Решения задач М191—М194; Ф203—Ф207

42

Решения задач
M191—M194; Ф203—Ф207

M191. На плоскости даны две точки A и B и пряма l, проходящая через точку A и не проходящая через точку B. Через точки A и B проводится произвольная окружность. Пусть O — ее центр, C — ее точка пересечения с прямой l, отличиная от A. Найдем геометрическое место середины отрезков OC.

Мы найдем последовательно множества (все они оказываются прямыми линяями, рис. 1):
$m_1$ центров O;
$m_2$ середин отрезков OA — точек K;
$m_3$ середин высст OL равноведенных треугольников AOC — точек P;
$m_4$ середин отрезков OC — точек M.

Множество $m_1$, как хорошо известно, — пряма, проведенная perpendicularно отрезку AB через его середину. Обозначим через D и E точки пересечения прямой $m_1$ соответственно с прямой l и с perpendicularным, восставленным к прямой l в точке A (случай, когда прямы $m_1$ и l параллельны, очень прост, но должен быть расстоянотдельно); через G — середину отрезка AE; через F и H — такие точки прямой l, что AF = FD = DH (рис. 1).

Тепер нужно доказать три утверждения:

(1) Множество середин отрезков, у которых один конец (A) фиксирован, а другой расположен на данной прямой (DE), — пряма линия (FG; рис. 2).

(2) Множество середин отрезков, параллельных заданному направлению (AE) с концами на двух данных прямы (ED и AD), — пряма линия (DG; рис. 3).

(3) Множество вторых концов отрезков, параллельных заданному направлению (l), первыые концы и середины которых расположены на данных прямы (FG и DG), — пряма линия (HG; рис. 4).

Все эти утверждения доказывают несложно и почти одинаково. Докажем для примера (3). Во-первых, ясно, что любая точка M на прямой HG удовлетворяет нужному условияю: если через точку M проведи прямую, параллельную l, и обозначить через K и P ее точки пересечения с прямыми FG и DG, то P будет серединой отрезка KM

43

(это легко доказать с помощью подобия, используя равенство $HD = DF$). Во-вторых, на любой прямой, параллельной $l$, очевидно, лежит только одна точка искомого множества. Поэтому других точек (не лежащих на прямой $HG$) в этом множестве быть не может.

Остальные доказательства проведите сами.

Рассмотрим также случай, когда $AB \perp l$; в этом случае все три прямые $(m_2), (m_3), (m_4)$ сливаются в одну параллельную $l$ и деляюшую стрессок $AB$ в отношении $1:3$.

**M192. Данные числа 1, 2, 3, …, 1000. Наименье наиболее m, обладающее максимим свойством: какое бы m из данных чисел ни вычеркинуть, среди оставшихся 1000 — m чисел найдутся два, из которых одно делится на другое.

Докажем, что наиболее m равно 499. Прежде всего, проверим, что никакое m, больше или равное 500, не обладает нужным свойством. Действительно, если $m \geq 500$, то, вычеркивать m чисел (от 1 до m), мы оставим числа от $m + 1 \geq 501$ до 1000, среди которых ни одно, оченьное, не делится на другое (все попарные отношения меньше двух).

Теперь докажем, что $m = 499$ обладает нужным свойством. Другими словами, докажем, что среди любых 501 чисел от 1 до 1000 найдутся два, из которых одно делится на другое (аналогичная задача решения в книге «Избранные задачи и теоремы элементарной математики», ч. 1, «Арифметика и алгебра» № 91, «Наука», 1965).

Поставим в соответствии какдому числу (из 501) его наиболее нечетный делитель: числу $2^k (2l + 1)$ ставится в соответствии число $(2l + 1)$. Все нечетных чисел, меньше 1000, существует только 500. Следовательно, каким-то двум из 501 чисел будет соответствовать одно и то же нечетное число. Из таких двум чисел одно обязательно получится из другого умножением на некоторую степень двойки.

M193. Докажите, что сумма площадей прямого треугольников, образующих парами сторон

Приведем одно из наиболее коротких решений, приспланное A. Макарцевым (Львов).

Докажем, что сумма площадей некоторых четырех чисел из плошадей треугольников $ABC, BCD, CDE, DEA$ и $EAB$ (см. рис. 5). Пусть $F$ — точка пересечения $AD$ и $EC$. Поскольку точка $F$ лежит на отрезке $EC$, площадь $S_{ABF}$ заключена между $S_{ABE}$ и $S_{ABC}$ (рис. 6). Но мы знаем, что $S_{ABC} \leq S_{ABE}$. Поэтому $S_{ABF} \leq S_{ABE}$.

Аналогично, поскольку точка $F$ лежит на $AD$ и $S_{ABC} \leq S_{BCD}$, то $S_{BCF} \leq S_{BCD}$.

Но треугольники $AED, EDC, ABF$ и $BCF$ покрывают пятую треугольник (кусок $EFD$ — дважды). Поэтому сумма их плошадей больше $S_{ABCDE}$. Тем более

$$S_{ABE} + S_{AED} + S_{EDC} + S_{BCD} \geq S_{ABCDE}.$$

44

Пример, приведенный на рисунке 7, показывает, что отношение площади пяты треугольников к площади пятыугольника может быть очень близко к 1.

Рис. 8.

Рис. 9.

Нетрудно видеть, что это отношение не больше 2. Рисунок 8 показывает, что его можно сделать сколь годно близким к 2.

M194. Данные два взаимно простых наугольных числа a и b. Известно, что всякое целое число можно представить в виде ax + by, где x и y — целые. Расстояние между целыми числами, которые представить в виде ax + by, где x и y — целые неотрицательные числа.

a) Каково наибольшее число c, не принадлежщее множество M?

b) Докажите, что из двух чисел n и c — n (еде n — любое целое) одно принадлежит M, а другой нет.

(На рисунке 9 для a = 5 и b = 3 целые точки, принадлежите множество M, — красные, не принадлежщие — голубые).

Нарисуем на плоскости системы координат Oxy и сформируем нашу задачу на геометрическом языке. Каждый пару целых чисел (x, y) мы будем называть «целой точкой» и изобразить красной точкой, если обе ее координаты неотрицательны (x ≥ 0, y ≥ 0), и синей точкой — если хотя бы одна координата отрицательна (рис. 10). Взаимно простые наугольные числа a и b мы считаем фиксированными (на рисунке мы возьмем a = 5, b = 3). Для каждой n уравнение

$$ax + by = n$$

определяет, как известно, прямую. Обозначим ее через $l_n$. Разумеется, все прямые $l_n$ параллельны друг другу. Пусть $n$ — целое. Будем считать прямую $l_n$ красной, если она проходит хотя бы через одну красную точку, и синей — в противном случае *). Мы должны выяснить, каково наибольшее c, которое соответствует синяя прямой $l_c$, и доказать, что тогда из двух прямых $l_n$ и $l_{c-n}$ одна — синяя и одна — красная (n — любое целое число).

Мы будем пользоваться в нашем решения перемещения плоскости, которые отображают множество целых точек на себя и сновременно каждой прямой $l_n$ переводят в ту же самую или неокоторую другую прямую $l_n'$ из нашего семейства. Это, во-первых, параллельные перености на любой вектор (p, q) с целыми p и q:

$$(x, y) \mapsto (x + p, y + q),$$

и, во-вторых, повороты на 180° (или, что же самое, симметричное относительное точки) с любыми центрами $\left(\frac{p}{2}, \frac{q}{2}\right)$, где p и q — целые:

$$(x, y) \mapsto (p - x, q - y).$$

Докажем, что на каждой прямой $l_n$ целые точки встречаются через равные промежутки.

*) Как следует из сказанного в условия, каждая прямая $l_d$ переходит хотя бы через одну целую точку. Ниже мы доказем этот факт.

45

Лемма 1. Если $(x_0, y_0)$ — целая точка на прямой $l_n$, то близкий к ней целыми точками на $l_n$ будем $(x_0 - b, y_0 + a)$ и $(x_0 + b, y_0 - a)$ (а и b взаимно просты!).

Рассмотрим прямую $l_0$, проходящий через $(0, 0)$. Пусть $(-b_1, a_1)$ — близкий к $(0, 0)$ целая точка $l_0$ такая, что $b_1 > 0$, $a_1 > 0$ (мы еще не знаем, что $b_1 = b, a_1 = a$), $(x_0, y_0)$ — целая точка $l_n$. При пересечении на вектор $(x_0, y_0)$ отрезок прямой $l_0$ от $(0, 0)$ до $(-b_1, a_1)$ перейдет в отрезок $l_n$ от $(x_0, y_0)$ до $(x_0 - b_1, y_0 + a_1)$. Тем самым, точка $(x_0 - b_1, y_0 + a_1)$ будет близкой к $(x_0, y_0)$ точкой $l_n$ сверху. Точно так же при пересечении на вектор $(x_0 + b_1, y_0 - a_1)$ — тот же отрезок прямой $l_0$ перейдет в отрезок прямой $l_n$ от $(x_0 + b_1, y_0 - a_1)$ до $(x_0, y_0)$. Следовательно, и на этом отрезке целыми точками будут только его концы.

Отсюда уже следует, что на любой прямой $l_n$ (если на ней есть хотя одна целая точка) промежуток между соседними целыми точками один и тот же: $a_1$ единиц по оси $Oy$ и $b_1$ — по оси $Ox$. Это, в частности, относится к прямой $l_0$. Поскольку $(-b, a)$ принадлежит $l_0$, то отсюда следует, что $b = db_1$, $a = da_1$, где $d$ — кекторс целое число. Но числа $a$ и $b$ по условию взаимно просты. Значит, $d = 1$, то есть $a = a_1$, $b = b_1$. Лемма 1 доказана.

Из этой леммы следует, что каждая прямая $l_n$, где $n$ — целое, переходитровно через одну точку внутри полосы $0 \leqslant x \leqslant b - 1$. При этом, очевидно (см. рис. 10), если прямая красная, то есть где-то переходит через красную точку, то ее целая точка в виделенной полосе тоже будет красной (а точка синего прямой, разумется, синяя).

Теперь заметим, что при симметричной относительной точки $\left(\frac{b - 1}{2} - \frac{1}{2}\right)$ $(x, y) \rightarrow (x', y') = (b - 1 - x, -1 - y)$, полоса $0 \leqslant x \leqslant b - 1$ переходит в себя, причем красные точки переходит в синние, и наоборот. Примяя $l_n$ после этой симметричной переходит в прямую $l_{ab-a-b-n}$: если $ax + by = n$, то $ax' + by' = a(b - 1 - x) + b(-1 - y) = ab - a - b - n$. (Через центр симметрики, где $a\left(\frac{b - 1}{2}\right) + b\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{ab - a - b}{2}$, ни одна из наших прямых может и не проходить; на рис. 10 центр — точка $(1, -\frac{1}{2})$.

Ясно, что самая нижняя красная прямая — это $l_0$. Следовательно, самая верхняя синяя прямая — это $l_{ab-a-b}$. Итак, наиболее число, не принадлежащое множеству, — это $c = ab - a - b$,

и из двух чисел $n$ и $c - n$ одно принадлежит $M$, а другое — нет.

Мы пользовались тем, что каждое целое $n$ можно представить в виде $ax + by$, где $x$ и $y$ — целое, Это тоже нетрудно доказать с помощью «решетки».

Лемма 2. На каждой прямой $l_n$, где $n$ — целое, есть хотя бы одна целая точка.

Достаточно доказать, что целая точка $(x_0, y_0)$ есть на прямой $l_1$: если $ax_0 + by_0 = 1$, то $a(nx_0) + b(ny_0) = n$, так что $(nx_0, ny_0)$ будет принадлежать $l_n$.

Рассмотрим параллельгам с вершинами $(0,0)$; $(0,1)$; $(b,1 - a)$; $(b,-a)$, две менящие стороны которого равны 1, а большее лежат на прямых $l_0$ и $l_b$. Внутри этого параллельгам (не в вершинах) лежит $b - 1$ целая точка: на каждой прямой $x = 1$, $x = 2$, $x = b - 1$ — по одному. С другой стороны, всего этот параллельгам пересекают как раз столкно же $(b - 1)$ — прямых $l_n : l_1, l_2, \dots, l_{b-1}$ (не считая $l_0$ и $l_b$). Поскольку более одной целой точки, координаты $x$ которых отличаться меньше на $b$, прямая $l_n$ имеет не может, то, стало бы быть, все точки в количество $(b - 1)$ лежат по одной штуке на каждой прямой. В частности, есть целая точка и на $l_1$. Лемма 2 доказана.

Ф203. В электронном генераторе использован прюод, в котором рассмотрение между камодом и анодом равно 1 мм. Оценить максимальный число колебаний, который можно получить, использующий этом генератор, если анодное направление составляет 200 в.

Периодически колбаные точки в одной цепи лампы генератора достигается периодически изменением потенциала сетки лампы. Время $t$, за которое происходит потенциала сетки, должно быть не меньше времени $t$ проекта электрона от када к аноду. Максимальный возможную частоту колебаний, получаемых с помощью данного генератора, можно определить из условия

$$\tau = t \Rightarrow v_{\max} = \frac{1}{\tau}.$$

(Если $\tau > t$, то электрон не успевает достичь каталога до «запирания» лампы.)

Напряжение поля между электродами $E = \frac{U}{d}$ (мы не учитываем меняющиеся поле сетки),ускорение электрона равно $a = \frac{eE}{m} = \frac{eU}{md}$. Следовательно,

$$d = a \frac{\tau^2}{2} \Rightarrow \tau = \sqrt{\frac{2d}{a}} = \sqrt{\frac{2d^2m}{Ue}}.$$

Позтоу $v_{\max} = \sqrt{\frac{Ue}{2d^2m}} \approx 3000$ Мец.

И.Ш. Словодечкий

46

Ф204. Космический корабль подлегаем к Луне по параболической траектории, почти касающейся поверхности Луны. В момент максимального слияния с Луной на короткое время включается морозной двигаемель, и корабль переходит на круговую орбиту супнника Луны. Определять изменение скорости корабля при морожении. Радуус Луны $R_\pi = 1740$ km, ускорение свободного падения на поверхности Луны $g_\pi = 1,7 \text{ m/c}^2$.

Примечение. На параболической траектории полная энергия корабля равна нулю.

При движении космического корабля по параболической траектории в любои точке траектории выполняется условия

$$E_{\text{полн}} = E_{\text{пот}} + E_{\text{кип}} = 0,$$

то есть

$$\gamma \frac{m M_\pi}{R} = \frac{mv^2}{2},$$

где $M_\pi$ — масса Луны, $m$ — масса корабля, $R$ — расстояние от корабля до Луны, $v$ — скорость корабля в данной точке, $\gamma$ — гравиатционная постоянная. В момент максимального приближения к Луне $R = R_\pi$ (так как траектория почти касается поверхности Луны, мы пренебрегаем высотой орбиты по сравнению с радиусом Луны $R_\pi$).

Скорость корабля в этот момент максимальная; найдем ее из условия

$$\frac{mv^2_{\text{max}}}{2} = \gamma \frac{M_\pi m}{R_\pi};$$

отсюда

$$v_{\text{max}} = \sqrt{2\gamma \frac{M_\pi}{R_\pi}} = \sqrt{2g_\pi R_\pi}$$

($v_{\text{max}}$ — вторая космическая скорость для Луны). При движении по круговой орбите центростремительное ускорение корабло сообщает сила тяготения. Следовательно, при торможении скорость корабля надо поннить до величины $v_1$, определяемой из условия

$$\frac{mv^2_1}{R_\pi} = \gamma \frac{M_\pi m}{R^2_\pi}$$

(согласно второму закону Ньютона). Отсюда

$$v_1 = \sqrt{\gamma \frac{M_\pi}{R_\pi}} = \sqrt{g_\pi R_\pi}.$$

Изменение скорости при торможении

$$\Delta v = v_{\text{max}} - v_1 = g_\pi R_\pi (\sqrt{2} - 1) \approx 700 \text{ m/c}.$$

С. М. Козел

Рис. 11.

Ф205. Осколком стека A неправильной формы на вертикальной стенку пускают солнечный зайчик один раз в мочи B, другой раз в мочи C (рис. 11). Зайчик в моче B оказывается круглым, а освещенность его в чентре второе больше, чем на участках, освещенных молко рассеянным светом. Какова освещенность в чентре зайчика в моче C?

Луни SA, AB и AC лежат в одной вертикальной плоскости, лун AB горизонтален, $SAB = BAC = 45^\circ$.

Вы, наверное, не раз заменали, что если стенка, на котором вы пускаете солнечный зайчик, находится дальше от вас, то зайчик оказывается круглым, а если стенка находится близко, то солнечный зайчик имеет ту же форму, что и зеркало. Почему это происходит?

Луни света, идущие от любои точки Солнца, отражаются от зеркало и, попадая затем на экран, дают пятно, имеющее форму зерка (рис. 12). Так как Солнце находится

47

очень далеко и лучи, идущие от точки Солнца и отраженные затем от зеркала, можно считать паралельными друг другу, то размер пятна совпадает с размером зеркала. Такое пятно дает каждая точка Солнца. На экране пятна накладывается друг на друга. Если экран находится близко к зеркалу, так что размер каждого из пятен больше расстояния между пятнами, которые получаются при отражении от зеркала лучей, идущих от диаметрально противоположных точки Солнца, то зайчик на экране будет иметь форму зеркала, хотя и несколько размитьую (размеры зайчика будут мало отличаться от размеров зеркала). Если же экран находится далеко от зеркала, так что размеры каждой пятна малы по сравнению с большим «суммарным» пятном, то это больше пятно будет круглым или эллиптическим, в зависимости от угла между плоскостями зеркала и экрана.

Выше мы говорили о большом или малом расстоянии между зеркалом и экраном. Но какие расстояния можно считать большими, а какие малыми? Для того чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим лучи, идущие из диаметрально противоположных точки Солнца (или, что то же, от точек минимого изображения Солнца в зеркале) (см. рис. 13, а). Ясно, что пятно на экране имеет форму зеркала, если угловой размер зеркала, то есть угол $\gamma_1$, под которым видно зеркала из точки экрана, больше углового размера Солнца $\alpha$ (рис. 13, б). Если же угловой размер Солнца больше углового размера зеркала $\gamma_2$ (рис. 13, с), то зайчик на экране имеет форму кругла (или эллипса).

48

В нашем случае зайчик от осокла стека оказался в точке $B$ круглым. Круглым он будет и в точке $C$, которая находится от стека еще дальше, чем точка $B$. Это означает, что угловой размер Солнца в нашем случае больше углового размер стека. Но в этом случае, как видно из рисунка 13, $\theta$, в каждую точку экрана попадают лучи, и душие не из всех точек Солнца или его минимого изображения, а только из тех, которые видны из точки экрана в том же телесном угле $\Omega$, что и стекло. Следовательно, освещенность пятна на экране за счет тех лучей, которые отражаются от стека, пропорциональна телесному углу $\Omega$, в котором видно стекло из точки экрана. Для точки $B$ этот угол равен $\Omega_1 = \frac{S \cos \alpha_1}{R_1^2}$, где $S$ — площадь поверхности стека (рис. 14, а). Поэтому добавка к освещенности рассеяным светом в точке

$$B \text{ экрана равна } k \frac{S \cos \alpha_1}{R_1^2}, \text{ где } k \text{ — коэффициент пропорциональности.}$$

Пусть $E_0$ — освещенность тех участков экрана, на которые попадает только рассеяный свет. Тогда в точке $B$ добавка к освещенности рассеяным светом составляется

$$\Delta E_B = 3E_0 - E_0 = 2E_0 = \frac{kS \cos \alpha_1}{R_1^2}. \tag{1}$$

В точке $C$ телесный угол, в котором видно зеркало (рис. 14, б), равен

$$\Omega_2 = \frac{S \cos \alpha_2}{R_2^2}.$$

Это означает, что если бы экран в точке $C$ был перпендикулярен солнечным лучом, то его освещенность в точке $C$ была равна

$$E_C = E_0 + k\Omega_2 = E_0 + k\frac{S \cos \alpha_2}{R_2^2}.$$

Так как отраженные солнечные лучи в точке $C$ составляют угол $\beta$ с нормалью к поверхности экрана, то

$$E_C = E_0 + k \frac{S \cos \alpha_2}{R_2^2} \cos \beta. \tag{2}$$

Сравним формулы (1) и (2), найдем, что

$$E_C = E_0 \left[ 1 + 2 \frac{\cos \alpha_2}{\cos \alpha_1} \left( \frac{R_1}{R_2} \right)^2 \cos \beta \right].$$

Так как $R_2 = R_1/\cos \beta$, $\alpha_1 = 22.5^\circ$, $\alpha_2 = 45^\circ$ и $\beta = 45^\circ$, то

$$E_C = E_0 \left[ 1 + 2 \frac{\cos^4 45^\circ}{\cos 22.5^\circ} \right] = 1.52 E_0.$$

Ф206. Оцените, до какой максимальной температуры может нагреться из-за претензия о воздуха поверхность самолета, который лемит со скоростью, близкой к скорости звука. Для оценки ситамь, что воздуха составляет из двух амортиных молекул азота, энергия которых равна 5/2 kT, где $k$ — постоянная Больцмана и $T$ — абсцилматная температура. Температуру окружающей воздуха считать равной $-10^\circ C$.

При стоклковении молекул азота с поверхностью самолета она не может получить энергию большую, чем $\frac{5}{2} kT_1 + \frac{mv^2}{2}$, где $v$ — скорость самолета (или, в системе координат, связанной с самолетом, средняя скорость упорядоченного движения на летеаюших на нос самолета молекул азота), $m$ — масса молекул азота, $T_1$ — температура окружающей воздуха.

49

Рис. 15.

Так как молекулы азота после стольновения с самолетом должны иметь энергию $\frac{5}{2} kT_2$, соответствующее температуре $T_2$ поверхности самолета, то

$$\frac{5}{2} kT_2 < \frac{5}{2} kT_1 + \frac{mv^2}{2}.$$

Отсюда

$$T_{2\max} = T_1 + \frac{1}{5} \frac{mv^2}{k} \approx 373^\circ\text{K}.$$

Ф207. На поверхности масла, наимного в цилиндрической сосуд, плавает кусочек водяного льда. Температура всей системы равна $0^\circ\text{C}$. Как изменится уровень масла и давление на дно сосуда, коеда лед расмаем, а образованная вода опустится на дно сосуда?

Давление на дно сосуда не изменится. Дейстивтельно, сила давления на дно $F$ равна весу содержимого сосуда, а вес не меняется. Следовательно, не меняется и само давление, равное $\frac{F}{S}$, где $S$ — площадь дна сосуда.

А как меняется уровень масла? Пусть высота уровня воды в сосуда равна $h_3$, высота уровня масла равна $h_2$, а высота уровня масла до таяния льда $h_1$ (рис. 15). Так как лед плавает и некасается дна сосуда, то давление на дно в первом случае равно

$$p_1 = \rho_M g h_1.$$

Во втором случае оно равно

$$p_2 = \rho_M g \left(h_2 - h_1\right) + \rho_E g h_3$$

($\rho_M$ — плотность масла, $\rho_E$ — плотность воды).

Из равенства давления следует, что

$$\rho_M h_1 = \rho_M \left(h_2 - h_1\right) + \rho_E h_3$$

и

$$h_2 = h_1 - \left(\frac{\rho_B}{\rho_M} - 1\right) h_3.$$

Так как $\frac{\rho_B}{\rho_M} > 1$, то $h_2 < h_1$.

Следовательно, уровень масла при таянии льда понизится.

И. Ш. Слободецкий

50

1, 3, 4, 8; О. Кожущий (Москва) 3; К. Козел (Польша) 1, 4; Б. Коломенский (Киев) 3; В. Комлев·Краснойск) 3; С. Коняzin (Саратов) 0, 1, 3—5, 7, 8; С. Корнеев (Новокузнецк) 3; С. Кузнецов (Чебоксары) 1, 3; А. Кукуш·Киев) 3, 7, 9; Е. Кулянин (Рязань) 3; В. Кульбака (с. Держановка Черниговской обл.) 3; В. Куранов (Тетюш ТАССР) 3; А. Курбамов (Москва) 3; А. Курляндчик (Ленинград) 1, 3—5, 8, 9; Л. Лалаян (Баку) 3; А. Леосмеев (Москва) 3; Г. Либеров (Москва) 1; А. Лимовенко (Белокорович Житомирской обл.) 1, 3, 4; М. Лифицц (Ленинград) 0 6); Ю. Лебан (Евпатория) 1, 7, 8; Т. Локомоши (Одеcca) 3; И. Лучинкин (Днепропетровск) 1, 3, 4; А. Львов (Саратов) 3; М. Любиц (Харьков) 8; Е. Мазур (Дербент) 1; А. Макариев (Львов) 1, 4, 5; Г. Малашонок (Львов) 1, 3, 4, 7, 8; В. Маркин (Толочин Витебской обл.) 1, 4; Г. Мамевев (Ленинград) 3, 4, 7; В. Мацукамов (п. Цалка ГССР) 3; И. Медживовский (Москва) 3; С. Мельник (Харьков) 1, 3; С. Мерзляков (Уфа) 3, 4; Ю. Меренков (Бердигестях ЯАССР) 3, 4; К. Миннахметов (Бугульма ТАССР) 1, 3; А. Молоткв (Кубинка Московской обл.) 7; В. Мондрус (Тбилиси) 3; Ж. Мукажанов (ст. Жарма Семипалатинской обл.) 7; Г. Мумиов (Хаджабадский р-н УзССР) 3, 4; К. Миннахметов (Бугульма ТАССР) 1, 3; А. Молоткв (Кубинка Московской обл.) 7; В. Нападов (Харьков) 7; С. Насыров (Казань) 3; В. Наумов (п. Коммунар Ленинградской обл.) 4; Л. Нахмансон (Орск) 3; А. Николаев (Москва) 1, 3, 5, 7; Т. Никонова (Москва) 3; Р. Норвация (Каунс) 3; С. Нужный (Куйбышев) 1, 3, 7; С. Овчинников (Ленинград) 3, 4; С. Одеanesян (Армавир) 3; В. Олейник (Днепропетровск) 1, 4; В. Орлов (Астрахань) 3; Д. Панженский (Усть-Каменогорск) 4; В. Паньков (Минск) 1, 3; О. Паракина (Москва) 3; П. Парамонов (Москва) 1, 3; Э. Париис (Ташкент) 1, 3, 8; А. Парлов (ст. Узловая Тульской обл.) 1; А. Пасмухов (Свердловск) 1; Н. Петрс (Болгария) 4; А. Печковский (Москва) 1, 3, 4; А. Пидман (Одеcca) 1, 3, 4; В. Писарский (Москва) 1; С. Пицков (Москва) 3; Л. Пицквса (п/о Плисма Минской обл.) 3; С. Пожидаев (Куйбышев) 1, 3, 7; М. Половинник (Мена Черниговской обл.) 1; В. Поркшейн (Ростов-на-Dону) 1; А. Приорницкий (Славянск Донецкой обл.) 3; В. Прунс (Москва) 8; С. Путинцев (Кемерово) 1, 3; Г. Пятецкий (Москва) 3; А. Разгулеев (Клин Московской обл.) 8; А. Райин (Москва) 1, 3—5; А. Рашковский (Харьков) 1, 3—5; А. Резников (Киев) 3; Г. Резников (Саратов) 3, 4; С. Родцовов (Саратов) 1, 3—5; Р. Рожков (Рязань) 1, 3; Е. Рудерман (Черновцы) 3; Н. Рундковист (Свердловск) 1; М. Садыков (Казань) 3; М. Сапир (Свердловск) 1, 3, 4; С. Самановский (Харьков) 1, 3—5, 7; А. Сбоев (п. Медведок Кировской обл.) 4; А. Седаль (Ленинград) 8; Т. Сельбирак (Польша) 1, 3; В. Семенов (Минсч Челябинской обл.) 1; С. Семенов (Воронеж) 3; И. Сивцкий (Ленинк-град) 7; И. Сидоров (Москва) 3, 4; И. Симонсив (Москва) 1, 3, 4, 7; М. Синяков (Саратов) 1; Р. Сирома (Харьков) 3—5; Г. Склад (Харьков) 1, 3—5; В. Слепой (Фрунзе) 3, 7; А. Слераенко (Рубцовск Алтайского края) 1, 3,7—9; А. Слинкин (Москва) 1, 3, 4, 7,8; А. Соколов (Новосибирск) 3; В. Солодукин (Степногорск) 1; В. Соломяк (Ленинград) 1, 3; Т. Сона (с. Каменское Запорожской обл.) 3; П. Сухов (Саратов) 1, 3; С. Степькина (Могилев) 3; С. Табачинков (Москва) 1, 3, 4, 7—9; А. Тарнополский (Коростен Житомирской обл.) 4, 7; И. Термный (Первомайск Николаевской обл.) 1; А. Ткай (Каменец-Подольский) 1; В. Ткаченko (Киев) 3; О. Труков (Джалал-Абад КиргССР) 3; Э. Туркеци (Черновцы) 1, 3, 4, 7,9; С. Фомин (Ленинград) 1, 3—5, 7,9; В. Ходорвский (Днепропетровск) 3; В. Хонин (Первоуральск) 4; С. Церковный (Ленинград) 1, 3, 4, 9; И. Цукerman (Ленинград) 1; Ю. Цыzanов (п. Вербилки Московской обл.) 3, 7; В. Цырклееви (Бельцы) 1; Н. Чатурлеев (Тбилиси) 3; С. Чермешанцев (Ленинград) 3, 4; Н. Чернов (Кривой Рог) 1, 3, 4; А. Черебамов (Омск) 8; Ю. Чернявский (Киев) 1, 3; З. Чертков (Киев) 1, 3; М. Шаймухамбетов (Алма-Ата) 3; А. Шерсток (Николаев) 1, 3, 4; Е. Шесаков (Москва) 1, 3, 4; В. Ширман (Харьков) 1, 3—5, 7,9; А. Шехорский (с. Старики Житомирской обл.) 1, 3, 4; И. Юнус (Харьков) 1, 3—5, 7; А. Яковлев (п. Самохвалович Минской обл.) 1, 3; А. Ярославцев (Шелково Московской обл.) 4.

Ю. П. Лисов

Редакция получила свыше 500 писем с решением задач Ф193—Ф202. Правильные решения этих задач присладали (жирная цифра после фамилия — последняя цифра номера задачи): Н. Ажицев (с. Липовка Львовской обл.) 9, 0; С. Акмерцев (Магнитогорск) 9; С. АLEXин (Липецк) 1; А. Амиров (Оренбург) 9; Ш. Амакулов (Фергана) 9; Н. Амицев (п. Липовка Львовской обл.) 9; Р. Басиров (д. Н. Каракитяны ТАССР) 0, 2; С. Блаодер (Бокистогорск) 9; А. БLEXMAN (Алма-Ата) 9; С. Бобков (Курган) 2; Л. Брацинский (Фрунзе) 8, 9, 0, 1, 4, 5; А. Браславец (Новосибирск) 7; И. Брамовская (Усолье-Сибирск) 7; М. Бунеев (п. Кечевка Кечевского р-на) 9; П. Бухаринов (Беззняки) 9; М. Васнецов (Киев) 0; Ю. Визен (Ленинград) 4; И. Волков (Москва) 9, 0; А. Восканян (Ерван) 4, 5; В. Герасимов (Сарапул УдАССР) 6; А. Герман (Воронеж) 0, 4, 6, 7; С. Герц (Хуст) 1; Н. Головко (Просладный) 6; В. Голумва (Выскополье) 9; В. Горбulin (с. Красногвардейское Став-