Động học của chuyển động thẳng của một chất điểm

57

Động học
đường thẳng
sự chuyển động
điểm vật chất

Chuyển động tuyến tính đều
Chuyển động thẳng đều là chuyển động trong đó một chất điểm trải qua những chuyển động bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau. Phương trình chuyển động đó ở dạng vectơ được viết như sau:
$$S = vt$$
trong đó $S$ là độ dịch chuyển, $v$ là tốc độ di chuyển, $t$ là thời gian.

Chuyển động của một điểm vật chất luôn được coi là tương đối với một vật thể nào đó, vật thể này trong một bài toán nhất định được coi là đứng yên và được gọi là vật thể báo cáo. Một hệ tọa độ được liên kết với nó; Cùng với nội dung của báo cáo, chúng tạo thành hệ thống báo cáo. Đối với chuyển động thẳng, chỉ cần chọn một trục tọa độ, ví dụ $OX$. Khi đó vị trí của điểm sẽ được xác định bởi tọa độ $x$ của nó. Phương trình chuyển động đều ở dạng vô hướng sẽ như sau:
$$x = x_0 + vt$$
trong đó $x_0$ là tọa độ của điểm tại thời điểm $t = 0$.

Sự lựa chọn đúng đắn về hệ thống báo cáo thường tồn tại để tạo điều kiện thuận lợi cho lời giải bài toán. Chúng ta hãy xem xét một vài bài toán cụ thể.

Bài toán 1. Một hành khách ngồi ở cửa sổ tàu, tạo ra tốc độ $v_1 = 72$ km/h, chúng ta thấy một đoàn tàu đang tới, tạo ra tốc độ $v_2 = 31,4$ km/h, trong 10 giây. Xác định chiều dài của đoàn tàu đang tới và hướng trục tọa độ theo hướng tốc độ của đoàn tàu đang tới. Các giá trị của vận tốc $v_1$ và $v_2$ được chỉ định liên quan đến một số hệ quy chiếu cố định, ví dụ như trái đất. Liên quan đến hành khách di chuyển với tốc độ $v_1$, đoàn tàu đang tới có cái gọi là tốc độ tương đối là $v_2$, bằng với
$$v_2 = v_2 - v_1$$
hoặc ở dạng vô hướng
$$v_2 = v_2 - (-v_1) = v_2 + v_1.$$
Khi đó chiều dài cần thiết của đoàn tàu sắp tới là
$$l = v_2t = (v_1 + v_2)t = 290\text{ м.}$$

Bài toán 2. Một ngư dân đang chèo thuyền ngược dòng sông; Khi đang lái xe dưới cầu, anh ta đã làm rơi chiếc mũ rơm xuống nước. Sau nửa thế kỷ, ông phát hiện ra điều này và quay lại và tìm thấy chiếc mũ cách cây cầu 5 km. Vận tốc đánh dấu dòng sông là bao nhiêu nếu người đánh cá di chuyển xuôi dòng và chèo theo cách tương tự?

Hãy kết nối hệ thống báo cáo với nước sông, tức là với chiếc mũ. Người đánh cá di chuyển ra xa chiếc mũ và đến gần nó với tốc độ tương tự, do đó, anh ta chạm tới nó được nửa đường sau khi phát hiện ra sự mất mát, hoặc một giờ sau khi chiếc mũ rơi xuống nước. Trong thời gian này, chiếc mũ đã đi được 5 km so với mặt đất. Điều này có nghĩa là tốc độ gắn thẻ trên sông là 5 km/h.

Chuyển động tuyến tính đều
Nếu tốc độ của một điểm vật chất không phải là hằng số mà ở một mức bằng nhau

58

giữa các khoảng thời gian nó thay đổi một lượng như nhau thì trong trường hợp này chúng ta nói đến chuyển động đều. Chuyển động được gọi là tăng tốc đều nếu tốc độ tăng và chậm dần nếu tốc độ giảm.

Đối với lời giải bài toán về chủ đề này, chỉ cần biết các phương trình về tốc độ và độ dịch chuyển là đủ. Ở dạng vô hướng chúng được viết như thế này:

$$v = v_0 + at,$$
$$x = x_0 + v_0 t + \frac{at^2}{2}.$$

Ở đây $v_0$ là tốc độ ban đầu của điểm, $x_0$ là tọa độ ban đầu, $a$ là gia tốc, $v$ và $x$ là tốc độ và tọa độ tương ứng của điểm tại thời điểm $t$. Các đại lượng $v_0$, $a$, $v$ và $x$ sẽ được coi là dương khi hướng của chúng trùng với hướng dương của trục tọa độ đã chọn $OX$, ngược lại là âm.

Sẽ rất hữu ích khi bắt đầu lời giải bài toán bằng một ký hiệu ngắn gọn về điều kiện của nó, nếu có thể dịch hoàn toàn bài toán sang ngôn ngữ của các điều kiện ký hiệu. Trong trường hợp này, cần đảm bảo rằng đơn vị đo của tất cả các đại lượng được đưa ra trong cùng một hệ đơn vị. Tốt hơn là thực hiện tất cả các phép tính ở dạng tổng quát, nghĩa là bằng ký hiệu chữ cái và thay thế các giá trị số vào kết quả cuối cùng.

Hãy giải quyết bài toán sau đây.

Bài toán 3. Sơ lược về hai giá trị của sự đoàn kết của tình bạn: một trong số chúng có tốc độ 5,4 km/h, lao xuống từ núi với gia tốc 0,2 m/s²; chiếc còn lại có tốc độ 18 km/h, lên dốc với gia tốc 20 cm/s2. Sẽ mất bao lâu để họ gặp nhau?

Giả sử gốc tọa độ trùng với vị trí ban đầu của đại lượng thứ nhất và hướng dương của trục tọa độ trùng với hướng vận tốc ban đầu của nó. Sau đó, một tuyên bố ngắn về điều kiện sẽ như thế này:

$$v_{01} = 5,4 \text{ km/ч} = 1,5 \text{ м/c}$$
$$v_{02} = -18 \text{ km/ч} = -5 \text{ м/c}$$
$$a_1 = 0,2 \text{ m/c}^2$$

$$a_2 = 20 \text{ cm/c}^2 = 0,20 \text{ m/c}^2$$
$$x_{02} = 195 \text{ m}$$
$$t = ?$$

Viết phương trình chuyển động của mỗi đại lượng:

$$x_1 = v_{01} t + \frac{a_1 t^2}{2},$$
$$x_2 = x_{02} + v_{02} t + \frac{a_2 t^2}{2},$$
$$x_1 = x_2.$$

và $a_1 = a_2$ theo điều kiện. Vào thời điểm gặp gỡ

$$t = \frac{x_{02}}{v_{01} - v_{02}} = 30c.$$

Đây có thể là kết thúc của lời giải, nhưng trong trường hợp này, chúng ta nên đảm bảo rằng kết quả đáp số có ý nghĩa vật lý. Để làm điều này, chúng ta tìm tốc độ của cường độ thứ hai 30 s sau khi bắt đầu chuyển động:

$$v_2 = v_{02} + a_2 t = -5 \text{ m/c} + 0,2 \text{ m/c}^2 \cdot 30 \text{ c} = 1 \text{ m/c}.$$

Hóa ra lúc này đợt velinistic thứ hai sẽ ảnh hưởng đến núi chứ không phải lên núi. Rõ ràng là bài toán này bao gồm một kết quả không thể kết luận được.

Bài toán 4. Tốc độ được lấy theo phương thẳng đứng từ mặt đất với gia tốc 2,45 m/s². Sau 8 giây anh ta bắt đầu di chuyển, một vật rơi ra khỏi chiếc bao cao su của anh ta. Sau bao lâu và với vận tốc bao nhiêu thì vật sẽ chạm đất? Sức cản không khí là rất lớn.

Vì lúc đầu vật chuyển động cùng với bộ điều hòa không khí, nên sau $t_1 = 8 \text{ c}$ nó tăng lên một độ cao nhất định $h_1$ và chúng ta sẽ có tốc độ $v_1$, và

$$h_1 = \frac{at_1^2}{2} \text{ и } v_1 = at_1.$$

Chuyển động tiếp theo của vật thể có thể được mô tả theo nhiều cách khác nhau.

Thường bài toán thuộc loại này được giải quyết theo hai giai đoạn. Đầu tiên, phong trào thay thế của tiền

59

meta lên độ cao cao nhất có thể rồi rơi tự do xuống đất.

Tuy nhiên, bài toán có thể được giải đơn giản hơn nếu chúng ta giả sử rằng vật đồng thời tham gia vào hai chuyển động độc lập: nó bay lên đều với vận tốc $v_1$ và rơi tự do. Hãy nối hệ quy chiếu với mặt đất và hướng trục tọa độ lên trên. Khi đó phương trình chuyển động của một vật từ độ cao $h_1$ xuống mặt đất sẽ được viết như sau:

$$0 = h_1 + v_1 t_2 - \frac{gt^2}{2}$$

($t_2$ - thời gian chuyển động của vật). Thay thế các biểu thức của $h_1$ và $v_1$ vào phương trình này, chúng ta thu được

$$\frac{gt^2}{2} - at_1 t_2 - \frac{at^2}{2} = 0,$$

Ở đâu $t_2 \approx 6,5$ Với.

Bài 5. Một vật được ném thẳng đứng lên trên với một vận tốc ban đầu nhất định. Khi nó đạt đến độ cao $H = 100$ m so với mặt đất, từ cùng một điểm ban đầu và với cùng tốc độ ban đầu, một vật được ném lên trời. Chúng xảy ra ở độ cao nào? Họ sẽ có tốc độ bao nhiêu tại thời điểm gặp nhau? Vận tốc ban đầu của các thi thể là bao nhiêu? Sức cản không khí là một mối quan tâm.

Đầu tiên chúng ta xét một số đặc điểm của chuyển động của một vật được ném thẳng đứng lên trên. Chuyển động phức tạp này là tổng của hai chuyển động đơn giản - chuyển động đều và rơi tự do. Hơn nữa, mỗi chuyển động xảy ra độc lập với nhau và bất kể cơ thể nâng lên hay hạ xuống. Do đó, chúng ta có thể nói rằng thời gian để một vật di chuyển trên cùng một đoạn đường lên và xuống là như nhau và tốc độ của vật ở một độ cao nhất định khi di chuyển lên hoặc xuống là như nhau về độ lớn.

Ví dụ, chúng ta hãy chứng minh rằng thời gian vật tăng lên đến độ cao cực đại bằng thời gian nó rơi xuống vị trí ban đầu và tốc độ cuối cùng có độ lớn bằng tốc độ ban đầu.

60

là một nửa thời gian rơi tự do của vật thứ nhất từ ​​độ cao $H$ xuống đất, tức là

$$\frac{H - h}{H} = \frac{gt^2}{g(2t)^2} = \frac{1}{4},$$

Ở đâu

$$h = \frac{3}{4} H = 75 \text{ m}.$$

Vận tốc của hai vật tại thời điểm gặp nhau có độ lớn như nhau và bằng nhau

$$v = \sqrt{2g(H - h)} \approx 22.5 \text{ m/c}.$$

Tốc độ ban đầu $v_0 = \sqrt{2gH} \approx 44 \text{ m/c}$.

Cuối cùng, hãy nhìn vào bài toán để vẽ đồ thị.

Bài toán 6. Cho đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của vận tốc của vật vào thời gian (Hình 2, a). Xây dựng đồ thị gia tốc, độ dời và đường đi.

Trước hết, chúng ta hãy xem cơ thể chuyển động như thế nào ở những thời điểm khác nhau. Từ đồ thị vận tốc, rõ ràng ở giai đoạn đầu tiên (từ 0 đến $t_1$) vật chuyển động với gia tốc đều; vào lần thứ hai (từ $t_1$ đến $t_2$) - chậm như nhau; ở lần thứ ba (từ $t_2$ đến $t_3$) - gia tốc bằng nhau, nhưng theo hướng ngược lại; ở tập thứ tư (từ $t_3$ đến $t_4$) - chậm như nhau; ở vị trí thứ năm (từ $t_4$ đến $t_5$) - gia tốc đều theo hướng ban đầu, v.v. Đồ thị gia tốc, độ dịch chuyển và đường đi theo thời gian lần lượt được thể hiện trên Hình 2, 6, 8 và 9.

Trong thực tế

1. Hai đoàn tàu chạy dọc theo hai đường ray song song cùng một hướng: một đoàn tàu khách dài 200 m với vận tốc 72 km/h và một đoàn tàu hàng dài 400 m với vận tốc 45 km/h. Sẽ mất bao lâu để một hành khách đốt cháy một chuyến hàng?

2. Đoàn quân kéo dài 2,5 km, mưa rào với tốc độ 5 km/h cử một người đi xe máy do người chỉ huy quen biết đi đầu. Người chỉ huy nhận được thông báo và viết đáp số khi đứng bên đường trong ba phút. Xác định vận tốc trung bình của người đi xe máy nếu sau 9 phút 27 giây người đó về đích trước.

3. Hai đại lượng đang chuyển động hướng về nhau: một đại lượng có vận tốc 7,2 km/h, từ trên núi đi xuống với gia tốc 0,30 m/s2; chiếc còn lại có tốc độ 36 km/h, tăng tốc với gia tốc -0,20 m/s2. Khoảng cách giữa các vận tốc ở thời điểm ban đầu là bao nhiêu nếu chúng gặp nhau sau 0,5 phút? Ngọn núi có chiều dài bao nhiêu bài toán có lời giải?

4. Một vật rơi từ một độ cao nhất định. Sau 2, vật thứ hai rơi từ cùng độ cao. Sau bao nhiêu giây kể từ khi vật thứ nhất bắt đầu rơi thì khoảng cách giữa hai vật sẽ tăng gấp đôi trước khi vật thứ hai bắt đầu rơi? Bỏ qua sức cản của không khí.

5. Máy bay trực thăng bay lên với tốc độ 10 m/s. Ở độ cao 100 m, một vật được ném lên từ nó với vận tốc 2 m/s so với trực thăng. Tìm độ cao cao nhất mà vật đạt tới cũng như sau bao lâu và với vận tốc bao nhiêu thì vật đó sẽ rơi xuống đất.

6. Một vật được ném lên cao với vận tốc 20m/s. Độ cao của điểm mà vật đi qua hai lần trong khoảng thời gian 3 s là bao nhiêu? Bỏ qua sức cản của không khí.

Cơm. 3.

7. Biểu đồ gia tốc theo thời gian được đưa ra (Hình 3). Xây dựng đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của độ lớn chuyển động vào tốc độ.