Rung động cơ học

31

Rung động cơ học
V. A. Tikhomirova

Dao động điều hòa là chuyển động tuân theo quy luật
$$x = x_0 \cos(\omega t + \varphi_0).$$
(1)

Ở đây $x$ là độ dịch chuyển của vật khỏi vị trí cân bằng, $x_0$ là biên độ dao động, $\omega t + \varphi_0 = \varphi$ là pha dao động, $\omega$ là tần số tuần hoàn, có thể liên hệ với tần số dao động $v$ hoặc chu kỳ dao động $T$ bằng sự tương ứng $\omega = 2\pi v = \frac{2\pi}{T}$ và $\varphi_0$ là giai đoạn ban đầu. Khó khăn lớn nhất trong việc nghiên cứu các đại lượng này là do khái niệm pha dao động. Từ phương trình (1), rõ ràng là, khi biết pha và biên độ dao động, có thể xác định không chỉ vị trí của vật tại một thời điểm nhất định mà còn xác định được hướng chuyển động của vật. Vì vậy, khi nói pha dao động đặc trưng cho trạng thái dao động tại thời điểm bị rung. Pha ban đầu cho thấy quá trình dao động bắt đầu ở giai đoạn nào. Ví dụ: giả sử ma trận toán học (Hình 1, a) được kết nối với pha ban đầu $\varphi_0 = \frac{\pi}{2}$.

Điều này có nghĩa là nó bắt đầu di chuyển từ vị trí cân bằng sang trái. Sau một phần tư chu kỳ, khi pha dao động là $\varphi = \omega t + \varphi_0 = \frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{4} + \frac{\pi}{2} = \pi$, ma trận sẽ đạt đến vị trí mục tiêu cực trị (Hình 1, b), v.v. Các khái niệm về pha và pha ban đầu trở nên đặc biệt quan trọng khi so sánh hoặc cộng một số dao động.

Phương trình (1) là một định luật động học mô tả một dao động điều hòa và liên hệ các đại lượng động học cơ bản đặc trưng cho chuyển động này. Chúng ta hãy nhớ khi xuất hiện biên độ, tần số và pha ban đầu của dao động. Các ví dụ đơn giản và rõ ràng nhất về hệ dao động là ma trận lò xo (Hình 2) và ma trận toán học. Chúng ta sẽ chỉ nói về dao động tự do (hoặc tự nhiên) của các ma trận này *).

*) Phương trình (1) cũng mô tả dao động cưỡng bức.

32

Nếu bạn bằng cách nào đó loại bỏ matnik khỏi trạng thái cân bằng bằng cách truyền một số năng lượng ban đầu cho nó, nó sẽ thực hiện các chuyển động lặp đi lặp lại theo chu kỳ. Đặc điểm nổi bật của dao động so với các loại chuyển động tuần hoàn khác là có một vị trí đặc biệt - vị trí cân bằng, tại đó các dao động tuần hoàn quay trở lại, nhưng không giữ nguyên ở vị trí này mà tiếp tục chuyển động xa hơn theo quán tính.

Do đó, trong một hệ có quán tính thì phải có cái gọi là lực phục hồi. Trong một matnik bên ngoài, đây là lực đàn hồi, trong toán học, nó là một thành phần của lực hấp dẫn. Lực phục hồi có liên quan đến sự dịch chuyển của matnik khỏi vị trí cân bằng:

$$F_B = -kx.$$

Sự bình đẳng về hình thức này đáp ứng định luật Hooke về biến dạng đàn hồi:

$$F_{ynp} = -k_{ynp}x,$$

trong đó $x$ là các giá trị biến dạng, $k_{ynp}$ là hệ số đàn hồi. Do đó, lực phục hồi thường được gọi là lực gần như đàn hồi (tiền tố “quasin” có nghĩa là “như thể”), và $k$ là hệ số gần như đàn hồi. Hệ số $k$ phụ thuộc vào bản chất của lực phục hồi.

Như vậy, định luật cơ bản diamkick - định luật II Newton đối với dao động điều hòa được viết như sau:

$$a = \frac{F}{m} = -\frac{k}{m}x. \quad (2)$$

Nghiệm của phương trình này là biểu thức (1).

Tất nhiên, pha ban đầu $\varphi_0$ chỉ phụ thuộc vào các điều kiện ban đầu. Tần số tuần hoàn $\omega$ phụ thuộc vào $m$ và $k$, đặc trưng cho tính chất trơ và quaselastic của hệ thống, như sau:

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}.$$

Nhưng nếu bạn quên công thức này, thì những thông điệp vật lý đơn giản và phương pháp đo kích thước sẽ giúp bạn ghi nhớ nó.

Thật vậy, hệ số gần như đàn hồi $k$ càng lớn thì gia tốc của matnik tại bất kỳ thời điểm nào càng lớn thì matnik dao động càng nhanh. Khối lượng của tấm thảm càng lớn thì gia tốc của nó càng ít và độ rung sẽ xảy ra càng chậm.

Ta viết sự phụ thuộc của $\omega$ vào $m$ và $k$ dưới dạng sau:

$$\omega = Ak^\alpha m^\beta,$$

trong đó $A$ là hệ số tỷ lệ không thứ nguyên, $\alpha$ và $\beta$ là số mũ không thứ nguyên. Telery bổ sung cho các quy tắc về kích thước, theo đó kích thước của bên trái và bên phải của bất kỳ đẳng thức nào đều phải giống nhau, nghĩa là

$$[\omega] = [k^\alpha] [m^\beta].$$

Trong SI $$[\omega] = c^{-1}, [k] = \kappa \cdot c^{-2}, [m] = \kappa \cdot c^{-2\alpha} \kappa e^\beta.$$

Chúng ta hãy tìm xem $\alpha$ và $\beta$ đẳng thức nào biến thành đẳng thức. Để làm điều này, chúng ta đánh đồng số mũ của các cơ số giống hệt nhau ở bên trái và bên phải và thu được hệ thống

$$\begin{cases} -1 = -2\alpha, \\ \alpha + \beta = 0, \end{cases}$$

Ở đâu

$$\alpha = \frac{1}{2} \text{ и } \beta = -\frac{1}{2}.$$

Như vậy,

$$\omega = A \sqrt{\frac{k}{m}}.$$

Tất nhiên, hệ số $A$, thực sự bằng 1, không thể tìm thấy bằng phương pháp thứ nguyên.

Telery về biên độ dao động. Tất nhiên, nó phụ thuộc vào năng lượng được cung cấp cho matnik ở thời điểm ban đầu. Hãy nói về vấn đề này cụ thể hơn tại lời giải tiếp theo bài toán.

33

Cơm. 3.

Nhiệm vụ 1. Chúng ta thực hiện một dao động điều hòa của một nam châm lò xo có tần số tuần hoàn $\omega$ và biên độ $x_0$. Tìm các giá trị lớn nhất của gia tốc và tốc độ của nam châm cũng như độ lớn cơ năng của nó.

Theo định luật II Newton về dao động điều hòa

$$a = -\omega^2 x.$$

Vì độ dịch chuyển $x$ thay đổi theo định luật điều hòa và $\omega^2$ là giá trị không đổi nên gia tốc của nam châm $a$ cũng thay đổi theo định luật điều hòa và biên độ của nó

$$a_0 = \omega^2 x_0.$$

Dấu trừ trong phương trình chuyển động chỉ ra rằng các dao động gia tốc ngược pha với các dao động trộn.

Vì độ dịch chuyển của nam châm và gia tốc của nó thay đổi theo thời gian theo định luật điều hòa nên đương nhiên người ta cho rằng tốc độ của nam châm thay đổi theo cùng một định luật. Cấu trúc của phép tính thực sự xác nhận những giả định này. Biên độ dao động của vận tốc có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng định luật bảo toàn năng lượng.

Cơ năng của nam châm $E$ bao gồm động năng của quả bóng $E_K = mv^2/2$ và thế năng biến dạng đàn hồi của cánh tay $E_\pi = kx^2/2$.

Cơm. 4.

Khi đi qua vị trí cân bằng, khi cánh tay không trọng lượng không bị biến dạng và tốc độ bóng $v_0$ là cực đại thì tổng năng lượng

$$E = E_K \max = \frac{mv^2}{2}.$$

Tại thời điểm quả bóng cách vị trí cân bằng lớn nhất, khi vận tốc của nó bằng 0 và độ biến dạng của cánh tay là cực đại thì năng lượng

$$E = E_\pi \max = \frac{kx^2}{2}.$$

Tổng năng lượng của nam châm không thay đổi theo thời gian (chúng ta đang xét các dao động tự do không tắt dần), do đó

$$\frac{mv^2}{2} = \frac{kx^2}{2},$$

Ở đâu

$$v_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} x_0 = \omega x_0.$$

Dao động vận tốc được xác định bởi pha dao động trộn ở chu kỳ thứ tư, tức là ở $\frac{\pi}{2}$.

Sơ đồ trộn $x$, vận tốc $v$ và gia tốc $a$ so với dữ liệu thời gian trong Hình 3.

Vì vậy, tổng năng lượng cơ học, liên quan chặt chẽ nhất đến biên độ trộn $x_0$ hoặc biên độ vận tốc $v_0$, là một hằng số lớn. Nhưng cô ấy đã làm

34

Được tạo thành từ động năng và thế năng. Hãy viết biểu thức thế năng của biến dạng:

$$E_{\pi} = \frac{kx^2}{2} = \frac{kx_0^2}{2} \cos^2 \omega t = \frac{kx_0^2}{4} (1 + \cos 2\omega t).$$

Từ đó cho thấy thế năng cũng biến đổi theo thời gian theo định luật điều hòa nhưng tần số dao động của nó lớn gấp 2 lần tần số dao động của hỗn hợp con lắc.

Động năng có thể được biểu diễn dưới dạng chênh lệch giữa tổng năng lượng, bằng $E = \frac{kx_0^2}{2}$ và thế năng:

$$E_k = E - E_{\pi} = \frac{kx_0^2}{4} (1 - \cos 2\omega t).$$

Do đó, động năng thay đổi lệch pha so với thế năng. Về mặt đồ họa, điều này được thể hiện trong Hình 4, trong đó $T'$ là chu kỳ dao động năng lượng và $T$ là chu kỳ dao động trộn lẫn.

Chúng ta thấy rằng khi xét dao động, chúng ta không chỉ nói đến dao động trộn, tốc độ, gia tốc mà còn nói đến dao động của động năng và thế năng. Bây giờ hãy xem xét một số bài toán và đảm bảo rằng đối với lời giải của chúng, chỉ cần tìm ra bản chất của lực phục hồi, viết biểu thức tương ứng cho nó và cũng có thể sử dụng định luật bảo toàn năng lượng là đủ.

Nhiệm vụ 2. Chúng ta đặt một vật nặng có khối lượng $m$ lên cân treo trên một lò xo từ độ cao $h$ và giữ nguyên trên cốc (Hình 5, a). Hệ số đơn giản hóa lò xo là $k$. Khối lượng của lò xo và cốc nhỏ so với khối lượng của vật tải. Xác định biên độ và chu kỳ dao động tự do của cốc với tải.

Hệ thực sự sẽ dao động vì nó là một con lắc lò xo nằm thẳng đứng. Nhưng, ngoài lực đàn hồi của lò xo, lực hấp dẫn còn tác dụng lên cốc có tải trọng. Vai trò của cô ấy là gì? Lực này hóa ra làm thay đổi vị trí cân bằng của hệ, dịch chuyển nó xuống các giá trị $\Delta x$ (Hình 5, b).

Hãy xem xét hai hệ tọa độ: $OX$ và $O'X'$. Hãy viết định luật chuyển động của con lắc trong hệ thứ nhất:

$$ma = -kx + mg.$$
Nhưng
$$x = x' + \Delta x.$$

Giá trị $\Delta x$ có thể tìm được từ điều kiện cân bằng giữa lực hấp dẫn và lực đàn hồi ở vị trí cân bằng: $mg = k\Delta x$. Đó là lý do tại sao

$$ma = -kx' - k \frac{mg}{k} + mg,$$

đó là

$$ma = -kx'.$$

Do đó, gia tốc của hệ chỉ được báo cáo bởi lực đàn hồi.

Chu kỳ dao động là

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}.$$

Chúng ta sẽ tìm biên độ của dao động dựa trên định luật bảo toàn năng lượng.

35

Cơm. 6.

Tại thời điểm ban đầu tải trọng có thế năng hấp dẫn. Khi lò xo bị kéo căng đến mức tối đa thì thế năng biến dạng của lò xo được tích trữ trong lò xo (ta lấy vị trí thấp nhất của chốt với tải trọng làm điểm bắt đầu đếm chiều cao nên trong trường hợp thứ hai tải trọng không có năng lượng). Hãy đánh đồng những năng lượng này *):

$$mg(h + \Delta x + x_0) = \frac{k(\Delta x + x_0)^2}{2},$$

Ở đâu

$$\Delta x = \frac{mg}{k}.$$

Từ đây

$$x_0 = \frac{mg}{k}\sqrt{1 + \frac{2kh}{mg}}$$

Bài tập 3. Kể tên dao động của nam châm ở hình b. Hệ số lò xo lần lượt là $k_1$ và $k_2$, khối lượng của tải trọng là m. Bỏ qua khối lượng của lò xo.

Đầu tiên chúng ta hãy xem xét tấm thảm đầu tiên (Hình 6, a). Ví dụ, nếu bạn dịch chuyển tải từ vị trí cân bằng xuống dưới một lượng x, thì lò xo phía trên sẽ giãn thêm một đoạn x, và lò xo phía dưới cũng sẽ được giữ lại một lượng x. Nhưng cả hai lực lò xo bổ sung đều hướng lên trên, nghĩa là chúng đưa tải trở lại vị trí

*) Điều này có thể thực hiện được vì chiếc cốc không có trọng lượng và năng lượng ban đầu của chiếc cốc chịu tải bằng năng lượng của vật rơi.

Cơm. 7.

cân bằng nên ta có thể viết:

$$ma = -k_1x - k_2x = -(k_1 + k_2)x.$$

Theo phương trình chuyển động của matnik

$$a = -\omega^2x,$$

tư thế

$$\omega = \sqrt{\frac{k_1 + k_2}{m}}.$$

Trong trường hợp thứ hai (Hình 6, b), khi tải được di chuyển từ vị trí cân bằng xuống dưới một lượng x, cả hai lò xo sẽ ​​giãn ra, nhưng độ giãn nở $x_1$ và $x_2$ của chúng sẽ khác nhau. Tuy nhiên

$$x_1 + x_2 = x.$$

Vì lò xo không có trọng lượng nên lực lò xo phải bằng nhau*):

$$k_1x_1 = k_2x_2.$$

Vì vậy, quy luật vận chuyển hàng hóa:

$$ma = -k_1x_1 = -k_2x_2 = -\frac{k_1k_2}{k_1 + k_2}x,$$

Ở đâu

$$\omega = \sqrt{\frac{k_1k_2}{(k_1 + k_2)m}}.$$

Lưu ý rằng tần số dao động của tấm thảm thứ nhất lớn hơn tần số dao động của tấm thảm thứ hai.

*) Ví dụ, hãy xem xét lò xo thứ hai. Từ phía của lò xo thứ nhất, một lực $F_1 = k_1x_1$ tác dụng lên nó, hướng lên trên, và từ phía của tải, một lực $F_2$ tác dụng, theo định luật thứ ba của Newton, bằng lực của lò xo thứ hai và hướng xuống dưới (tức là $F_2 = k_2x_2$). Hãy viết phương trình chuyển động của lò xo: ​​$m_2a_2 = F_2 - F_1 = k_2x_2 - k_1x_1$. Vì lò xo không có trọng lượng nên tức là $m_2 = 0$, sau đó là $k_2x_2 = k_1x_1$.

36

Thật sự,

$$\sqrt{\frac{k_1+k_2}{m}} - \sqrt{\frac{k_1k_2}{(k_1+k_2)m}} = \frac{1}{\sqrt{m}} \left[ \frac{(k_1+k_2) - \sqrt{k_1k_2}}{\sqrt{k_1+k_2}} \right] > 0,$$

vì trung bình số học $\frac{k_1+k_2}{2}$ luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình hình học $\sqrt{k_1k_2}$.

Bài toán 4. Tỷ trọng kế có khối lượng m là một quả cầu chứa đầy hai ống hình trụ có tiết diện S. Nó được đặt trong kẽm có khối lượng riêng $\rho$ (Hình 7). Tỷ trọng kế điều chỉnh nhiệt độ sâu hơn một chút so với mức cần thiết để đạt trạng thái cân bằng, sau đó giải phóng nhiệt độ. Dao động tự do nhỏ nhất của tỷ trọng kế.

Ở vị trí cân bằng, lớp trọng lực được cân bằng bởi lực nổi. Nếu nhúng tỷ trọng kế sâu hơn vào chất lỏng, lớp nổi trở nên mạnh hơn lực hấp dẫn và xuất hiện lực cân bằng hướng lên trên. Sau khi vượt qua vị trí cân bằng theo quán tính, tỷ trọng kế được ngâm trong chất lỏng ít hơn mức cần thiết để đạt trạng thái cân bằng và xuất hiện một lực cân bằng hướng xuống dưới. Do đó, sự thay đổi lực nổi đóng vai trò là lực phục hồi:

$$\Delta F_{\text{выт}} = -\rho g \Delta V = -\rho g Sx$$

(dấu trừ biểu thị sự thay đổi lực nổi ngược chiều với sự thay đổi thể tích của phần ngâm trong tỷ trọng kế). Vì vậy, trong trường hợp này $k = \rho g S$, vậy

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{\rho g S}}.$$

Bài toán 5. Một nam châm toán học có chiều dài l được gắn trên một chiếc xe lăn, lăn không ma sát từ một mặt phẳng nghiêng có góc nghiêng $\alpha$. Trạng thái cân bằng quan trọng nhất của nam châm và chu kỳ dao động của nó.

Vì nam châm nằm trên một xe đẩy lăn xuống mặt phẳng nghiêng với gia tốc $a = g \sin \alpha$ nên vị trí cân bằng của nó sẽ là vị trí mà nam châm chuyển động so với mặt phẳng có cùng gia tốc $a$ như xe đẩy.

Có hai lực tác dụng lên quả bóng: trọng lực $mg$ và lực căng của sợi dây $F_H$. Sự cân bằng của các lực này ở vị trí cân bằng sẽ truyền gia tốc $a$ cho quả bóng:

$$F_p = ma = mg \sin \alpha.$$

Từ Hình 8, rõ ràng điều này chỉ có thể thực hiện được nếu sợi dây nam châm vuông góc với mặt phẳng nghiêng.

Vì vậy, thành phần trọng lực dọc theo mặt phẳng, bằng $mg \sin \alpha$, sẽ tạo cho nam châm chuyển động có gia tốc dọc theo mặt phẳng nghiêng. Lực căng luôn vuông góc với quỹ đạo của quả bóng so với xe cũng không thể đóng vai trò là lực phục hồi. Do đó, vẫn còn một lớp - thành phần trọng lực, vuông góc với mặt phẳng và bằng $mg \cos \alpha$. Có thể nói rằng nam châm dao động như thể trong một trường hấp dẫn khác với gia tốc rơi tự do $g' = g \cos \alpha$.

Cơm. 8.

37

Chu kỳ dao động như vậy

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g'}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g \cos \alpha}}.$$

Nhiệm vụ 6. Chất làm mềm bao gồm một quả bóng kim loại được treo trên một sợi vòng. Chu kỳ dao động của nó sẽ thay đổi như thế nào nếu quả bóng được nhiễm điện dương và một quả bóng khác mang điện tích âm được đặt bên dưới, trên cùng một phương thẳng đứng với nam châm (Hình 9, a)?

Ngoài trọng lực và lực căng của sợi dây, quả cầu từ tích điện còn chịu tác dụng của lực hút điện tử về phía quả cầu tích điện trái dấu nằm bên dưới. Lực này, giống như lực hấp dẫn, sẽ tạo thành phần cho hướng chuyển động (Hình 9, b), lực này sẽ làm tăng lực quay trở lại:

$$F_B = F'_B + F''_B.$$

Trong trường hợp này, giá trị trung bình của gia tốc từ sẽ tăng và chu kỳ tương ứng sẽ giảm. Vị trí cân bằng của nam châm luôn thẳng đứng.

Bài tập

1. Một nam châm toán học gồm một sợi dây dài 243 cm và một quả cầu thép có đường kính 4 cm tạo ra dao động điều hòa với biên độ 10 cm. Xác định vận tốc của quả cầu khi đi qua vị trí cân bằng và lực hồi phục lớn nhất. Mật độ của thép là 7,8 e/cm³.

2. Một vật khối lượng M gắn vào một lò xo đang dao động với biên độ $x_0$ trên mặt bàn nằm ngang nhẵn. Tại thời điểm vật đi qua vị trí cân bằng, một mảnh khối lượng m rơi từ trên cao xuống và nổi lên vật đó. Biên độ dao động sẽ thay đổi như thế nào?

3. Một quả cầu có khối lượng $m_1 = 0,2$ ke nằm trên một mặt phẳng hoàn toàn. Dùng một sợi chỉ để ném nó qua khối; một tải trọng có khối lượng $m_2 = 0,1$ ke được gắn vào nó (Hình 10). Khối là một hình trụ có thành mỏng có khối lượng $m_3 = 0,3$ke. Khi hệ này ở trạng thái cân bằng, lò xo nhẹ dãn ra $\Delta l = 5$ cm. Xác định phần tuần hoàn của dao động tự do của quả bóng nếu tải được kéo xuống một chút và thả ra không cần đẩy.

4. Một vật có khối lượng 0,5 ke treo trên một lò xo không trọng lượng, dao động với tần số 0,4 ke. Tần số dao động của cùng một tải trọng trên hai lò xo như vậy sẽ là bao nhiêu nếu một khi chúng được mắc nối tiếp và lần kia mắc song song (Hình 11)?

5. Ptruth được đổ vào ống hình chữ U. Tìm chu kỳ dao động của ptr nếu diện tích mặt cắt ngang của ống là S, khối lượng của ptr là m và mật độ của ptr là p.

6. Giá đỡ ngang thực hiện dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với biên độ $x_1$. Tần số lớn nhất của những dao động này có thể là bao nhiêu nếu vật nằm trên giá đỡ không tách rời khỏi nó?

7. Thang máy đi lên với gia tốc $a_1$ trong thời gian $t_1$, sau đó thay thế $a_2$ trong thời gian $t_2$. Trong thang máy có một nam châm toán học dài $l$. Nó sẽ thực hiện bao nhiêu dao động trong quá trình chuyển động?

8. Chu kỳ dao động của nam châm sẽ thay đổi như thế nào (xem bài toán 6 trong bài) nếu đặt một quả cầu tích điện âm vào điểm treo?