Московский авиационный институт

44

Московский авнационный институт

О МАИ мы подробно расссказывали в «Кванте» № 6 за 1973 год. Сейчас на всех факультах МАИ, кроме факультета прикладной математики, все вступительные экзамены проводятся в письменной форме, причем по математике проводятся два экзамена: по алгебре и по геометрии с тригонометрией. В варианты по математике и по физике нарушу с применением и задачами включаются теоретические вопросы. Абитуренты, поступающие на факультет прикладной математики, сделают по математике устный и письменный экзамены, поэтому для них варианты письменного экзамена по математике не содержат теоретического вопроса. Помещенные ниже матернилы позначомят читателей с варианта заданий, предлагавшимся на вступительных экзаменах в МАИ в 1973 году.

Математика
Факультет прикладной математики

Вариант 1

1. Решить уравнение
   $$\sqrt{3-x} - \sqrt{\frac{1-x}{2-x}} = 1.$$

2. Из двух городов навстречу друг другу одновременно выехали автовоси и такси. Когда таких прошло поливину пути, автовосу осталось до конца маршрута 19,2 км, а когда автовосу проехал поливину пути, такси осталось до конца маршрута 12 км. Найти отношение скорости таких и автовоси, если скорости таких и автовоси на всем пути построены, и каждый должен приехать в тот город, из которого выехал другой.

3. При каких действительных значениях $a$ сумма квадратов корней уравнения
   $$2\log_4(2x^2-x+2a-4a^2) + \log_{0,5}(x^2+ax-2a^2) = 0$$
   больше единицы?

4. Две окружности радиусов $R$ и $\frac{R}{2}$ касаются друг друга внешним образом. Один из концов отрезка длины 2R, образующего угол 30° с линей центров, совпадает с центром окружности меншго радиуса. Какая часть отрезка лежит вне окружности?

5. Вершина правильной четырехугольной параллельны соответствующим сторонам основания куба. Стороны основания ABCD параллельны соответствующим сторонам основания куба. Найти объем куба, лежащей внутри парамиды, если $\Rightarrow ASB = \text{arctg } \frac{4}{3}$, а ребро куба равно единице.

Письменный экзамен по алгебре

Вариант 2

1. Решение квадратного уравнения. Формулы Виета.
2. Решить уравнение
   $$2^{x-1}(2^x+3^{x-1})=9^{x-1}.$$
3. Найти сумму первых семи членов геометрической прогрессии, сумма первого и четверго членов которого равна 9, а сумма второго и третього равна 6.
4. Скорый поед прокодит расстояние между станциями на 3,5 часа быстрее товарного. Если бы каждый поед шел то время, которое траит другой поед на путь между станциями, то скорый поед шел бы на 350 км больше, чем товарный. Если бы скорость каждого поед была увеличена на 10 км/ч, то скорый поед прошел бы расстояние между станциями на 2,4 часа быстрее товарного. Вычислить скорости поедов и расстояние между станциями.
5. При каких значениях $a$ сумма квадратов корней уравнения
   $$2\log_4(2x^2-x+2a-4a^2) + \log_{0,5}(x^2+ax-2a^2) = 0$$
   больше единицы?

Письменный экзамен по геометрии

Вариант 3

1. Доказать теорему синусов.
2. Вычислить $(\sin \alpha - \sin \beta) \sin \alpha + (\cos \alpha - \cos \beta) \cos \alpha$, если $\sin \frac{\alpha-\beta}{4} = a$.
3. Решить уравнение:
   $$(1-tg x)(1+\sin 2x)=1+tg x.$$
4. В трапеции ABCD проведены диагонали AC и BD, пересекающей в точке F. Из вершины C проведена прямая CK, параллельная боковой стороне AD, которая пересекает продолжение BD в точке L так, что DF=BL. Найти отношение AB:CD.
5. Круг радиуса R и равносторонний треугольник со стороны $R\sqrt{3}$ лежат во взаимно перпендикулярных плоскостях. Однако сторон треугольника лежит в плоскости круга. Отрезок, соединяющий центры круга и треугольника, образует с их плоскостями углы, равные 30°. Найти длину части стороны треугольника, лежащей внутри круга.

45

Физика

Билет 1

1. Изоляторы и проводники. Закон сохранения электрических зарядов.
2. Какое количество теплоты выделится при конденсции 20 e водяного пара при 100° С и охлаждения полученной воды до 20° С? Удельная тепломкость воды $c = 4200 \text{ } \partial x/\partial z$. Удельная теплота парообразования воды при 100° С $r = 539 \text{ } \kappa a/\kappa c$.
3. Груз весом 100 н лежит на абсолотно гладкой наклонной плоскости, образующей угол 30° с горизонтом. Какую силу нужно приложить к грузу паралельно плоскости, чтобы удержать его в равновесии? Найти силу реакции плоскости.
4. Два шарика с массами $m_1 = 2 e$ и $m_2 = 3 e$ движутся в горизонтальной плоскости со скоростью, соответствующего друг с другом угол $\alpha = 90^\circ$. Шарики неупруго соударяются. Чему равен суммарный импульс этих шариков после удара?
5. На расстоянии $d = 0,14 m$ от вершины вогнутого зеркала находится предмет, высота которого $l = 0,06 m$. Фокусное расстояние зеркала $F = 0,11 m$. Найти высоту $L$ изобравжения предмета.

Билет 2

1. Конденсаторы. Емкость плоского конденсатора.
2. Летчик стрелляет с самолета из пушки. Скорость самолета относительно Земли 900 км/ч. Скорость снаряда относительно самолета 750 м/с. Определить начальное скорость снаряда относительно Земли, если:a) выстрел производится в направлении полета, б) в противоположную сторону.
3. Какой массив может вести электровоз равномерное вверх по уклону 0,004, если сила тягги электровоза равна 250 кн, а коэффициент треня $k = 0,06$?
4. В радиатор автоматически влили 2 л воды при 40° С, а затем добавили 4 л при 85° С. Определить температуру смеси.
5. Какая сила действует на проводник длиной 10 cm в однородном магнитном поле с магнитной индукцией 2,6 мл, если ток в проводнике 12 а, а угол между направлением тока и линиями индукции: а) 90°; б) 30°?

Билет 3

1. Законы преломления света. Полное отражение света.
2. Скорость распространения волны в среде равна 200 м/с. Вычислить период колебаний, если ближайшее расстояние междуками, колебшиммися в противоположных фазах, равно 20 cm.
3. Магнитный поток, произвольной контур проводника, равномерное изменяется на 0,6 бб так, что э. d. с индукции оказывается равной 1,2 б. Найти время изменения магнитного потока и силу индукционного тока, если сопротивление проводника 0,24 ом.
4. На горизонтальном участке пути автомобиль двигляса со скоростью 72 км/ч в течение 10 мин, а подъем преодолевал со скоростью 36 км/ч в течение 20 мин. Чему равна средняя скорость на всем пути?
5. Пассажирский реактивный самолет имеет 4 двигляса, развивающих силу тягги 10 Т каждай, и летит со скоростью 900 км/ч. Сколько керосина израсходует двигляс на перелет в 4000 км? К. п. d. двигляс 0,25. Теплога сгорания керосина $q = 46,2 \cdot 10^6 \text{ } \partial x/\partial z$.

Билет 4

1. Фотоэлектрический эффект. Фотоэлементы и их применение.

2. Человек массой 60 кг безит со скоростью 8 км/ч. Догнав тележку, движущуюся со скоростью 2,9 км/ч, он вскакивает на нее. Какова будет скорость тележки после этого, если ее масса 80 кг?

3. В стакане находится 100 с воды при температуре 10° С. В нее опущено 40 с льда при температуре —10° С. Что остается в стакане после уравнивания температур?

4. Удельная тепломкость воды $c_1 = 4200 \text{ } \partial x/\partial z$. Удельная тепломкость льда $c_2 = 2100 \text{ } \partial x/\partial z$. Удельная теплота льда $\lambda = 3,3 \cdot 10^5 \text{ } \partial x/\partial z$.

5. Тело свободно падает с высоты 80 м. Какой путь проходит оно в последнюю секунду падения?

6. При силе тока 10 а выделяется во внешней цепи мощность 200 вт, а при силе тока 15 а мощность во внешней цепи 240 вт. Каково внутреннее сопротивление, э. d. с. и сила тока короткого замыкания генератора?
   Билет 5

7. Законы Бойля — Маринта и Гейлосскака.

8. Человек высотой $h = 1,75 m$ находится на расстоянии $r = 6 m$ от столба. На каком расстоянии от себя человек должен положить горизонтальное на землю плоское зеркало, чтобы видеть в него верхушку столба высотой $h = 7 m$?

9. В каком диапазоне длин волны работает радиопередатчик, если емкость его колебательного контура может меняться от 60 nф до 240 nф, а индуктивность составляет 50 мкен?

10. Какова высота телевизонной башни в Останке, если шарик, падая с башни без начальной скорости, последнее 185 мп путь протел за 2 с? Сопротивление воздуха не учитывает.

11. Самолет при разбете имеет максимальную скорость $v = 75 \text{ } \text{m}/\text{s}$, длина разбета перед взлетом $S = 500 \text{ } \text{m}$, масса самолета $m = 19 \text{ } \text{m}$, коэффициент треня $k = 0,02$. Движение во время разбета считать равную скоростью. Какова должа быть минимальная мощность движения объесечение взлетом самолета?