Сигналы. Спектры

Квант 1974, №6 с. 2-8 Тег Q6VY

В современной жизни нас буквально захлебывает поток разнообразной информации, объем которого неуклонно возрастает. Эта информация передается при помощи радио, телевидения, телефон и телефонфа в виде сигналов. Весьма важной характеристикой любых сигналов является их спектр, ограниченный связанными с формой и длительностью сигналов. Спектральные представления позволяют сравнивать разные по природу физических процессы и изучать актические, электромагнитные, оптические и другие явления с единой точки зрения. Поэтому полезно иметь понятие о сигналах и их спектрах, знать связь между спектрами и другими характеристиками сигналов. Об этом и будет идти речь в настоящей статье.

О сигнале

Первоначально информацию о богатом и разнообразном мире, окружающем нас, мы получаем при помощи глаз иушей. Мы любуемся восхитительным зрелищем восхода или заката солнца на море или на опушке леса, радугой и светным сиянием, попытами прославленных мастеров живописи, стройными зданиями, разнообразными машинами и т.п. Глядя на текст и формулы, мы воспринимаем выраженные им мысли других людей. То же самое проискодит, когда мы служаем речь или музыку. Во всех этих случаях человек воспринимает сообщения, которые играют роль носителей информации. С этой точки зрениячные звуки и изображения являются примерами сообщений.

Для передачи звука или изображения на далекие расстояния сообщение преобразуется всего преобразуют в соответствующей электрической сигнал, то есть в электрической процессе $u(t)$ , характеризуемый определенной зависимости электрической величины $u$ от времени $t$ , или, как говоря, кодируют сообщение. Звуки сравнительно просто кодируются микрофонным устройством. На микрофон воздействуют другие колабания воздуха, роль сообщения играет звуковое давление $p$ на_memбрану микрофона, изменяющееся во времени по закону $p(t)$ . При этом, например, в угольном микрофоне соответствием образом изменяется сопротивление микрофона и ток в его цепи, в результате чего на выходе микрофонного устройства напряжение $u(t)$ изменяется во времени по тому же закону, что и звуковое давление $p(t)$ .

Значительное сложнее кодировать изображение. Сначала специальное фотоэлектрическое устройство преобразует оптическое изображение в электрическое, в котором распределене направленный соответствует ярости различных участков изображения. затем с помощью электронного луча, обегающего электрическое изображение, осуществляется последователь-

ное преобразование этого изображения в электрический сигнал $u(t)$ , характеризующий определенной зависимости $u$ от времени $t$ . В зависимости $u(t)$ и запирофрована информация о данном изображении.

При изучении электрического сигнала обычно неуспешенно, какая именно электрическая величина подразумевается под $u$ — напряжение, ток или заряд. Важно не что изменяется, а как изменяется эта величина во времени. Можно отвлечься от физической природы этой величины и интерсоваться характером математической зависимости $u(t)$ , то есть функцией времени $t$ , например, непрерывная она или импульсная, синусоидальная или несинусоидальная и т. д. В конечном случае для нас важно, что независимо от физической природы сообщения кодирующий его сигнал передается в виде определенной функции времени.

Временное и спектральное представления сигнала

Изучая неокоторое событие, мы обычно интерсуемся тем, где и когда оно произойдет, какие перемещения в пространстве и изменения во времени имели место. Поэтому мы привыкли рассматривать большимство величины как функция пространственных координат и времени.

Иное дело сигнал. Значение пространственных координат источника сигнала не имеет особого смысла, поскольку в земных масштабах сигналы, перессимые электримагнитными волнами, распространяются практическими мгновенно (напомним, что в воздухе скорость электримагнитной волны $\approx 3 \cdot 10^8$ м/c). Например, при трансляции спектакля из Москвыго театра радиослушателя во Владивостоке услышат звук, произнесенный на сцене, даже раныше сидящих в задних рядах партера Москвычей, поскольку электримагнитные волны распространяются примерно в миллион раз быстрее звуковых.

Зато очень важно, как сигнал изменяется со временем, так как именно в зависимости $u(t)$ и содержится передаваемая информация. Это зависит можно записать аналогичные или представить в виде графика $u(t)$ . Но можно сигнал охарактеризовать по-другому, с точки зрения его спектрального состояния, и тоже представить графическими соответствующим образом. Что же такое спектр сигнала? Попробуем в этом разобраться.

Будем рассматривать, главным образом, такие сигналы, которые являются перiodическими, то есть функция $u(t)$ удовлетворяет соответствующим образом.

$u(t + nT) = u(t),$

где $T$ — постоянная величины, называемая периодом, $n$ — любое число. Периодический процесс можно характеризовать также частотой $v = \frac{1}{T}$ . Теоретически предполагается, что такая периодичность длится вечно и не имеет начала и конца во времени. Практические к периодическим процессам относят также процессы, длительность которых намного больше периода.

На рисунке 1 представлены графики трех различных периодических процессов. Легко заметить, что у них одинаковая частота, но различная форма колебаний. В дальнейшем вы увидите, что эти различные по форме колебания имеют разный спектральный состав.

Рассмотрим такой опит. Пусть есть много различных резонансных контуров, настроенных на частоты $v_0, 2v_0, 3v_0$ и т. д., и электрические сигналы, соответствующие указанным процессам, одновременно воздействуют на эти контуры. Оказывается, что первый сигнал $u_1(t)$ возбуждает колебания в трех контурах, настроенных на частоты $v_0, 2v_0$ и $3v_0$ ; на второй сигнал $u_2(t)$ откликется значительно больше контуров, а при воздействии последнего сигнала $u_3(t)$

колебания вознкают только в одном контуре с собственной частотой $v_0$ . Очевидно, для таких колебательных контуров периодический процесс $u_3(t)$ является простейшим, поскольку он вызывает возбуждение только на одной частоте, равной $v_0$ . Этот процесс вам, безусловно, знаком, он представляет собой так называемое синусидальное, или гармоничское, колебание, описываемое соответствием

$u(t) = A \sin(2\pi v_0 t + \varphi) = A \sin(\omega_0 t + \varphi),$

рис. 1.

$u(t) = A_1 \sin(\omega_0 t + \varphi_1) + A_2 \sin(2\omega_0 t + \varphi_2) + A_3 \sin(3\omega_0 t + \varphi_3) + \dots + A_h \sin(k\omega_0 t + \varphi_h) + \dots$

или, более кратко,

$u(t) = \sum_{k=1}^{\infty} A_k \sin(k\omega_0 t + \varphi_k),$

где $k$ — номер гармоники, определяющий ее частоту, $A_k$ — амплитуда гармоники, $\varphi_k$ — начальная фаза гармоники, $\omega_0$ — круговая частота исследуемого процесса.

Таким образом, сигнал, представленный в виде суммы синусидом, можно удобно и просто охарактеризовать совокупностью величины $A_k$ и $\varphi_k$ . Совокупность величины $A_k$ называется спектром амплитуд. Этот спектр нагрядно представляют графические, откладывая по оси ordinат значения $A_k$ и по оси абсцисс $v$ и изобрази-

Рис. 3.

жая амплитуды отдельных гармоник вертикальных отрезками соответствующей длины. Такой спектр является линейчатым и гармоничским. Последнее означает, что между частотами гармоник существует простые кратные соответствия. Если процесс не периодичен, он также может быть представлен суммой синусoid, но спектр подобного процесса не будет гармоничским. Совокупность величины $\varphi_h$ называют спектром фаз. При анализе сигналов в большинстве случае достаточно знать только амплитудные спектры. Поэтому для кратности амплитудные спектры называют часть простой спектрами, что мы и будем делать в дальнейшем.

Как правило, с увеличением номера гармоник их амплитуды убывают, и, начиная с некоторого номера, амплитуды последующих гармоник становятся столь малыми, что им можно пренебречь. Поэтому практические спектры имеют ограниченное число спектральных линий. Однако из характерistik спектра является его ширина. Шириной спектра называют интервал на шкале частот, в котором размещается такой спектр.

На рисунке 2 приведены спектры функций $u_1(t), u_2(t)$ и $u_3(t)$ , полученные, например, с помощью упомянутого выше набора резонансных контуров. Они наглядно иллюстрируют связь между временными и спектральными представлениями сигнала. Мы видим, что чем резце измененная функция во время, тем богатое и ширнее ее спектр. Это естественно. Чтобы, складывая непрерывные и плавно изменяющиеся синусoidы, получить резкие изменения результатю функций, требуется сложить большое число синусoid с разными частотами, амплитудами и фазами. Для воспроизведения же непрерывного процесса, близкого к синусoidному, достаточно небольшого числа таких синусoid. В качестве примера на рисунке 3 показано графикаское сложение трех синусoid с частотами и амплитудами, соответствующими спектру рисуна 2, $a$ , и начальных фазами, равными нулю. Результирующая кривая (она показана синим) по форме совпадает с кривой на рисунке 1, $a$ .

Спектры звуковые

Звуковые сообщения обычно подразделяют на музыкальные звуки и шумы.

Музькальный звук представляет собой периодический изменяющий процесс, например, такой, как на рисунке 4, $a$ . В частности, если этот процесс — гармоничский, говорят о музыкальном тоне. Использование Фурье, музыкальный звук можно рассматривать как совокупность основных музыkalного тона и несколько высоких гармоник — обертонов. В спектре соответствующего сигнала наиболее амплитуду имеет основной тон, с ростом номера гармоник амплитуди их заметно

именено инструменте звучит данная nota. На рисунке 5 представлены графики и спектры звуковой роли и кларнета для одной и той же ноты.

Такие отрывные звуки, как удары барабана, стук касанbet, являются шумами. Сигналы шумов отличятся неперiodичностью и сложной зависимости от времени (например, такой, как на рисунке 4, 6).

Один из таких спектров — спектр шума компрессора — показан на рисунке 6. В нем очень много различных частотных компонент. Спектр шума значительное шире и богатое спектра музыкальных тонов. В этом легко убедиться, произведя, например, простой опит с камертомами, имеющими различные собственные частоты колебаний. На длительное звучание чистого музыкального тонна откликется только один из камертов. Если же вблизи резко ударять по барабану, завычает много камертов. То есть чистый тон может быть представлен одной частотой, а удары барабана — большим числом частот.

Рис. 4.

падает, так что практические спектр музыкального тонна имеет сравнительно немного гармоник. Роль этих гармоник в эмцоноальном восприятии музыки очень велика. Они определяют тембр музыкальных звуков. Беря одну и ту же ноту на различных инструментах, мы получим звуки с разным числом гармоник и разными соответствиями между их амплитудами. Соответствие и спектры этих звуков будут различными, благодар чему наше уже различает, на каком

Рис. 5.

Рис. 6.

Качественное отличие различных шумов выражается в том, что спектр одного шума может иметь более интегированные спектральные компоненты в области низких частот, а другого шума — на более высоких частотах, то есть в различных пропорциях между спектральными компонентами.

Какого цвета шум?

Спектральные представления позволяют создать единый и наглядный язык для описания процессов различных физических природы, используемых подчас неожиданные ассоциации и аналогии.

Так, например, специальные иногда используют термин «белый шум». С точки зрения филологов это — бессмыслица, и они могут явить himself заметить, что шум не имеет цвета, мы его не видим, а слышим. Однако для физика это в полне понятное, довольно точное и емкое определение, использующое аналогию между звуком и светом.

Известно, что ошибение белого цвета является результатом воздействия на глаз целой гаммы световых лучей, от красного до филологового. Белый свет имеет сплошной спектр, в котором представлены все частоты видимой части шкалы электромагнитных волн (от 3,8·10¹⁴ до 7,5·10¹⁴ эц).

Хотя существует определение распределение энергии по частотам и максимум энергии, излучаемой источником белого света, приходится на конкретный участок видимого спектра (в частности, максимум энергии излучения Солнца находится в желто-зеленой части), излучение в остальных участках видимого спектра тоже достигано интенсивное, то есть в белом свете энергия красного, зеленного, синего и других цветов белое или менее равномерно распределена по всему диапазону видимых световых волн.

Аналогично этому «белый шум» — это такой шум, в сплошном спектре которого присутствует все звуковые частоты, причем различных спектральные компоненты отличия по энергии не очень сильно.

Спектры импульсных сигналов

В современной технике, например, в телефонни, радиолокации, телевидении часто использются сигналы в виде периодических повторяющихся импульсов прямогоной формы (рис. 7 и 8). Как видно из этих рисунков, такие сигналы имеют богатый спектр, содержащий много спектральных линей, сгурупированных в своеобразные «лепестки», причем частоты, соответствующие «узлам» этих лепестков, равны n/τ, где n — номер лепестка. Теоретически подобные спектры имеют бесконечную протяженность по частоте, но поскольку после третьего лепестка amplитуры гармоник становится пребрежимо малыми, практическими можно ограничить.

ничится первыми темя лепестками. Ширина такого ограниченного спектра Δv связана с дилительностью импульса τ простой зависимости:

$\Delta v = \frac{3}{\tau},$

то есть ширина спектра прямого ограниченного импульса обратно пропорциональна его дилительности.

Это соответствие имеет большое практическое значение. Оно показывает, что чем меньше дилительность импульсов, то есть чем меньше значимается линяя связи, тем более широким является спектр такого сигнала и тем более широкая полоса частот требуется для достаточно равильно его воспроизведение.

Так, например, при передаче телеграфных сигналов средняя дилительность импульсов (точек и тipe) примерно равна 0,1 с. Этому соответствует ширина спектра Δv = 30 2ц. Если, для того чтобы времени занимать линюю связи, передавать телеграфный сигнал в 100 раз быстрее (τ = 0,001 с), Δv возрастает до 3000 2ц. Следовательно, чем быстрее передается сигнал, тем шире его спектр.

Иного смана природа сообщения требует быстрый передачи соответствующего сигнала. Так, в частности, обстоятель дело в телевидении. Поскольку зрительное ошушение изображения сохраняется в нашем глаза только в течение примерно 1/25 секунды, нужно за это время успеть передать один кадр, то есть в виде импульсов последовательного передать информацию о яркости примерно 500 000 элементов изображения (по современным стандартам). В данном случае каждой импульс длися меньше миллионной доли секунды, при этом спектр телевизционного сигнала занимает полосу частот шириной вдесятки миллионов герц что обусловливает особые трудности его передачи.

На примере прямогоolgных импульсов мы столкнулись с весмаюбольшой закономерностью, справедливой и для других видов импульсов. Эту закономерность можно выразить математически, переписав приведенное выше соответствие в виде τ·Δv = const.

Физическая смысл этого соответствия состоит в том, что невозможно одновременно сконцентрировать такой сигнал во времени и по частотам. Если, например, стремясь скать сигнал во времени, то есть быстрее передать информацию, мы уменьшаем дилительность импульсов τ, при этом увеличается полоса частот и спектр сигнала расширяется.

Из приведенной формулы также следует, что ширина спектра Δv прямогоolgных импульсов определяется только их дилительностью τ и не зависит от частоты повторения импульсов v = 1/T. Это важное практическое, так как позволяет легко определить минимальное значение τ, при котором полоса частот, занимаемая данным сигналом, не превышает допустимую для данной системы передачи и приема импульсов сигналов.

Однако, с изменением частоты v изменяется число спектральных линей в каждой лепестке, то есть их густота. Так, с увеличением интервала между импульсами уменьшается v, и число этих линей в лепестках спектра увеличивается (рис. 7 и 8). Очевидно, в пределном случае перехода от периодических повторiousх импульсов к одиночному импульсу (T → ∞ и v → 0) спектр должен стать сплошным, что действительно подтверждается опитом.

Большой практический интерес представляет спектр импульсов, возникающих при включении рубильников, контактов различных электрических цепей, когда ток в цепи резко возрастает от нуля до определенной величины (рис. 9, а). Такой сигнал имеет сплошной спектр, показанный на рисунке 9, б, где по горизонтальной оси отложена непрерывно меняющая частота v. Из