Đại học bang Leningrad

47

Đại học bang Leningrad

Huân chương Leningrad của Lenin và Huân chương Cờ đỏ của Đại học Lao động bang được mang tên. A. A. Zhdanova đào tạo các chuyên gia về toán học và vật lý tại ba khoa.

Khoa Toán và Cơ học có các chuyên ngành: toán, cơ khí, thiên văn học và kỹ thuật thủy điện.

Sinh viên Khoa Vật lý nhận các chuyên ngành: vật lý, địa vật lý, vật lý vô tuyến và điện tử.

Khoa Toán ứng dụng - Quy trình điều khiển đào tạo ra các chuyên gia về toán ứng dụng.

Kỳ thi tuyển sinh Khoa Toán Cơ và Khoa Toán Ứng dụng - Quá trình điều khiển vào tháng 8, Khoa Vật lý - vào tháng 7. Dưới đây chúng tôi trình bày các lựa chọn cho kỳ thi tuyển sinh viết môn toán và kỳ thi vấn đáp bài toán môn vật lý tại Đại học Bang Leningrad năm 1973.

Toán học

Tùy chọn 1
(Khoa Toán Cơ và Khoa Toán Ứng dụng - Quy trình điều khiển)

1. Trạm máy và máy kéo phải cử một số lượng máy kéo nhất định đến nông trường nhà nước để thực hiện một công việc nhất định và được biết 10 máy kéo có thể hoàn thành công việc này trong 12 ngày làm việc. Ngoài ra, người ta còn biết rằng trang trại nhà nước trả cho đội sửa chữa 30 rúp trong suốt thời gian làm việc ở trang trại nhà nước. trong 1 ngày và mỗi máy kéo 4 rúp. 80 kop. trong 1 ngày làm việc tại trang trại nhà nước và ngược lại (trong thời gian làm việc, máy kéo ở trang trại nhà nước). Với số lượng máy kéo thì tổng số tiền trả cho công nhân để hoàn thành mọi công việc là ít nhất? Mức lương tối thiểu cho người lao động là bao nhiêu?

2. Giải phương trình
   $(2 + a) \cos^2 x + \sin x \cos x = (1 - a) \sin^2 x$ cho tất cả các giá trị của tham số $a$.

3. Chọn số $b$ sao cho giá trị lớn nhất của hàm số
   $|-2x^2+x+b|$
   trên khoảng $0 \leq x \leq 1$ là nhỏ nhất.

4. Trong hình chữ nhật $ABCD$ ta có: $AB = a$, $AD = b$. Tìm ở bên $AB$ điểm $E$ sao cho $\overrightarrow{CED} = \overrightarrow{AED}$.

5. Cuối cùng chiều cao bằng đường kính đáy. Một mặt phẳng tiếp xúc với bề mặt bên của hình nón được vẽ thông qua một số đường sinh của hình nón, và trong mặt phẳng này một đường thẳng được vẽ qua đỉnh của hình nón một góc $\alpha$ so với đường sinh. Tìm góc mà đường thẳng vừa vẽ tạo với mặt phẳng đáy.

Tùy chọn 2
(Khoa Hóa Tâm lý và Khoa Kinh tế (trừ Khoa Kinh tế Chính trị))

1. Từ một thùng chứa $v$ lít chứa đầy dung dịch axit $p$ phần trăm, một lượng dung dịch được đổ vào và cùng một lượng dung dịch $q$ phần trăm ($q < p$) được thêm vào. Độ bền của rastorov thu được hóa ra nhỏ hơn $k$ lần so với độ bền của rastorov, điều này sẽ đạt được nếu khi đổ rastorov $q$ phần trăm với nhau, bạn sử dụng rasta có độ bền gấp 2 lần. Bao nhiêu trong số $q$ phần trăm raster đã được chi tiêu?

2. Giải bất đẳng thức
   $$\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}} > \frac{x}{2}.$$

3. Giải phương trình
   $(\cos 2x+\cos x+1)^2 = 2(2\cos x+1)(\cos 2x-\cos x).$

4. Trong tam giác đều $ABC$ ($AB=BC$), đường trung tuyến $AD$ được vẽ. Tìm góc $BAD$ nếu góc tại đỉnh $B$ bằng $\alpha$.

5. Trong một hình tam giác đều, $r$ của hình tròn được mô tả gần đáy và góc $\alpha$ của độ nghiêng của mặt bên với mặt phẳng của đáy được trích xuất. Tìm bán kính của hình cầu ngoại tiếp.

Tùy chọn 3
(Khoa Địa chất và Khoa Kinh tế Chính trị, Khoa Kinh tế)

1. Kế hoạch làm việc là sản xuất 260 bộ phận trong vài ngày. Trong 2 ngày đầu tiên anh làm việc theo kế hoạch, những ngày làm việc tiếp theo anh vượt kế hoạch, mỗi ngày sản xuất nhiều hơn 10 bộ phận so với kế hoạch đề ra. Vì vậy, 2 ngày trước thời hạn, 268 bộ phận đã được sản xuất. Có bao nhiêu bộ phận nên được sản xuất theo kế hoạch trong một ngày?

2. Giải phương trình
   $$2\log_2x \mathrm{tg} x + \log_t x \sin x = 3.$$

3. Trên mặt phẳng, tìm quỹ tích của một điểm có tọa độ $x$ và $y$ thỏa mãn phương trình
   $$x = |x-y|^2 + y.$$

4. Xác định diện tích của hình thang nếu hai đáy của nó là 6 cm và 11 cm, một cạnh là 4 cm và tổng các góc ở đáy là $\pi/2$.

48

Cơm. 1.

5. Hai đường thẳng tứ giác đều bằng nhau được đặt trong không gian sao cho các đáy của chúng trùng nhau và các đỉnh của chúng nằm ở các cạnh đối diện của mặt phẳng chung của đáy. Biết cạnh đáy bằng $a$, góc phẳng ở đỉnh bằng $\alpha$. Tìm bán kính của quả cầu nội tiếp trong hình lục giác được tạo bởi những đường thẳng này.

Tùy chọn 4

(Khoa Sinh học và Cơ học)

1. Hai đường thẳng tứ giác bằng nhau được đặt trong không gian sao cho các đáy của chúng trùng nhau và các đỉnh của chúng nằm ở các cạnh đối diện của mặt phẳng chung của đáy. Biết cạnh đáy bằng $a$, góc phẳng ở đỉnh bằng $\alpha$. Tìm bán kính của quả cầu nội tiếp trong hình lục giác được tạo bởi những đường thẳng này.

2. Giải bất đẳng thức
   $$\sqrt{\frac{1+x}{1-x}} + \frac{\sqrt{1-x}}{2\sqrt{1+x}-1} \geq 0.$$

3. Giải phương trình
   $$\log_{g} x (2+4\cos^2 x) = 2.$$

4. Đối với một vòng tròn nội tiếp một tam giác có chu vi 18 cm, một tiếp tuyến được vẽ song song với đáy của tam giác. Đoạn tiếp tuyến giữa hai cạnh là 2 cm. Tìm đáy của hình tam giác.

5. Trong một hình chữ nhật tam giác đều, cạnh của đáy bằng $a$ và cạnh bên bằng $l$. Qua tâm của đáy, một mặt phẳng song song với một trong các cạnh của đáy và song song với cạnh đối diện. Tìm diện tích mặt cắt.

Vật lý

(Khoa Toán Cơ, Khoa Toán ứng dụng - Quy trình điều khiển, Khoa Vật lý)

1. Một viên đạn chì có khối lượng $m$ bay với tốc độ $v$, chạm vào vị trí ban đầu của một quả bóng chì có khối lượng $M$ và bị kẹt trong đó (cú đánh tình yêu). Hỏi tỉ số khối lượng của viên đạn và quả bóng sẽ nóng lên đến nhiệt độ cao nhất là bao nhiêu?

2. Đầu dưới của lá thang rất nhẹ được nối bằng dây. Tìm lực căng $T$ của nó khi người thợ điện có trọng lượng $P$ leo thang lên giữa thang. Sàn nhà hoàn toàn mịn màng. Mỗi mặt của lá tạo một góc $\alpha$ với sàn.

3. Trong một hộp có vách ngăn (Hình 1), có một mol khí lý tưởng đơn nguyên tử ở điều kiện bình thường. Ngay phía sau vách ngăn có một cái kẹp có pít-tông ở trạng thái tự do, nằm trong khoảng trống. Hệ số đàn hồi của lò xo $k$. Phân vùng được loại bỏ. Áp suất, nhiệt độ và thể tích sẽ được thiết lập như thế nào trong hệ thống nếu không có tương tác nhiệt với môi trường bên ngoài? Ở vị trí cân bằng mới, kẹp không bị nén đến mức hỏng. Diện tích pít-tông $S$. Có thể khẳng định nhiệt dung của piston.

4. $m \cdot e$ nước được đổ vào đĩa, đặt lên trên một chiếc cốc sưởi có thành mỏng, úp ngược. Nhiệt độ tuyệt đối $T_1$ (thấp nhất) phải làm nóng thủy tinh cùng với tác dụng trong đó, sao cho sau khi làm nguội đến nhiệt độ $T_0$ của không khí xung quanh, toàn bộ nước sẽ bị hút vào trong đó? Áp suất khí quyển $p_a$, diện tích mặt cắt ngang của kính $S$, chiều cao $h$, trọng lượng riêng của nước $d$. Thể tích nước đổ vào nhỏ hơn thể tích của cốc. Các hiện tượng bay hơi, sức căng bề mặt và giãn nở của kính được xét đến. Chiếc đĩa được coi là rộng nên chiều cao của nước đổ vào đĩa nhỏ.

5. Tìm công cơ do lực điện thực hiện khi xoay núm điều chỉnh của tụ điện biến thiên nối với pin bằng e. d.s. $E = 300$ c. Trong trường hợp này, công suất thay đổi từ $C_1 = 10$ mf thành $C_2 = 100$ mf.

6. Bằng cách chiếu ánh sáng vào một quả bóng kim loại, chúng ta quan sát thấy hiệu ứng ảnh. Đường viền màu đỏ của hiệu ứng quang điện sẽ thay đổi như thế nào nếu đặt một điện tích dương $q$ vào quả bóng? Bán kính của quả bóng là $R_0$. Phóng các electron đăng ký ở khoảng cách $R \gg R_0$ tính từ tâm quả bóng.

7. Hình 2 biểu diễn đường đi của tia ABC qua thấu kính. Vẽ đường đi của tia DE sau khi đi qua thấu kính.