Уральский государственный университет им. А. М. Горького

50

Основания равна $a$.
2. Решить неравенство $\log_{0,5}(x+1) > \log_{2}(2-x)$.
3. Решить уравнение $\sin^4 x + \cos^4 x = \sin 2x - 0,5$.
4. Найти три числа, образующие геометрическую прогрессию, если известно, что их произведение равно 64, а их среднее арithmeticое равно $\frac{14}{3}$.

Вариант 6

1. В основании прямой прямой прямой равновобочная трапеция, диагонали которого перпендикулярны к соответствующим боковым сторонам. Ostрый угол между диагоналями трапеция равен $\alpha$. Отрезок прямой, соединяющий вершину при остром угле верхнего основания с центром окружности, описанной около нижнего основания, равен $l$ и образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найти объем прямых.
2. Решить уравнение
   $$\frac{6\cos^3 2x + 2\sin^3 2x}{3\cos 2x - \sin 2x} = \cos 4x$$.
3. Решить неравенство
   $$\frac{x^2 - 3x + 1}{|x^2 - 1|} > 1$$.
4. Решить систему уравнений
   $$\begin{cases} y - \log_3 x = 1, \\ x^y = 3^{12}. \end{cases}$$
   С. С. Белаяский

Уральский государственный университет им. А. М. Горького

В «Кванте» № 7 за 1973 год мы уже расказывали об Уральском ордена Трудового Красного Знамени государственном университете имени А. М. Горького. В этом номере мы приводим образцы вариантов письменного экзамена по математике и образцы билетов устного экзамена по физике на математикомеханическом и физическом факультетах в 1973 году.

Математика
Matematiko-mеханический факультет
Письменный экзамен по математике

Вариант 1

1. В сосуде имеется несколько одинаковых кранов, которые открывают один за другим через равные промежутки времени. Через 8 часов после того, как был включен последний краан, сосуд был заполен; при этом оказалось, что первый краан работал в 5 раз больше времени, чем последний. За сколько часов заполнится сосуд, если открыть все краны одновременно?
2. В конус вписан куб с ребром $a$ так, что одно его ребро лежит на диаметре основания конуса; вершины куба, не принадлежащие этому ребру, лежат на боковой поверхности конуса, а центр куба лежит на высоте конуса. Определить объем конуса.
3. Решить уравнение
   $$\cos^2 x \cdot \cos 2x + \cos 4x + \cos 3x \cdot \cos x + 2\cos^4 x = \frac{1}{2} \cos \frac{x}{2}$$
4. Данны значения $\lg 24 \approx 1,38021$ и $\lg 25 \approx 1,39794$. Определить без помощью таблицы, сколько нулей содержится после запятой до первого значений цифры в десятичной записи числа $\sin^{1000}\left(\frac{5\pi}{3}\right)$.

Вариант 2

1. Два рабочих разной квалифICATION выполнили за 3 часа, некоторую работу. Если бы первый рабочий начал работу на час работы, а второй на полчаса позже, то они закончили бы работы на 18 минут работы, чем в действительности. Если бы второй рабочий начал работу на час работы, а первый на полчаса позже, то первый рабочий заработал бы на 5 руб. 60 коп. меньше, чем на самом деле. Сколько заработал каждый рабочий в действительности?
2. В треугольной парамиде $SABC$ ребро $AB$ равно $a$, а все плоские углы трехгранных углов с вершинами в точках $A$ и $B$ равны $a$. Определить объем парамиды.
3. Найти решения уравнения
   $$\sqrt{1 - \cos x} + \sqrt{1 + \cos x} = 4\sin x$$
   лежащие в интеграле $(0, 2\pi)$.
4. Решить неравенство
   $$2^{-|x-2|}\log_2(4x-x^2-2) \ge 1$$

Дополнительные вопросы, предлагшиеся на устном экзамене по математике

1. Найти область определения функции $y = \tg \sqrt{6-x-x^2}$.
2. Построить график функции $y = \sqrt{\cos^2 x} \cdot \sin x + \sqrt{\sin^2 x} \cdot \cos x$.
3. Решить уравнение $\sqrt{x+1} - \sqrt{x} = a$.
4. Какое из чисел больше: $(\sqrt{2})^{v_3}$ или $(\sqrt{3})^{v_2}$?
5. Решить уравнение $2^{\sin 3x} = \frac{\sin x}{2}$.
6. Доказать неперiodичность функции $y = \cos x + \sin(x\sqrt{2})$.

51

7. Существует ли возможность геометрической прогрессия, у которой первые 7 членов — целые, а следующее — не целые?

8. Существует ли четырехугольная парамида, у которой две противоложные боковые грани перpendикулярны к основанию?

9. Можно ли плоскость пересекать пять ребер треугольной парамиды?

Физическая факультет
Письменный экзамен по математике

Вариант 3

1. В озеро впадают две реки, скорости течение которых одинаковы, на озере течение отсутствует. Пароход выходит из порта B, расположенного на первой реке, и пливет в порт A, расположенный у устяя реки, потратив на этот путь $2^{3/4}$ часа. Затем пароход пливет дальше из порта A через озеро в порт C на второй реке, затратив на этот путь 3,5 часа. На путь из C в A пароход трапит 3 часа. Сколько времени потребуется пароходу, чтобы поднять вверх по первой реке из порт A в порт B, если известно, что порт A расположен посередине между портами B и C?

2. В равноведренном треугольнике с углом при основании, равным $\alpha$, высота, опущенная на основание, больше радиуса вписанного круга на $m$. Определить радиус описанного круга.

3. Решить уравнение
   $(\cos 2x)^2 \cos 3x + 4 \cos x - 1 = \sec 2x$.

4. Для каждого вещественного $a$ решить неравенство
   $$\sqrt{2ax - x^2} \geq a - x.$$

Вариант 4

1. Оdnому буксиру нужно перевести за наименьшее время два pontona виз по реке на $l$ км. Было решение, что один pontон будет отправлен по течение реки самостояльно, а другой будет некоторое время транспортироваться буксиром, после чего буксир оставит его, вернется за первым pontоном и отбукирует его до конечного пункта. Сколько времени потребуется на транспортировку буксиром второго pontона, если к конечному пункту оба pontона пришли одновременно и если собственная скорость буксира $v$ км/ч, а скорость течение реки $u$ км/ч?

2. Высота правльной треугольной парамиды равна $h$, а расстояние от основания высоты до бокового ребра равна $a$. Определить двугранный угол между боковым граями парамиды.

3. Решить систему уравнений
   $$\begin{cases} \frac{1}{x+y} + \frac{1}{x+z} = \frac{7}{12}, \\ \frac{1}{x+y} + \frac{1}{y+z} = \frac{8}{15}, \\ \frac{1}{y+z} + \frac{1}{x+z} = \frac{9}{20}. \end{cases}$$

4. Доказать, что для всех значений $x$, при которых левая часть имеет смысл, справедливо неравенство
   $(\text{ctg}^2 x - 1) (3 \text{ctg}^2 x - 1) \times (\text{ctg} 3x \cdot \text{tg} 2x - 1) \leq -1.$

Физика

Matematiko-механический факультет

Билет 1

1. Третий закон Ньютона. Устройство реактивного движения.

2. Разложение белого света призмой. Спектр. Невидимые области спектра. Устройство спектроскопа. Понятие о спектральном анализе.

3. К аккумулятору с внутренним сопротивлением 1Om подключена проволока сопротивлением 4Om, а затем параллельно ей еще одна такая же. Во сколько раз изменится количество теплоты, выделяющейся в первой проволоке, после подключения второй?

Билет 2

1. Гармоническая колбательное движение. Перiod и частота колбатей. Математическая матрик и период его колбатей.

2. Строение ядра atoma. Деление ядра урана. Выделение энергии при делении тяжелых ядр.

3. За какое время тело сокользет с наклонной плоскости с углом $\beta$, если по наклонной плоскости с углом $\alpha$ оно движется вниз равномерно ($\beta > \alpha$)?

Билет 3

1. Понятие о волновой и квантовой природа света.

2. Электрическая колбательный контур. Превращение энергии в колбательном контуре. Связ перiodа колбатей контура с его индуктивностью и emкостью.

3. Открытия с двух стороны погружена в руть. Верхнее отверстие закрывают пальцем и трубку вынимают из рутины, при этом в ней остается столь ртути высотой $h = 22$ см. Определить внешнее атмосферное давление, если длина трубки $L = 80$ см.

Билет 4

1. Механическая работа. Единица измерения работы. Мощность, единицы ее измерения.

2. Электрическая явления в вакууме. Явление термозлектронной эмиссии. Электронно-лучевая трубка.

3. Два точных зарядов величины $q = 3,4$ ед. заряда СГСЭ находится на расстоянии 17 см. С какой силой и в каком направлении они действуют на единичный положительный заряд, находящейся на расстоянии 17 см от каждой из них?

53

В течение всего года занимающимся на курсах высылаются задания и специальные подготовительные материалы. В июле слушатели курсов вызываются в Москве для очень занятый.

Ниже приведятся варианты письменного экзамена по математике и задачи устного экзамена по физике на математический и физический факультеты МГПИ им. В. И. Ленина в 1973 году.

Математическая факультет

Вариант 1

1. Решить неравенство
   $$\log_{x^2-3}8 < -3.$$
2. Найти все решения уравнения
   $$\sqrt{1-\sin 2x} = \sin 3x + \cos 3x$$
   удовлетворюшение условия $\frac{3}{2}\pi \leq x \leq 2\pi$.
3. Через вершину основания правильно треугольной парамиды под углом $\alpha$ к нему проведено сечение, параллельное противоложшей стороне основания и перpendикулярное к противоложшей боковой грани. Определить объем парамиды, зная ее апофему $a$.
4. От пристини $A$ одновременно отправились вниз по течению катер и плот. Катер спустился вниз по течению на 96 км, затем повернул обратно и вернулся в А через 14 часов. Найти скорость катера в стоячей воде и скорость течения, если известно, чтокатер встретил плот на обратном пути на расстоянии 24 км от А.

Вариант 2

1. Решить неравенство
   $$\log_{5}\frac{x+7}{16-2x} > \log_{5}x.$$
2. Найти все решения уравнения
   $$\text{ctg}x - \text{tg}x = \frac{2\sqrt{3}\cos 2x}{1+\cos 2x},$$
   удовлетворюшение условия $|x| < \pi$.
3. Основанием парамиды служит равноведенный треугольник, равные стороны которого имеют длину $a$. Соответствие им боковые грани перpendикулярны к плоскости основания и образуют между собой угол $\alpha$. Угол между треугольником боковой грани и плоскостью основания также равен $\alpha$. Определить объем парамиды.
4. Два поезда отправляются одновременно из пунктов $A$ и $B$ на встречу друг друга. Скорость первого поезда на 10 км/ч больше скорости второго. Оба поезда встречаются на расстоянии 28 км от середины $AB$. Если бы первый поезда отправился из пункта $A$ на 45 мин позже второго, то оба поезда встретились бы на середине $AB$. Найти расстояние $AB$ и скорости обихх поездов.

Физический факультет

Вариант 1

1. В основании прямой треугольной признамы лежит равноведенный треугольник $ABC$, у которого стороны $AB = BC = a$ и угол $A$ равен $\alpha$. Через сторону $AC$ проведена плоскость под углом $\varphi\left(\varphi < \frac{\pi}{2}\right)$ к основанию. Найти площадсе сечение, если известно, что в сечении получился треугольник.

2. Найти четые числа, составляющие геометрическую прогрессию, так, что сумма крайних членов равна 35, а сумма средних 30.

3. Решить уравнение:
   $$\sin^2x - \sqrt{3}\sin x \cos x = 0.$$

4. Решить уравнение:
   $$\frac{2^{2x+1}-9}{4} + \frac{2}{4^{x+\frac{1}{2}}} = 0.$$
   Вариант 2

5. Основанием парамиды служит равноведенный треугольник, у которого боковая сторона равна $a$, а угол при вершине равен $\alpha$. Все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом $\beta$. Найти объем парамиды.

6. Вычислить:
   $$\sqrt{3\sqrt{5\sqrt{3}\sqrt{5}}} \dots$$

7. Решить уравнение:
   $$\cos 2x + \cos x + 1 = 0.$$

8. Решить уравнение:
   $$\frac{\log_5(2x+3)}{1-\log_5(2x+3)} + \frac{3}{5-\log_5(2x+3)} = 0.$$
   Вариант 3

9. Определить объем парамиды, основанием которого является прямой треугольник с острым углом $\alpha$. Ребра наклонены к плоскости основания под углом $\beta$ и равны $b$.

10. Написать арифметическую прогрессию, первая член которого равен 1, причем сумма первых пятей членов равна $1/4$ суммы следующих пятей членов.

11. Решить уравнение:
    $$4\sin^2x + 3\cos^2x = 6,5\sin 2x.$$

12. Решить уравнение:
    $$\frac{\log_2(3x-1)}{1+\log_2(3x-1)} = \frac{2}{3+\log_2(3x-1)}$$.