Bài toán M271—M275; F283—F287

36

Bài toán

M271 — M275; F283 — F287

M271. Có thể sắp xếp các số 1, 2, 3,…, n theo thứ tự sao cho không có hai số nào bằng bất kỳ số nào đặt giữa chúng? (lớp 9, lớp 10)

A. I. Plotkin

M272. Cho hai đường tròn bán kính $R$ và $r$, chạm vào nhau từ bên ngoài. Nhiều hình thang khác nhau $ABCD$ được dựng sao cho mỗi hình tròn tiếp xúc với cả hai cạnh và một trong các đáy của hình thang. Tìm độ dài cạnh nhỏ nhất có thể $AB$. (9 lớp)

E. V. Sallinen

M273. Trên đoạn $0 \leq x \leq 1$, hàm $f$ được đưa ra. Được biết, hàm này không âm và $f(1) = 1$. Ngoài ra, với hai số bất kỳ $x_1$ và $x_2$ sao cho $x_1 \geq 0$, $x_2 \geq 0$ và $x_1 + x_2 \leq 1$, bất đẳng thức

$$f(x_1 + x_2) \geq f(x_1) + f(x_2).$$

a) Chứng minh rằng hàm số $f$ nào thỏa mãn điều kiện trên thì bất đẳng thức $f(x) \leq 2x$ sẽ thỏa mãn với mọi $x$.

6. Có đúng như vậy không mọi người $x$

$$f(x) \leq 1,9 \ x ?$$

(10 lớp)

A. V. Popov

M274. Tìm số nhỏ nhất có dạng

a) $|11^k - 5^l|$;

b) $|53^k - 37^l|$,

trong đó $k$ và $l$ là số tự nhiên.

F. G. Shleifer

37

M275* a) Trên mặt phẳng có các vectơ $n$, độ dài của mỗi vectơ bằng 1. Tổng của tất cả các vectơ $n$ bằng 0 vectơ bên trái. Chứng minh rằng các vectơ có thể được đánh số sao cho mọi $k = 1, 2, \dots, n$ đều thỏa mãn điều kiện sau: tổng các vectơ $k$ đầu tiên có độ dài tối đa là 3.

6. Chứng minh khẳng định tương tự cho vectơ $n$ có tổng bằng 0, mỗi vectơ có độ dài không vượt quá 1.

c) Số 3 trong bài toán a) có thể thay thế bằng số ít hơn không? Cố gắng buộc tội đánh giá cũng ở bài toán 6). (lớp 9, lớp 10)

M. L. Gerver

F283. Những quả bóng tích điện có cùng khối lượng, nằm cách nhau một khoảng $l$, được thả ra (không có tốc độ ban đầu). Sau $t$ giây, khoảng cách giữa họ tăng gấp đôi. Sau bao lâu thì khoảng cách giữa các quả bóng sẽ tăng gấp đôi nếu chúng được thả ra khỏi khoảng cách ban đầu $3l$? (9 lớp)

F284. Tìm gia tốc $a$ mà một tấm kim loại tròn rơi trong từ trường đều song song với bề mặt Trái đất. Tấm rơi thẳng đứng xuống dưới và mặt phẳng của nó được định hướng song song với từ trường và vuông góc với bề mặt Trái đất. Độ dày tấm $d$ nhỏ hơn nhiều so với bán kính $R$, khối lượng $m$, chỉ báo từ trường $B$, gia tốc rơi tự do $g$. (10 lớp)

F285. Trong một căn phòng không có hệ thống sưởi có một tủ lạnh có bộ điều nhiệt. Khi tủ lạnh được kết nối mạng, nhiệt độ bên ngoài, trong nhà và trong tủ lạnh là như nhau. Giả sử nhiệt độ bên ngoài không đổi, hãy vẽ đồ thị gần đúng về sự thay đổi nhiệt độ trong phòng