Viện Hàng không Moscow

44

Viện Hàng không Moscow

Chúng tôi đã nói chi tiết về MAI trong «Kvant» Số 6 năm 1973. Hiện tại, tại tất cả các khoa của MAI, ngoại trừ Khoa Toán Ứng dụng, tất cả các kỳ thi tuyển sinh đều được thực hiện dưới dạng viết và trong môn toán có hai kỳ thi: đại số và hình học với lượng giác. Các lựa chọn về toán học và vật lý với các ứng dụng và nhiệm vụ bao gồm các câu hỏi lý thuyết. Thí sinh vào Khoa Toán Ứng dụng sẽ làm bài kiểm tra vấn đáp và viết môn toán nên đối với họ, các lựa chọn cho bài thi viết môn toán không có câu hỏi lý thuyết. Các tài liệu dưới đây sẽ giới thiệu với độc giả phiên bản của các nhiệm vụ được đưa ra trong kỳ thi tuyển sinh vào MAI năm 1973.

Toán học
Khoa Toán ứng dụng

Tùy chọn 1

1. Giải phương trình
   $$\sqrt{3-x} - \sqrt{\frac{1-x}{2-x}} = 1.$$

2. Xe buýt và taxi rời hai thành phố hướng về nhau cùng một lúc. Khi tài xế taxi đã đi được nửa quãng đường thì xe taxi còn 19,2 km nữa là đến cuối tuyến, khi tài xế taxi đã đi được nửa quãng đường thì xe taxi còn 12 km nữa là đến cuối tuyến. Tìm tỉ số tốc độ của xe buýt đó và xe buýt, nếu tốc độ của xe buýt đó và xe buýt được vẽ dọc theo toàn bộ tuyến đường và mỗi chiếc phải đến thành phố mà chiếc kia đã rời đi.

3. Với giá trị thực nào của $a$ là tổng các căn bậc hai của phương trình
   $$2\log_4(2x^2-x+2a-4a^2) + \log_{0,5}(x^2+ax-2a^2) = 0$$
   nhiều hơn một?

4. Hai vòng tròn bán kính $R$ và $\frac{R}{2}$ chạm vào nhau từ bên ngoài. Một trong hai đầu của đoạn thẳng có chiều dài 2R, tạo thành một góc 30° với đường tâm, trùng với tâm của một đường tròn có bán kính nhỏ hơn. Phần nào của đoạn thẳng nằm bên ngoài đường tròn?

5. Đỉnh của một tứ giác đều song song với các cạnh tương ứng của đáy hình lập phương. Các cạnh của đáy ABCD song song với các cạnh tương ứng của đáy hình lập phương. Tìm thể tích của hình lập phương nằm bên trong paramid nếu $\Rightarrow ASB = \text{arctg } \frac{4}{3}$ và cạnh của hình lập phương bằng 1.

Đề thi viết đại số

Tùy chọn 2

1. Lời giải phương trình bậc hai. Công thức của Vieta.
2. Giải phương trình
   $$2^{x-1}(2^x+3^{x-1})=9^{x-1}.$$
3. Tìm tổng của bảy số hạng đầu tiên của một cấp số nhân, tổng của số hạng thứ nhất và thứ tư là 9, tổng của số hạng thứ hai và thứ ba là 6.
4. Một bữa ăn nhanh sẽ giúp bạn di chuyển quãng đường giữa các ga nhanh hơn 3,5 giờ so với bữa ăn thông thường. Nếu mỗi chuyến tàu mất cùng khoảng thời gian với một chuyến tàu khác di chuyển giữa các ga thì tàu tốc hành sẽ đi được quãng đường dài hơn tàu hàng 350 km. Nếu tốc độ mỗi đoàn tàu tăng thêm 10 km/h thì tàu cao tốc sẽ đi quãng đường giữa các ga nhanh hơn tàu hàng 2,4 giờ. Tính tốc độ di chuyển và khoảng cách giữa các ga.
5. Tại những giá trị nào của $a$ là tổng các căn bậc hai của phương trình
   $$2\log_4(2x^2-x+2a-4a^2) + \log_{0,5}(x^2+ax-2a^2) = 0$$
   nhiều hơn một?

Đề thi viết môn hình học

Tùy chọn 3

1. Chứng minh định lý về sin.
2. Tính $(\sin \alpha - \sin \beta) \sin \alpha + (\cos \alpha - \cos \beta) \cos \alpha$ nếu $\sin \frac{\alpha-\beta}{4} = a$.
3. Giải phương trình:
   $$(1-tg x)(1+\sin 2x)=1+tg x.$$
4. Cho hình thang ABCD kẻ các đường chéo AC và BD cắt nhau tại điểm F. Từ đỉnh C kẻ đường thẳng CK song song với cạnh AD cắt đoạn tiếp tục của BD tại điểm L sao cho DF = BL. Tìm tỉ số AB:CD.
5. Một đường tròn bán kính R và một tam giác đều cạnh $R\sqrt{3}$ nằm trong các mặt phẳng vuông góc với nhau. Tuy nhiên, các cạnh của tam giác nằm trong mặt phẳng của đường tròn. Một đoạn nối tâm của một hình tròn và một hình tam giác tạo thành các góc bằng 30° với các mặt phẳng của chúng. Tìm độ dài cạnh của tam giác nằm trong đường tròn.

45

Vật lý

Vé 1

1. Chất cách điện và dây dẫn. Định luật bảo toàn điện tích.
2. Lượng nhiệt nào sẽ toả ra khi 20 e hơi nước ngưng tụ ở 100°C và làm lạnh lượng nước thu được xuống 20°C? Nhiệt dung riêng của nước $c = 4200 \text{ } \partial x/\partial z$. Nhiệt dung riêng bay hơi của nước ở 100° C $r = 539 \text{ } \kappa a/\kappa c$.
3. Một vật có khối lượng 100 N nằm trên mặt phẳng nghiêng tuyệt đối nhẵn tạo thành một góc 30° so với phương ngang. Phải tác dụng lực nào vào vật song song với mặt phẳng để giữ cho nó cân bằng? Tìm phản lực của mặt phẳng.
4. Hai quả bóng có khối lượng $m_1 = 2 e$ và $m_2 = 3 e$ chuyển động trong mặt phẳng nằm ngang với vận tốc tương ứng với nhau một góc $\alpha = 90^\circ$. Các quả bóng va chạm không đàn hồi. Tổng động lượng của các quả bóng này sau va chạm là bao nhiêu?
5. Ở khoảng cách $d = 0,14 m$ tính từ đỉnh gương cầu lõm có một vật có chiều cao $l = 0,06 m$. Tiêu cự gương $F = 0,11 m$. Tìm chiều cao $L$ của ảnh của vật.

Vé 2

1. Tụ điện. Điện dung của một tụ điện bản song song.
2. Một phi công bắn đại bác từ máy bay. Tốc độ của máy bay so với Trái đất là 900 km/h. Vận tốc của đạn so với máy bay là 750 m/s. Xác định tốc độ ban đầu của viên đạn so với Trái đất nếu: a) viên đạn được bắn theo hướng bay, b) theo hướng ngược lại.
3. Mảng nào có thể dẫn động một đầu máy điện đều lên dốc 0,004 nếu lực kéo của đầu máy điện là 250 kN và hệ số ma sát là $k = 0,06$?
4. 2 lít nước ở 40°C được tự động đổ vào bộ tản nhiệt, sau đó thêm 4 lít ở 85°C. Xác định nhiệt độ của hỗn hợp.
5. Lực nào tác dụng lên một dây dẫn dài 10 cm trong một từ trường đều có cảm ứng từ 2,6 ml, nếu dòng điện trong dây dẫn là 12 A, và góc giữa hướng của dòng điện và đường cảm ứng là: a) 90°; b) 30°?

Vé 3

1. Định luật khúc xạ ánh sáng. Sự phản xạ hoàn toàn của ánh sáng.
2. Tốc độ truyền sóng trong môi trường là 200 m/s. Tính chu kỳ dao động nếu khoảng cách gần nhất giữa hai dao động cùng pha là 20cm.
3. Từ thông, một đường viền tùy ý của dây dẫn, thay đổi đều 0,6 bb sao cho e. d. c cảm ứng hóa ra bằng 1,2 b. Tìm thời gian biến thiên của từ thông và cường độ dòng điện cảm ứng nếu điện trở dây dẫn là 0,24 ôm.
4. Trên đoạn đường nằm ngang, ô tô chuyển động với vận tốc 72 km/h trong 10 phút, lên dốc với vận tốc 36 km/h trong 20 phút. Tốc độ trung bình trên toàn bộ hành trình là bao nhiêu?
5. Máy bay phản lực chở khách có 4 động cơ, tạo lực đẩy 10 T cho mỗi động cơ và bay với tốc độ 900 km/h. Một động cơ sẽ sử dụng bao nhiêu dầu hỏa cho chuyến bay 4000 km? K.p.d. động cơ 0,25. Nhiệt cháy của dầu hỏa $q = 46,2 \cdot 10^6 \text{ } \partial x/\partial z$.

Vé 4

1. Hiệu ứng quang điện. Tế bào quang điện và ứng dụng của chúng

2. Một người có khối lượng 60kg chạy với vận tốc 8km/h. Bắt kịp một chiếc xe đang chuyển động với vận tốc 2,9 km/h, người đó nhảy lên xe. Vận tốc của xe sau đó sẽ là bao nhiêu nếu khối lượng của nó là 80 kg?

3. Một cốc chứa 100 s nước ở nhiệt độ 10 ° C. 40 s nước đá được thả vào cốc ở nhiệt độ -10 ° C. Những gì còn lại trong cốc sau khi nhiệt độ được cân bằng?

4. Nhiệt dung riêng của nước $c_1 = 4200 \text{ } \partial x/\partial z$. Nhiệt dung riêng của nước đá $c_2 = 2100 \text{ } \partial x/\partial z$. Nhiệt dung riêng của nước đá $\lambda = 3,3 \cdot 10^5 \text{ } \partial x/\partial z$.

5. Một vật rơi tự do từ độ cao 80 m. Con đường nào nó đi vào giây cuối cùng của mùa thu?

6. Ở dòng điện 10 A, công suất được giải phóng ở mạch ngoài là 200 W và ở dòng điện 15 A, công suất ở mạch ngoài là 240 W. Điện trở trong là bao nhiêu, ví dụ: d. Với. và dòng điện ngắn mạch của máy phát điện?
   Vé 5

7. Định luật Boyle-Marint và Geylosskak.

8. Một người có chiều cao $h = 1,75 m$ cách cột một khoảng $r = 6 m$. Một người nên đặt một tấm gương phẳng nằm ngang trên mặt đất cách mình một khoảng bằng bao nhiêu để nhìn qua nó đỉnh của một cây cột có chiều cao $h = 7 m$?

9. Máy phát vô tuyến hoạt động trong phạm vi bước sóng nào nếu điện dung của mạch dao động của nó có thể thay đổi từ 60 nf đến 240 nf và độ tự cảm là 50 mken?

10. Chiều cao của tháp truyền hình ở Ostank là bao nhiêu nếu một quả bóng rơi từ tháp không có tốc độ ban đầu, đạt được 185 mp cuối cùng trong 2 s? Sức cản của không khí không được tính đến.

11. Khi rẽ, máy bay có tốc độ tối đa $v = 75 \text{ } \text{m}/\text{s}$, độ dài vòng quay trước khi cất cánh $S = 500 \text{ } \text{m}$, trọng lượng máy bay $m = 19 \text{ } \text{m}$, hệ số ma sát $k = 0,02$. Chuyển động trong quá trình tắt được coi là bằng tốc độ. Công suất đẩy tối thiểu để máy bay cất cánh là bao nhiêu?