh chạy được 30 km. Chứng minh rằng tổng các góc mà anh ta quay (Hình 3) không nhỏ hơn 2998 radian.

I. N. Bernistey

F243. Tại sao dưới ánh sáng mạnh, người đeo kính yếu vẫn có thể đọc được mà không cần đeo kính?

I. A. Soloveichik

Tại sao, để tạo thành đồng thời hai vật thể, một trong số đó ở xa hơn và để thu được hình ảnh sắc nét của cả hai vật thể trên phim ảnh, chúng lại giảm đường kính tổng thể của khẩu độ của vật thể (các vật thể được mở rộng khẩu độ)?

F244. Một chuỗi có chiều dài $l$ và hai đầu của thanh được gắn vào hai điểm, tổng chiều dài cũng là $l$, và các đầu tự do có bản lề. Trọng tâm của ai thấp hơn - sợi xích hay thanh?

F245. Có một bán cầu tích điện đều. a) Chứng minh rằng mặt phẳng “bao phủ” bán cầu này là mặt phẳng đẳng thế. b) Xác định hướng của từ trường tại các điểm trên mặt phẳng này.

Mật độ điện tích của bán cầu là σ.

F246. Một bình cách nhiệt có thể tích 2V được chia đôi bằng một vách ngăn mỏng. Trong một nửa bình chứa một loại khí đơn nguyên tử có nhiệt độ $T_1$ và áp suất $p_1$, trong nửa còn lại có một loại khí đơn nguyên tử khác có áp suất $p_2$ và nhiệt độ $T_2$. Tìm nhiệt độ ở trạng thái ổn định của hỗn hợp khí sau khi dỡ bỏ vách ngăn.

Cơm. 4.

F247. Mô hình phân tử carbon dioxide $CO_2$ - ba quả bóng được nối với nhau bằng lò xo và nằm ở vị trí cân bằng dọc theo một đường thẳng. Một phân tử như vậy có thể thực hiện các dao động tuyến tính thuộc hai loại: a) hoặc b) (Hình 4). Tìm tỉ số tần số của các dao động này.

G. L. Komkin