Задачи М266—М270; Ф278—Ф282

18

Задачик кванта

Решения задач из этого номера можно посылать не позднее 1 августа 1974 г. по адресу: 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15, издательство «Наука», журнал «Квант». После адреса на конверте написите, решения каких задач вы посылете, например: «Задачик «Кванта», М266, М267» или «… Ф278». Решения задач по каждому из предметов (математике и физике), а также новые задачи просыпать в отдельных конвертах. Задчи из разных номеров журнала просыпайте также в разных конвертах. В письмо вложите конверт с написанным на нем адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки решения). Условия оригинальных задач, предлагаемых для публикации, просыпайте в двух экземплярах вместе с вашими решениями этих задач (на конверте помещите: «Задачик «Кванта», новая задача по физике» или «… новая задача по математике»).

После формирования задачи мы обычно указываем, кто предложил нам эту задачу. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые.

Ниболье трудные задачи отмечены звездочек.

Задачи

M266—M270; Ф278—Ф282

M266. Дан выпуклый $n$-угольник.
a) Докажите, что если для каждой тройки последовательных вершин $n$-угольника построить окружность, проходящую через эти три вершины, и из $n$ полученных окружностей выбрать такую, у которой радиус наибольший, то эта окружность содержит внутри себя весь данный $n$-угольник;
6) Докажите, что если для каждой тройки последовательных сторон $n$-угольника построить окружность, касающийся этих сторон, и из $n$ полученных окружностей выбрать такую, у которой радиус наибольший, то она будет содержать внутри данного $n$-угольника.

A. B. Карзанов

M267. В последовательности троек целых чисел (2, 3, 5) (6, 15, 10)… каждый тройка получается из предыдущего таким образом: первое числожится на второе, второе — на третье, а третье — на первое, и полученные произведения дают новую тройку.

Докажите, что ни одно из чисел, получаемых таким образом, не будет степенью целого числа: квадратом, кубом и т. д.

Ф. А. Бартенев

M268. В углу шахматной доски стоит фигура. Первый игрок может ходить его два раза подряд как общим конем (на два поля в одном направлении и на одно — в перпендикулярном), а второй — один раз конем с удлиненным ходом (на три поля в одном направлении и на одно — в перпендикулярном). Так они ходят по очереди. Первый стремится к тому, чтобы поставить фигуру в противоположный угол, а второй — ему помещать. Кто из них выиграет (размеры доски — $n \times n$, где $n \geq 4$)?

П. Кацыло, ученик 10 класса (Москва)

19

М269. Обозначим через $T_k(n)$ сумму произведений по $k$ чисел от 1 до $n$. Например,
$$T_2(4) = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 1 \cdot 4 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 4 = 35.$$
a) Найдите общую формулу для $T_2(n)$ и $T_3(n)$.
b) Докажите, что $T_k(n)$ выражается многочленом от $n$ степени $2k$ (для каждого натурального $k \geqslant 2$).
b) Укажите метод нахождения многочленов $T_k(n)$ ($k = 2, 3, 4, 5, \dots$) и примените его для отыскания многочленов $T_4(n)$ и $T_5(n)$.
Э. А. Ясиновый

M270. Пусть $AB$ и $CD$ — две хорды окружности, а точки $K$ и $H$ построены так, что все четыре угла $KAB, KCD, HBA$ и $HDC$ — прямые. Докажите, что прямая $KH$ проходит через центр окружности и через точку пересечения прямых $AD$ и $BC$.
И. Ф. Шарыцин, А. И. Яновский

Ф278. Спутник Земли движется по круговой орбите на высоте $h = 760$ км над поверхностью Земли. Его хотят перевести на эллиптическую орбиту с максимальным удалением от поверхности Земли $H = 40 000$ км и минимальным расстоянием от поверхности $h = 760$ км. Насколько для этого необходимо изменить скорость спутника? Каким будет период обращения спутника по новой, эллиптической, орбите?
А. Боржиевский, ученик 10 класса (Оришинская с.ш., Хмельницкая обл.)

Рис. 1.

Ф279. Цилинд, изготовленный из нетелепопроводящего материала, разделен нетелепопроводяшей перегородкой на две части, объемы которых $V_1$ и $V_2$. В первой части находится газ при температуре $T_1$ под давлением $p_1$. Во второй — такой же газ, но при температуре $T_2$ и под давлением $p_2$. Какая температура установится в цилинде, еслиубрать перегородку?

Ф280. Источник света на расстоянии $3a$ от линзы с фокусным расстоянием $a$. Во сколько раз изменится средняя освещенность пятна на экране, который находится на расстоянии $1,5a$ от линзы, если между источником и линзой помещить плоскопаралельную стеклянную пластинку толщины $0,5a$? Показатель преломления стекла равен $n$.

Ф281. В схеме, изобравенной на рисунке 1, $a$, первоначально ключ $K$ разомкнут. Э. д. с. первой батареи $E_1 = 1\ \sigma$, а ее внутреннее сопротивление $r_1 = 0,2\ \sigma$. Э. д. с. второй батареи $E_2 = 2\ \sigma$, внутреннее сопротивление $r_2 = 0,4\ \sigma$. Емкость конденсатора $C = 10\ \mu\mathrm{k}\phi$. На какую величину изменяется заряд конденсатора при замыкании ключа, если диод имеет волтамперную характеристику, показанную на рисунке 1, $\sigma$?

Ф282. Найти частоту «симметричных» колебаний системы, показанной на рисунке 2. Массы всех шаров $m$, коэффициенты упругости пружинок $k$.

Г. Л. Комкин