Почему подушка мягкая?

77

Почему подушка мягкая? Почему удобно лежать на перине или на надувном матрасе? Почему лежать на досках или твердой земле неудобно?

Если вы просто скажете, что пух и воздух мягкие, а доски и земля твердые, то будет несовсем правы. Дело вовсе не в свойстве материалов — и доски и твердая глина могут быть «мягкими». И из твердого материалов можно сделать удобное «ложке», если придать ему форму человекаского тела.

Представьте себе, что вы легли на мягкую глину и оставили в ней углубление, соответствующое форме вашего тела. Высохнуть, глина станет твердой, как камень. Если теперь вы лежите в получившееся углубление, то вам будет очень удобно, несмотря на то, что ваше «ложке» никак не назовешь мягким (правда, при высыхании размер несколько изменится, но мы это учитывать не будем).

Так в чем же дело? Оказывается, впечатление мягкости или твердости зависит не от свойства материалов, а от величины давления на поверхности тела. Проведем небольшой расчет.

Будем считать, что масса взрослого человека — около 60 кг, поверхность тела — примерно 2 м². Если человек лежит в постели, которая прогибается и как бы «охватывает» тело, с ней соприкасается примерно четверть всей поверхности его тела.

Нетрудно подсчитать, что в этом случае на один квадратный сантиметр поверхности тела приходится всего 12 Г. А если этот же человек лежет на твердую, неупругую поверхность, площадь соприкасающей составит только около ста квадратных сантиметров. Тогда на один квадратный сантиметр придетя уже 600 Г, то есть давление возрастет в 50 раз!

Н. М.

79

2. Если $a > 1$, то $a^{-2} < x < a$; если $0 < a < 1$, то $0 < x < a$ и $x > a^{-2}$.

3. $x = \frac{k\pi}{2}$, $k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$.

Указание. Проверить, что права часть уравнения равна $\frac{1}{4}$. Далее доказать, что уравнение $\sin^{10}x + \cos^{10}x = 1$ удовлетворяется, лишь если $\sin^2x = 1$ (и $\cos x = 0$) или если $\cos^2x = 1$ (и $\sin x = 0$).

4. $\arcsin\left(\sqrt{2}\cos\frac{\alpha}{2}\right)$.

Вариант 2

1. $z_1 = 2 + i$; $z_2 = 3 + \frac{2}{3}i$.

2. $x > 2$.

3. $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, $k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$

$y = \frac{\pi}{2} + n\pi$, $n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$

4. $2\arctg\frac{\sqrt{\frac{1}{3} + \cos^2\alpha}}{\sin\alpha}$

Вариант 3

1. Если $a > b$, то $x \geq -2b$; если $a < b$ то $x \geq -2a$; если $a = b$, то решение нет.

2. $x = \frac{1}{3}$, $y = \frac{1}{5}$.

3. $x = \frac{(k+l+1)\pi}{2}$, $y = \frac{(k-l)\pi}{2}$, где $k$ и $l$ — любые целые числа.

4. $\frac{37+3\sqrt{2}}{6\sqrt{2}-1}\pi R^2$. Указание. Постраайтесь возможно яснее представить себе полушар, вписанный в усеченный конус; обратите внимание на то, что у данного усеченного конуса большим является верхнее основание.

Инженерный факультет

Вариант 1

1. $x_1 = -1$; $x_2 = 5$. Указание. Следать замену $x - 2 = y$.

2. $x > -1$.

3. $x_1 = \frac{\pi}{4} + k\pi$, $x_2 = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi$, $k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$.

4. $\frac{1}{3}a^3\sin\frac{\alpha}{2}\sqrt{\cos^2\frac{\alpha}{2} - \frac{1}{4}}$.

Вариант 2

1. $x < -2$, $-\frac{1}{2} < x < 0$, $0 < x < \frac{1}{2}$, $x > 2$.

2. $x = 5$.

3. $x_1 = \frac{5\pi}{12} + \frac{2k\pi}{3}$, $x_2 = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi$, $k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$.

4. $\frac{2a^4}{a^2 - 4R^2}$.

К статье «Телевидение готовит вуз»

Физика

1. Три шарика лежат на дне сосуда, четвертый сверху опирается на них. Соединив центры шариков, получим правильную треугольную примиду.

Рассмотрим взаимодействие верхнего и одного из нижних шариков (см. рис. 2).

Сила давления нижнего шарика на стенку сосуда равна

$$F_x = F_3\cos\alpha,$$

где $F_3$ — сила действия верхнего шарика на нижний.

На верхний шарик действуют силы: $mg$, $F_1 = F_3$ и $F_2$ — силы действия остальных двух нижних шариков на верхний. Из условия равновесия верхнего шарика

$$F_1 = \frac{mg}{2}\cdot\frac{1}{\sin\alpha}.$$

Из треугольника $ABC$ $\cos\alpha = \frac{D - d}{2d}$

Рис. 2.

80

Рис. 3.

тогда

$$\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{\frac{3d^2 - D^2 + 2dD}{4d^2}}$$

Масса шарика $m = \rho \pi \frac{d^3}{6}$

Окончательно получим

$$F_x = \frac{\pi d^3}{12} \rho g \frac{D - d}{\sqrt{3d^2 - D^2 + 2dD}} = 1,7 \text{ m}.$$

2. $l = \frac{v^2}{kg} = 12,8 \text{ m}$.

Указание. Воспользоваться законом сохранения энергии.

3. На рисунке 3 изображены два равновесных положения шарика: А и С. Из треугольника AOC по теореме косинусов

$$AC = l \sqrt{2(1 - \cos \alpha)},$$

где $\alpha = \alpha_1 + \alpha_2$, $tg \alpha_1 = \frac{a_1}{g}$, $tg \alpha_2 = \frac{a_2}{g}$.

Таким образом,

$$AC = l \sqrt{2} \times \sqrt{1 - \cos \left( \arctg \frac{a_1}{g} + \arctg \frac{a_2}{g} \right)} \approx 0,24 \text{ m}.$$

Корректор Т. С. Вайсберг

117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15, «Квант», тел. 234-08-11. Сдано в набор 6/VIII-73 г. Подписано в печать 20/IX-73 г.

Бумага 70×100 1/16. Физ. печ. л. 5.
Усл. печ. л. 6,50 Уч.-изд. л. 7,06

Математика

1. Так как $\frac{1}{\sqrt{k}} > \frac{1}{\sqrt{n}}$ при $k < n$, то

$$\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots +$$

$$+ \frac{1}{\sqrt{n-1}} + \frac{1}{\sqrt{n}} > \frac{n}{\sqrt{n}} = \sqrt{n}$$

2. Пусть, для определения, $0 < a \leq b$. Запишем доказываемое неравенство в виде $b^n (1 + x)^n < 2^n (1 + x^n) b^n$,

где $x = \frac{a}{b}$. Поскольку $0 < a \leq b$, то $0 < x \leq 1$, а тогда $(1 + x)^n \leq (1 + 1)^n = 2^n < 2^n + 2^n x^n = 2^n (1 + x^n)$.

3. Доказательство. Поскольку $2^{105} + 3^{105} = (2^3)^{35} + (3^3)^{35} = 8^{35} + 27^{35} = (8 + 27)(8^{34} - 8^{33} \cdot 27 + \ldots + 27^{34})$, то $2^{105} + 3^{105}$ делится на 35. Аналогично доказываются другие утверждения.

4. 95, 494. Указание. Представить 589 в виде 1·19·31; искомые числа имеют вид 19 n, 19 m, или 31 n, 31 m, где m, n — натуральные числа.

5. Приведем одно из возможных решений. Так как $\sin \beta = \sin [(\alpha + \beta) - \alpha] = \sin (\alpha + \beta) \cos \alpha - \cos (\alpha + \beta) \sin \alpha$, то равенство $\sin \alpha \cos (\alpha + \beta) = \sin \beta$ можно записать в виде

$$2\sin \alpha \cos (\alpha + \beta) = \sin (\alpha + \beta) \cos \alpha.$$

Поделив обе части последнего равенства на $\cos \alpha \cos (\alpha + \beta) \neq 0$, получим

$$2tg \alpha = tg (\alpha + \beta).$$

Окончание смотрите в № 12.

К задачам «Квант» для младших школьников (см. «Квант», 1973, № 10)

1. 338×275 = 92 950.

2. Сначала нужно включить задний тормоз, а затем перейти. Если сделать наоборот, велосипед может перевернуть.

3. 8 и 10 марок.

4. Спираль электропревателя расплавится, так как возникло гораздо хуже проводит телло, чем вода.

5. $1 - \pi/6$.

6. Ток равен нулю.

Чеховский полигraphический комбинат
Союзполигraphпрома
при Государственной комитеге Совета Министров СССР по делам издательств, полигraphии и книжной торговли, г. Чехов Московской области

Руководис не возврачаются

Школьники 16 стран решают задачи второго дня.
Руководитель шведской комисды А. Самуэльсон обсуждает с координатами работы школьников.