Задачи М271—М275; Ф283—Ф287

36

Задачи

M271 — М275; Ф283 — Ф287

M271. Можно ли расставить числа 1, 2, 3,…, n в таком порядке, чтобы ни для каких двух чисел их получим не равнялись ни одному из чисел, поставленных между ними? (9, 10 кл.)

A. И. Плоткин

M272. Даны две окружности радиусов $R$ и $r$, касающиеся внешним образом. Строятся различные трапеции $ABCD$ так, чтобы каждая из окружностей касалась обеих боковых сторон и одного из оснований трапеции. Найдите наименьшую возможность длину боковой стороны $AB$. (9 кл.)

E. В. Саллинен

M273. На отрезке $0 \leq x \leq 1$ задана функция $f$. Известно, что эта функция неотрицательна и $f(1) = 1$. Кроме того, для любых двух чисел $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_1 \geq 0$, $x_2 \geq 0$ и $x_1 + x_2 \leq 1$, выполнен неравенство

$$f(x_1 + x_2) \geq f(x_1) + f(x_2).$$

a) Доказите, что какова бы ни была функция $f$, удовлетворяющая перечисленным условиям, для всех $x$ будет выполнено неравенство $f(x) \leq 2x$.

6. Верно ли, что для всех $x$

$$f(x) \leq 1,9 \ x ?$$

(10 кл.)

A. В. Попов

M274. Найдите наименьшее число вида

a) $|11^k - 5^l|$;

b) $|53^k - 37^l|$,

где $k$ и $l$ — натуральные числа.

Ф. Г. Шлейфер

37

М275* a) На плоскости даны $n$ векторов, длина каждого из которых равна 1. Сумма всех $n$ векторов равна нулю влевому вектору. Доказите, что векторы можно занумеровать так, чтобы при всех $k = 1, 2, \dots, n$ выполнялось следующей условие: сумма первых $k$ векторов имеет длину не более 3.

6. Доказите аналогичное утверждение для $n$ векторов с суммой 0, длина каждого из которых не превышает 1.

в) Может ли заменить число 3 в задаче a) меньше? Постайтесь уличить оценку также в задаче 6). (9, 10 кл.)

М. Л. Гервер

Ф283. Заряженные шарики с одинаковой массой, расположенные на расстоянии $l$ друг от друга, отпустили (без начальной скорости). Через $t$ секунд расстояние между ними удвоилось. Через какое время удвоится расстояние между шариками, если их отпустить с начальной расстояния $3l$? (9 кл.)

Ф284. Найти ускорение $a$, с которой падает круглая металлическая пластинка в однородном магнитном поле, паралельном поверхности Земли. Пластинка падает вертикально вниз и ориентирована своей плоскостью паралельно магнитному полю и перpendикулярно поверхности Земли. Толщина пластинки $d$ много меньше ее радиуса $R$, масса $m$, индикция магнитного поля $B$, ускорение свободного падения $g$. (10 кл.)

Ф285. В неотапливаемом помещении работах холодильник с терморегулятором. В момент подключения холодильника к сети температура на улице, в помещении и в холодильнике была одна и та же. Считая температуру на улице постояной, изобразите приближение на графиках, как менялась температура в помещении