Bài toán

65

Nhiệm vụ

1. Hình vuông ma thuật là một bảng vuông gồm các số nguyên dương trong đó tổng của các số; đứng ở mỗi cột, mỗi hàng và trên đường chéo đều bằng nhau. Bản thân tổng này được gọi là tổng bình phương kỳ diệu.

Chứng minh rằng tổng của bình phương kì diệu có kích thước $3 \times 3$ luôn chia hết cho 3.

2. Theo ý của bạn là một nam châm “thẳng” và một cây kim. Làm thế nào bạn có thể biết kim có bị nhiễm từ hay không?

3. Sasha và Olya lần lượt đặt các cây thánh giá và kệ trên các ô vuông có kích thước $9 \times 9$ của bàn cờ. Nước đi đầu tiên được thực hiện bởi Olya đến giữa bàn cờ. Sasha đi đến một trong 8 ô tự do bao quanh đường di chuyển của Olya, v.v. Bạn chỉ có thể đi đến các ô trống. Người chiến thắng là người đặt dấu hiệu của mình vào một trong bốn ô ở góc (hoặc đối thủ không còn nơi nào để đi). Chứng minh rằng Olya luôn có thể giành chiến thắng.

4. Hai quả bóng có cùng khối lượng - chì và thép - rơi từ cùng độ cao xuống cát. Cái nào sẽ nóng hơn?

5. Có một mảnh giấy. Nó có thể được xé thành 8 hoặc 12 mảnh, mỗi mảnh mới cũng có thể được xé thành 8 hoặc 12 mảnh hoặc để nguyên, v.v.

Có thể có được 60 miếng theo cách này? Chứng minh rằng bạn có thể lấy được số lượng bất kỳ, lớn hơn 60.

Nghệ sĩ E. Nazarov