Решите на досуге

56

угодников, а точку $A$, которая является общей для всех треугольников $k - 2$ раза.

Уточним наш подсчет: на каждой диагонали $n$ точек, а если отбросить точку $A$, то $n - 1$ точка; значит, $(n - 1) (k - 3)$ точек мы считали по два раза; а точку $A$ мы считали $k - 2$ раза и получили при этом на $k - 3$ точки больше, чем следовало. Следовательно, из выражения $(k - 2) T_n$ нужно вычесть число $(n - 1) (k - 3)$ и число $k - 3$. Это дает для $F_n^{(k)}$ следующее выражение:

$$F_n^{(k)} = (k - 2) T_n - (n - 1) (k - 3) - (k - 3).$$

Подставив сюда значение $T_n$, получим после элементных преобразований искусую формулу:

$$F_n^{(k)} = \frac{1}{2} n [(k - 2) n + 4 - k].$$

Полягая, в частности, в этой формуле $k = 3, 4, 5$, получим соответствую формулы для $T_n, K_n, \Pi_n$.

4

Многодуольные, или, как их часто называют, фигурные числа были известны еще в глубокой древности. Предполагают, что впервые они появились в VI веке до нашей эры — в школе Пифагора. В дальнейшем многие математики интересовались этим числами. Про них доказано много важных и трудных теорем. Приведем одну из них: всякое натуральное число есть либо сумма не более трех треугольных чисел, либо сумма не более четырех квадратных чисел, либо сумма не более пятимуточных чисел и т. д.

Эту теорему сформировал без доказательства один из крупнейших математиков XVII века Пьер Ферма. Она привлекла внимание многих выдающихся математиков — Эйлера, Лагранжа, Ле-jандара, Гаусса. Каждый из них внес свой вклад в ее доказательство, но полностью теорема была доказана лишь в XIX веке французским математиком Кош и.

Решите на доступе

1. От неверно выполненного умножения (неверна одна из цифр произведения) остались лишь такие следы:

$$\times 0 \times 5 1 + \times 0 \times 46.$$

Найти множимое 0.

2. В шифрованной телеграмме send more money («пришлите больше денег») число money есть сумма чисел send и more.

Какие цифры защищены буквами, если money — наиболее важное из возможных в этой задаче?

3. $$\times \times 2 \times 0 \times 0 \times 0.$$

Найти компоненты и произведение.

4. Наборщик должен быть набрать выражение

$$abcd^2 \times 0, \dots,$$

где $abcd$ — четное четьрезначное число, а 0, . . . — десятичная дробь. Наборщик набрал так:

$$abcd \times 20, \dots.$$

Тем не менее оказалось, что оба эти выражения численно равны. Найти число $abcd$ и дробь 0, . . .

П. Ю. Германович