Фигурные числа

53

1
Вот я нарисовал три точки (рис. 1).
Нарисовал так, что если их попарно соединить, получится правильный (то есть равносторонний) треугольник (рис. 2). Впрочем, взятые точки и без соединения создают, так сказать, «впечатление» треугольника.

А если точек четыре, — можно ли их расположить аналогичным образом? Оказывается — нет; убедитесь в этом сами. И пять точек тоже не годятся. Но шесть точек расположить в требуемом порядке уже можно (рис. 3). При этом новый — «шеститочечный» — треугольник получается из «трехточного» линейным увеличением последнего в два раза; это и вызывает добавление новых точек (рис. 4).

Сколько еще точек нужно добавить, чтобы «впечатление» треугольника сохранились? Ответ найти нетрудно: четыре. Соответствующий треугольник — он получается линейным увеличением исходного в три раза — изобразен на рисунке 5.

Продолжая добавлять точки, будем получить все новые треугольники. Именно, к уже имеющимся десяти точкам добавим пять, затем к пятнадцатипой получившимся — еще шесть точки, к ним еще семь и т. д. (сделайте рисунки самостояльно!).

Попытаемся теперь выяснить, сколько же точек нужно иметь, чтобы из них можно было составить «треугольную конфигурацию».

В наших примерах сначала точек было 3, 6, 10; потом 15, 21, 28, . . .

Эти числа, по вполне понятным причинам, называются треугольными. Мы хотим выяснить, какой вид имеются треугольные числа. Сделать это нетрудно, если заметить, что

$$3 = 1 + 2$$
$$6 = 1 + 2 + 3$$
$$10 = 1 + 2 + 3 + 4$$
$$15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5$$

54

Бросается в глаза закономерность, по которой составлены эти числа. Можно доказать, что эта закономерность имеет место и дальше. Значит, если $n$-е треугольное число обозначить через $T_n$ и считать, что $T_1 = 1$, то будет справедлива следующая формула:

$$T_n = 1 + 2 + 3 + \dots + n.$$

На вид она довольно проста, однако для вычисления явно не пригодна. Чтобы придать ей более удобную для вычисления форму, заметим, что в правой части равенства равноведенные от начала и конца слагаемые в сумме дают одно и то же число, а именно $n + 1$.

Тепер все очень просто: напишем нашу формулу два раза,omenяв во втором случае порядок слагаемых на обратный:

$$T_n = 1 + 2 + 3 + \dots + (n - 2) + (n - 1) + n,$$

$$T_n = n + (n - 1) + (n - 2) + \dots + 3 + 2 + 1.$$

Сложим эти два равенства «столбиком»; тогда влевой части получим $2T_n$, а в правой — число $n + 1$, взятое $n$ раз. Итак, $2T_n = n(n + 1)$, откуда

$$T_n = \frac{1}{2}n(n + 1).$$

Примененный здесь метод вычисления дал нам возможность упростить довольно громоздкое выражение.

В связи с этим хочется привести традиционный рассказ о мальчике по имени Карл,lecture применившем этот метод при решении аналогичной задачи.

«Однажды учитель начальной школе, которое посещал Карл, желая подольше занять ребят, предложил им трудную задачу: сложить числа 1, 2, 3 и т. д. до 100. Учащиеся прогузлись в вычисления… Маленький Карл заметил, что пары чисел 1 и 100, 2 и 99, 3 и 98 и т. д. в сумме дают 101. Подсчитав в уме, что таких пар 50, он написал на своей грифельной доске ответ — 5050 и подал ее учитель. Учитель был очень удивлен…»

Будущее показало, что учитель удивляется не следовало: маленький Карл стал впоследствии Великим Карлом Фридрихом Гаусссом, произвольным «королем математиков» еще при жизни!

2

Кроме треугольных чисел существуют также числа квадратные, прямоугольные, шестицелые и т. д. Они связаны соответственно с квадратом, правильным пятугольником, правильным шестиугольником и т. д.

Обозначим $n$-е квадратное число через $K_n$, а $n$-е пятугольное — через $\Pi_n$; тогда

$$K_n = n^2, \quad \Pi_n = \frac{1}{2}n(3n - 1).$$

Чтобы получить эти равенства, нужно какое из чисел $K_n$ и $\Pi_n$

55

Рис. 7.

представить в виде соответствующей суммы (см. рис. 6 и 7) и применить уже известный нам метод «спаривания» слагаемых. Соответствие вычисления проделяйте сами.

Аналогично можно найти выражения и для шестиугольных, семиугольных и т. д. чисел. Мы решим более общую задачу — найти формулу для любого $k$-угольного числа.

3

Итак, пусть $F^{(k)}_n$ обозначает $n$-е $k$-угольное число. Расмотрим $k$-угольник, порождающий это число (см. рис. 8). Возьмем одну из вершин этого многоугольника, например, $A$, и проведем из нее все диагонали. Сколько их будет? Подсчитаем.

Вершину $A$ можно соединить с каждой из остальных $(k-1)$ вершин;

но при соедининии $A$ с двумя соседними с ней вершинами мы получим не диагонали, а стороны многоугольника. Значит, диагонали получаются при соедининии $A$ с $(k-1)-2 = k-3$ вершинами. Это и есть число диагонали.

Проведяя диагонали из вершины $A$, мы разобем $k$-угольник на $k-2$ треугольника (см. рис. 9). Каждый из этих треугольников связан с $n$-м треугольным числом $T_n$. Зная же $T_n$, мы можем посчитать число точек и в данном $k$-угольнике, то есть найти формулу для $F^{(k)}_n$. В самом деле, в каждом треугольнике $T_n$ точек, а треугольников $k-2$. Итого — $(k-2)T_n$ точек. При этом точки, лежащие на диагоналях, мы считали два раза — ведь диагональ является стороной двух смежных тре-

Рис. 8.

Рис. 9.