Числовые данные в геометрических задачах

52

Числовые данные в геометрических задачах
С. В. Овчинников, И. Ф. Шарыцин

В большинстве стандартных школьных задач числовые данные вообше не играют никакой роли. Как правило, такие задачи можно решить в общем виде, используя «буквенные» обозначения, а затем подставить в полученный ответ данные числа. Однако часто используние «спецификации» числовых данных позволяет получить более простое решение. В этой заметке мы на примерах показем, как по-разному влияют числовые данные на решение задачи.

Начнем с задачи, предлагавшейся на вступительных экзаменах на химический факультет МГУ в 1970 году.

Задача 1. Хорда АВ стязываем дуу окружности, равную 120°. Точка С лежит на эмой дуу, а точка D лежит на хорде АВ. При этом AD = 2, BD = 1, DC = √2. Наимплица треугольника ABC.

Заметим, что ∠ODC = 90°. Действительно, продолжим отрезок CD до пересечения с окружностью (рис. 1). Так как AD · BD = CD × DE, то DE = CD = √2 и OD ⊥ CE. Из △AOF мы находим радиус окружности. Он равен √3, поэтому из треугольника OFD получаем, что ∠FDO = 60°. Отсюда ∠CDA = 30°, ∠CDB = 150°.

Воспользовавшись формулой для определения площади треугольника по двум сторонам и углу между ними, получим, что S△ADC = √2/2, S△CDB = √2/4. Отсюда S△ABC = 3/4 √2.

Анализируя приведенное решение, мы видим, что числовые данные в задаче подобраны «весыма удачно». Если мы попытаем решить эту задачу в общем виде, то есть возьмем в качестве исходных данных произвольные числа, то очень быстро убедимся, что решение оказывается непомерно громоздким. (Попытайте есть-tаки решить эту задачу в общем виде. Это будет полезным упражнением.) А вот типичная задача, в которой числовые данные не играют никакой роли. Они используются лишь на последнем этапе при подстановке в общий ответ и носит иллюстративный характер.

Задача 2 (гEOфак МГУ, 1968). В треугольнике ABC проведены bicсектриса AD уела BAC и bicсектриса CF уела ACB (мочика D лежит на стороне BC, мочика F — на стороне AB). Наимплица отношение площадей треугольника

53

Рис. 2.

узольников ABC и AFD, если известно, что AB = 21, AC = 28, CB = 20.

Обозначим стороны треугольника AB, BC и CA соответственно через c, a и b (рис. 2). Используя свойство биссектрисы внутри него угла треугольника, находим, что

$$AF = \frac{bc}{a+b}, \quad BD = \frac{ac}{b+c}.$$

Отсюда

$$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{BD}{BC} = \frac{c}{b+c},$$

$$\frac{S_{\triangle AFD}}{S_{\triangle ABD}} = \frac{AF}{AB} = \frac{b}{(a+b)},$$

$$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle AFD}} = \frac{(a+b)(b+c)}{bc}$$

Подставляя вместо a, b и c их численные значения, находим $$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle AFD}} = 4,$$ а потому исключение равно 4.

Следующая задача может быть решена в общем виде, но решение существует упрощается, если вовремя воспользоваться численными значениями.

Задача 3 (мехмат МГУ, 1969). Прямоеольные проекции треугольника ABC на две взаимно перпердикулярные плоскости являются правыми треугольниками со сторонами, равными 1. Найти периметр треугольника ABC, если известно, что AB = $$\frac{\sqrt{5}}{2}$$.

Обозначим плоскости, на которые спроектирован треугольник ABC, через P и Q (рис. 3). Очевидно, можно считать, что одна из вершин треугольника, например A, лежит на общем ребре R плоскостей P и Q. Так как проекции сторона AB и AC на плоскости P и Q равны, точки A, B и C лежат в биссекторной плоскости S двугранного угла, образованного плоскостями P и Q. Проекции точек B и C на Q обозначим через D и E. Опустим из точки B перепределкурBF на ребро R, $\Rightarrow BFD = 45^\circ$.

В дальнейших вычисления можно было бы не фиксировать длину отрезка AB, а считать ее произвольной величины a. В этом случае решение тоже можно довести до конца. Но данное конкретное значение $AB = \frac{\sqrt{5}}{2}$ позволяет существению упрощить решение.

Действительно, из треугольника ABD находим: BD = $$\frac{1}{2} (\Rightarrow ADB = 90^\circ, AB и AD данные).$$ Так как $\Rightarrow BFD = 45^\circ$, то FD = BD = $$\frac{1}{2}$$ и в треугольнике AFD имеем $\Rightarrow AFD = 90^\circ, \Rightarrow FAD = 30^\circ$. Отсюда получаем последовательно, что AE ⊥ AF, $\Rightarrow CAE = 45^\circ, \Rightarrow CEA = 90^\circ, AC = \sqrt{2}$. Из прямогоольной трапеции CBDE имеем $(CE - BD)^2 + DE^2 = BC^2$. Отсюда BC = $$\frac{\sqrt{5}}{2}$$, и перimeter треугольника ABC равен $$\sqrt{5} + \sqrt{2}$$.

Если в рассмотрении задаче числовые данные, существенно уменень

54

шая объем вычислений, помогали нам, то иногда они, наоборот, создают вычислительные трудности и даже затеняют простой геометрический смысл задачи.

Задача 4 (геофак МГУ, 1971). В треугольнике ABC со стороны AB = 3 см, BC = 4 см и AC = 5 см проведена bisсектираса BD. В треугольнике ABD и BCD вписаны окружности, которые касаются BD в точках M и N соответственно. Определить длину отрезка MN.

Числовые данные этой задачи показывают, что треугольник прямоугольный. Это может привести к попытке решить задачу, используя метрические свойства прямоугольного треугольника.

На самом деле задача имеет простое геометрическое решение для произвольного треугольника ABC. Обозначим AB через c, BC через a и AC через b (рис. 4). По свойству bisсектиры AD = \frac{bc}{a+c}, CD = \frac{ab}{a+c}.

Введем неизвестные x = BM, y = MN и z = ND. Так как касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны, то можно составить следующую систему уравнений:

$$\begin{cases} x + y + \left( \frac{ab}{a+c} - z \right) = a, \\ x + \left( \frac{bc}{a+c} - z - y \right) = c. \end{cases}$$

Вычитая из первого уравнения во-

рое, получим

$$2y + \frac{ab}{a+c} - \frac{bc}{a+c} = a - c,$$

откуда

$$y = \frac{1}{2} \frac{(a-c)(a+c-b)}{a+c}.$$

Подставляя вместо a, b и c их значения, находим, что MN = \frac{1}{7}.

Теперь мы рассмотрим задачи, в которых специально подобранные числовые данные резко упрощают решение задачи.

Задача 5. В треугольнике ABC даны стороны AB = 4, AC = \sqrt{17} и BC = 5. На стороне AB взята точка D макая, что AD = 1. Наимену расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников ADC и DBC, лежат на серединах сторона AC и BC, и искомое расстояние равно длине средней линии, параллельной AB, то есть 2 (рис. 5). То, что CD является высотой, следует из равенства

$$BC^2 - AC^2 = BD^2 - DA^2 = 8.$$

Как же договорается, что CD является высотой? Ведь из решения видно, что эта договора является основным моментом в решении — все остальные расчудения тривиальны. Мы не со-

Рис. 4.

Рис. 5.

55

бираемся (да и не можем) объяснить, как надо догадывать, но на одно важное обстоятельство указывает. Речь идет о чертеже. Аккуратно и грамотно выполненый чертеж является очень хорошим помогником при решении задачи. Это относится к любой геометрической задаче, как с числовыми, так и с буквенными данных. Если данные — числовые, то на чертеже следует отразить заданные размеры фигуры. Например, если в разобранной задаче сделать чертеж с соблюдением заданных пропорций, то довольно легко увидеть, что CD — высота.

Задание 6 (геофак МГУ, 1970). В грапецции ABCD известны основания AD = 39 cm, BC = 26 cm и боковые стороны AB = 5 cm, CD = 12 cm. Найти радиус окружности, которая проходит через точки A и B и касается стороны CD или ее продолжения.

Достроим трапецию до треугольника AED (рис. 6). Из подобия треугольников BEC и AED легко получаем BE = 10 cm, CE = 24 cm. Если чертеж выполнен аккуратно, то можно заметить, что $\angle AED = 90^\circ$: Это легко доказать: $AE^2 + ED^2 = AD^2$. Пусть O — центр окружности, просходящей через A и B и касающейся ED в точке G. Опустим из O перепencilкур OF на AB, тогда F — середина хорды AB. Очевидно, OG = EF = 12,5 cm. Отсюда искомый радиус равен 12,5 cm.

В следующих задах числовые данные проявляются веса свеоб–

Рис. 6.

Рис. 7.

разно. При предварительном изучении такой задачи трудно предугадать, как именно повлияет эти данные на решение, но стоит начать решать задачу, и в некоторых моментах становится что только при этих данных можно получить ответ. Как правило, в подобных задах пусть решения оченьiden, хотя с самого начала не ясно, приведет ли он к ответу.

Задание 7 (бинофак МГУ, 1970). На сторонах выпуклого четырехугольника ABCD, площадь которого равна 1, взяты точки: K на AB, L на BC, M на CD и N на AD. При этом $\frac{AK}{KB} = 2, \frac{BL}{LC} = \frac{1}{3}, \frac{CM}{MD} = 1, \frac{DN}{NA} = \frac{1}{5}$. Найти площадь шестиугольника AKLCMN.

Отношение площадей треугольников KBL и ABC равно $\frac{BK \cdot BL}{AB \cdot BC} = \frac{1}{12}$ (рис. 7). Отношение площадей треугольников MND и ADC равно $\frac{DN \cdot DM}{AD \cdot CD} = \frac{1}{12}$. Таким образом, сумма площадей треугольников KBL и MND равна $\frac{1}{12}$, откуда искомая площадь $\frac{11}{12}$.

Ясно, что такая задача в общем виде вообще не имеет однозначного решения.

Задание 8 (мехмат УрГУ, 1968). Три пункта A, B и C соединены пря-

56

молинейными дорогами. К отрезку дороги АВ примыкаем квадратное поле со стороной, равной $\frac{1}{2} AB$. К отрезку дороги BC примыкаем квадратное поле со стороной, равной BC, а к отрезку дороги CA примыкаем прямоеугольный участок леса длиной, равной CA, и цириной 4 км. Площадь леса на 20 км² больше суммы площадей квадратных полей. Найти площадь леса.

На первый взгляд данных слишком мало для решения задачи. Однако перейдем к вычислениям. Обозначим стороны треугольника AB, BC и CA через c, a, b соответственно. Тогда из условия задачи имеем: $4b = 20 + \frac{c^2}{4} + a^2$. Воспользуемся неравенством треугольника $b \leq a + c$ и подставим в него b, выраженное через a и c:

$$\frac{1}{4}\left(20 + \frac{c^2}{4} + a^2\right) \leq a + c.$$

После простых преобразований этого неравенства получаем: $\left(\frac{c}{2} - 4\right)^2 + (a - 2)^2 \leq 0$, откуда $c = 8(\text{km})$, $a = 2(\text{km})$, а $b = a + c = 10(\text{km})$. Площадь леса равна 40 км².

Избранный путь решения является единственной возможным в данной задаче. Но то, что он приводит к ответу, оказываясь следствием специального подобранных данных. В результате этого подобра три точки A, B и C оказались лежащими на одной прямой и данных задчи хватило для получения ответа.

Уражнения

1. (мехмат МГУ, 1969). Прямоуольные проекции плоского четырехугольника на две взаимно перпендикулярные плоскости является квадратами со стороны 2. Одана из диагоналей четырехугольника равна $\sqrt{14}$. Найти другую диагональ.

2. В остругольном треугольнике ABC дано $AB = 15$, $BC = 10$ и угол BAC равен arccos $\frac{7}{9}$. Вокруг треугольника ABC описана окружность и через точку D, лежащую на AC на расстоянии 9 от A, проведена хорда BE. Найти площадь треугольника AEC.

3. Дан треугольник ABC со стороны 5, 2 и $\sqrt{22}$, причем $AC = \sqrt{22}$. На AC взята точка D так, что BD = 3. Найти расстояние между точкой D и центром окружности, описанной вокруг треугольника ABC.

4. (физфак МГУ, 1971). В правильную треугольную прямую SABC, все ребра которой равны a, вписана сфера. На ребре SA взята точка M так, что AM = MS, а на ребре BC взята точка N так, что 2CN = = NB. Прияма MN пересекает сферу в двух точках P и Q. Найти длину отрезка PQ.

5. (химфак МГУ, 1971). В треугольнике ABC со стороны AB = $\sqrt{3}$ cm, BC = = 4 cm, AC = $\sqrt{7}$ cm проведена медиана BD. Окружности, вписанные в треугольники ABD и BDC, касаются BD в точках M и N соответственно. Определить длину отрезка MN.

6. (геофак МГУ, 1971). Две окружности радиуса r касаются друг друга. Кроме того, каждая из них касается извне треугольника радиуса R в точках A и B соответствующего. Определить радиус r, если AB = 12 cm, R = 8 cm.

7. (биофак МГУ, 1971). Правильный треугольник ABC со стороны, равной 3, вписан в окружность. Точка D лежит на окружности, причем длина хорда AD равна $\sqrt{3}$. Найти длины хорда BD и CD.

8. (биофак МГУ, 1970). Дан треугольник ABC, площадь которого равна единице. На медиана AK, BL и CN треугольника ABC взяты соответствующим точки P, Q и R так, что

$$\frac{AP}{PK} = 1, \frac{BQ}{QL} = \frac{1}{2}, \frac{CR}{RN} = \frac{5}{4}.$$

Найти площадь треугольника PQR.

9. (экономич. ф-т МГУ, 1970). Объем бруска, имеющего форму прямогоного параллелепипеда, равен 150 cm³, площадь полной поверхности равна 280 cm², перimetр основания равен 40 cm. Найти размеры бруска.

10. (экономич. ф-т МГУ, 1971). В двумя углами угол 60° вписан шар радиуса R. Найти радиус шара, вписанного в тот же угол и касающей данго шара, если известно, что прямая, соединиющая центры обихих шаров, образует с ребром двумя углами угол 45°.

11. Дан треугольник со стороны AB = 4, BC = 3 и AC = 5. На стороне AB взята точка D так, что DB = $\frac{7}{8}$. Через точки C, D и B проведена окружность, пересекающая AC в точке E. Найти длину отрезка BE.