Задачи М231—М235; Ф243—Ф247

40

Задачи

M231—M235; Ф243—Ф247

M231. Найдите все решения в натуральных числах уравнения
$$n^x + n^y = n^z.$$

Р. Егорян, ученик 9 класса

M232. a) Докажите, что к конечному множество точек на плоскости, обладающему тем свойством, что любые три точки из этого множество является вершинами невыроженного тупоугольного треугольника, всегда можно добавить еще одну точку так, что это свойство сохранится.

б) * Справедливо ли аналогичное утверждение для бесконечного множества точек на плоскости?

П. С. Панков

M233 *. В конечном определении пишутся две единицы. Посередние между ними пишется их сумма — число 2. Затем посередние между каждыми двумя

41

ших сторон 8-угольника, и так далее (рис. 2). Получается последовательность многоугольников (каждый содержится в предыдущем). Найдите площадь фигуры, являющейся пересечением всех этих многоугольников (то есть образованной точками, принадлежащими всем многоугольником).

С. Коняец, ученик 10 класса

М235 *. По арене круглого цирка радиуса 10 м бегает лев. Двигаясь по ломаной линии, он пробежал 30 км. Докажите, что сумма всех углов, на которых он поворачивал (рис. 3), не меньше 2998 радиан.

И. Н. Бернистей

Ф243. Почему при ярком освещении те, кто пользовется не очень сильными очками, могут читать и без очков?

И. А. Соловейчик

Почему для того, чтобы сформировать одновременное два объекта, один из которых находится дальше, и получить на фотопленке резкое изображение обих объектов, общую уменьшают диаметр отверстия объекта (объекты диафрагмируют)?

Ф244. К двум точкам прикреплены цепочка длины $l$ и концы двух стержней, сумма длины тоже равна $l$, а свободные концы шарниро связаны. Чей центр тяжести находится ниже — цепочки или стержней?

Ф245. Имеется равномерно заряженная полусфера. а) Показать, что плоскость, «закрывающая» эту полусферу, эквивпотенциальна. б) Определить направность поля в точках этой плоскости.

Плотность заряда полусферы равна σ.

Ф246. Теплоизолированный сосуд объемом 2V разделен пополам тонкой перегородкой. В одной половине сосуда находится одноатомный газ с температурой $T_1$ и давлением $p_1$, в другой половине — другой одноатомный газ с давлением $p_2$ и температурой $T_2$. Найти установившуюся температуру смеси газов после того, как убрали перегородку.

Рис. 4.

Ф247. Модель молекулы углекислого газа $CO_2$ — три шарик, соединенные пружинками и расположенные в положении равновесия вдоль одной прямой. Такая молекula может совершать линейные колбания двух типов: а) или б) (рис. 4). Найти отношение частот этих колбаний.

Г. Л. Комкин