Московский институт инженеров железнодорожного транспорта

42

Московский институт инженеров железнодорожного транспорта

В «Кванте» № 7 за 1973 год мы рассакзывали о Московском институте инженеров железнодорожного транспорта. В этом номере мы помещаем варанты вступительную письменного экзамена по математике и задачи устного экзамена по физике в 1973 году.

Математика

Вариант 1

(специальности: мосты и тоннелли, промышленное и гражданское строительство, экономика строительства, экономика транспорта, эксплуатация транспорта, строительство железных дорог, промышленная теллоэнергетика, телловозостроение, строительные и дорогные машины)

1. Двое рабочих A и B начали уборку картофеля с участа в 8 часов утра с одинаковой производительностью. В 9 часов к ним присоединились третий рабочий C. В 11 часов B и C ушли, остальной часть учаска доелал один A за 6 часов.

За сколько часов каждый рабочий смог бы убрать учасок, работа отдельно, если известно, что рабочему C нужно для этого на 5 часов меньше, чем A?

2. Решить неравенство
   $$|x^2 - 3x| + x - 2 < 0.$$

3. Высота правильной треугольной призмы равна h. Примая, соединяющая центр верхнего основания с серединой стороны нижнего основания, наклонена к плоскости нижнего основания под углом α. Найти полную поверхность призмы.

4. Решить уравнение
   $$\sin 3x - 4\sin x\cos 2x = 0.$$

Вариант 2

(специальности: автоматизированные системы управления, электропhone вычислительные машины, автоматика и телемеханика в промышленности).

1. Мальчик и автовосоеденное отправились от железнодорожной станции к плажу. Через некоторое время мальчик встретил автовосывшийся с плажка. Он успел пройти еще некоторое расстояние от места первого встречи с автовосом, когда тот же автовосус, ищий второй раз от станции к плажу, догнал его. Известно, что расстояние между пунктами первого и второй встречи составляет 4/15 расстояния от станции до плажу. Во сколько раз скорость автовосуса больше скорости мальчика?

2. При каких значениях a корень уравнения
   $$\frac{a+3}{x+1} - \frac{5-3a}{x-2} = \frac{ax+3}{x^2-x-2}$$

не меньше 1?

3. Основанием прямого параллелепида служит ромб. Одна из диагоналей параллелепида равна a и образует с плоскостью основания угол α, а с одной из боковых граней — угол β. Найти объем параллелепида.

4. Найти $$\sin^4\alpha + \cos^4\alpha$$, если $$\sin\alpha + \cos\alpha = a.$$

Вариант 3

(специальность: прикладная математика)

1. Несолько человек купили обслужии. Деньги внесили по очереди, причем каждый последующий внесил на 2 рублей больше, чем предыдущий. На обслужии паль выигрыш в сумме 460 руб. Выиграш был разделен пропорционально внесенной каждым сумме денег. Сколько человек участовал в покупке обслужий, если известно, что их было меньше 20 человек и первый получил при разделе выигрыша 20 руб., а внесцое число рублей.

2. Решить уравнение
   $$\sqrt{x+1} - 1 - \sqrt{\frac{x-1}{x}} = 0.$$

3. Найти площадь треугольника, вписанного в окружность, если концы его стороны, равной 20 cm, отстояют от касательной, проведенной через противолежашую вершину, на 25 cm и 16 cm.

4. Известно, что $$\cos^2\alpha + \cos^2\beta = m.$$ Найти $$\cos^2\alpha \cdot \cos^2\beta - \sin^2\alpha \cdot \sin^2\beta.$$

Физика

1. По наклонной доске пустили катиться сизу вверх шарик. На расстоянии l=40 cm от начала пути шарик повышал давление t₁=2 с и t₂=3 с после начала движения. Определить начальное скорость и ускорение движения шарика, считая его постоянным.

2. Маленький шарик массой m, привязанный к нити, врашает в горизонтальной плоскости, отстоящей от точки подвеса нити на расстояние h. Скорость врашения по величины постоянна. Найти частоту врашения материи.