Как физики определяют кривизну параболы

21

М.А.ГРАБОВСКИЙ

КАК ФИЗИКИ ОПРЕДЕЛЯНОТ КРИВИЗНУ ПАРАБОЛЫ

Рассмотрим движение под действием силы тяжести тела (материальной точки массы $m$), которое в начальной момент сообщена горизонтальная скорость, равная $v_0$. Выберем систему отчета, связанную с Землей. Относительно этой системы отчета тела участует в двух движениях — горизонтальном (вдоль оси $x$) и вертикальном (вдоль оси $y$). Уравнение движения тела по горизонтали

$$x = v_0 t,$$
(1)

по вертикали —

$$y = \frac{gt^2}{2}.$$

Суммарное движение тела проинсходит по кривой, которое нетрудно определить, установив зависимости между координатами $x$ и $y$ различных точек траектории тела. Для этого из уравнения (1) и (2) выразим $y$ через $x$. Получим

$$y = \frac{gt^2}{2} = \frac{gx^2}{2v_0^2}.$$

Уравнение (3) выражает зависимость между координатами $x$ и $y$ всех точек кривойнейной траектории, описанной брошенным телом.

Известно, что камень, брошенный горизонтально с крыши высокого здания или высокого объема, движется по кривой, которая называется параболой. Траектория камня во время полета искривляется, отклоняясь от прямолинейного горизонтального движения. Степень искривления может быть большей или меньше в зависимости от начальной скорости. Можно ли как-нибуд оценить степень искривления траектории? Для этого пользоваться понятным кривизны кривой.

22

Что такое кривизна плоской кривой линни?

Рассмотрим этот вопрос на примере параболы, описанной телом, большинством горизонтальной с некоторой высоты с начальной горизонтальной скоростью $v_0$ (см. схематический рисунок). «Достроим» левую часть параболы, которая могла бы быть описана телом, если бы ему сообщили начальное горизонтальное скорость в противоположном направлении ($-v_0$). Эта часть параболы на рисунке вычерена пунктиром. Выделим у вершины параболы (точка $M$, координаты которого (0, 0)) небольшую дуг $AMB$ такую, чтобы середина дуги совпадала с вершиной параболы. Теперь подберем окружность такого радиуса, чтобы она прошла через три точки дуги $AMB$, то есть через середину дуги и ее концы. Это можно сделать, так как известно, что через три точки, не лежащие на одной прямой, всегда можно проверить окружность иритом только одну. Обратная величины радиуса полученной окружности $1/R$ определяют приближение значения кривизны параболы в ее вершине. Это приближение будет тем точнее, чем меньше длина дуги $AMB$. Кривизна в точке и определяется величины, обратной радиусу этой «предельной» окружности.

Теперь определяем кривизну параболы в произвольной точке $M_1$. Для этого выделим необольшую дуг параболы $A_1M_1B_1$ такую, чтобы точка $M_1$ была серединой этой дуги. Вновь будем подбрать окружность такого радиуса, чтобы она прошла через точки $A_1$, $M_1$ и $B_1$. Эта окружность большего радиуса, чем в первом случае ($R_1 > R$). Кривизна параболы в точке $M_1$ приближенного равна $1/R_1$. Таким же образом можно определить кривизну параболы в любой ее точке. Следовательно, парабoly можно рассматривать как кривую линию, состоящую из бесконечного большого числа бесконечного малых дуг убывающей кривизны, по которым движется тело.

Радиус кривизны любой плоской кривой находится с помощью дифференциального исчисления. Что же касается кривизны параболы — траектории движения тела, точнее, его центра тяжестки под влиянием прияжения к земле, то ее можно определить, пользоваться сведениями из механики.

Итак, в какой-то момент времени $t$ тело находится в точке $M_1$ параболы (см. рис.). На тело во время его движения действует только сила жекстии *). Сила жекстии сообщает всем телам одинаковоеускорение, направленное по вертикали вниз и равное $g$. Ускорение силы жекстии $g$ можно разложить на две составляющие: $g \sin \alpha$ — направленная по касательной, то есть по направлению суммарной скорости тела $v$ в данной момент времени $t$ (тангенциальная) составляющая, и $g \cos \alpha$ — нормальная (центрстремительная) составляющая, где $\alpha$ — угол, образованный начальной скоростью $v_0$ и касательной скоростью $v_1$ в точке $M_1$. По мере продвижения тела по параболе разложение постоянногоускорения $g$ на составляющие будет проискодить по-разному, так как угол $\alpha$ возрастает от нуля до $\pi/2$. Тангенциальная составляющаяускорения по мере продвижения тела по параболе будет увеличивать а нормальная — уменьшаться.

Определим значение центристремительной составляющейускорения тела в момент времени $t$ при движении его по бесконечному малой дуг радиуса $R_1$:

$$a_{\text{ис}} = \frac{v_1^2}{R_1}, \text{ или } g \cos \alpha = \frac{v_1^2}{R_1},$$

но так как $v_1 = \frac{v_0}{\cos \alpha}$, то

$$g \cos \alpha = \frac{v_0^2}{R_1 \cos^2 \alpha}.$$

*) Предполагается, что высота, с которой брошено тело, не очень велика, так что не следует учитывать изменение $g$.

23

Отсюда радиус кривизны параболы в точке $M_1$
$$R_1 = \frac{v_0^2}{g \cos^3 \alpha}.$$

Итак, радиус кривизны в любой точке параболы определяется величины квадрата скорости $v_0$ и величины куба косинуса угла $\alpha$, образованного векторами начальной скорости $v_0$ и полной скорости $v$. Радиус кривизны параболы уvelичивается (кривизна ее уменшается) по мере продвижения по ней леташего тела.

Теперь, пользовая формулой (4), определяем радиус кривизны в вершине параболы. В этом случае угол $\alpha$ равен нулю, так как $v_0$ совпадает с $v$. Значит, $R = \frac{v_0^2}{g}$.

Этот же результат можно было получить сразу. В начальной момент движения тела испытывает только центростремительное ускорение
$$g = \frac{v_0^2}{R}.$$

Найдем радиус кривизны параболы в близости точек парабия тела, где скорость, касательная к траектории движения, направлена почти отвесно. В этом случае $R = \frac{v_0^2}{g \cos^3 \alpha} \rightarrow \infty$, так как $\alpha \rightarrow \frac{\pi}{2}$, а $\cos \alpha \rightarrow 0$. Отметим, что теперь ускорение силы тяжести направлено почти по касательной к траектории, а роль центростремительного ускорения свелась к нулю.

Найдем теперь радиус кривизны в такой точке $M_2$ параболы, где касательная скорость $v_2$ в два раза больше начальной скорости $v_0$:
$$R_2 = \frac{v_0^2}{g \cos^3 \alpha} = \frac{v_0^2}{g} \frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^3} = \frac{8v_0^2}{g},$$

так как угол $\alpha = 60^\circ$.

Можно решать и задачи другого типа. Например, задав координаты точки, определять радиус кривизны параболы в этой точке.

Вращение, которое нет

(Окончание. Начало см. c. 12)

боскопических аппаратах. Если часть засечивающихся импульсов (при инвервалме между имплусами менее 0,1 с) в точности равна частоте исследуемого периодического процесса, то глаз исследования видит одну «застывшую» стадию этого периодического процесса. Стало быть, зафиксировав в таком эксперименте неподвижную картину, можно, зная частоту вспышек, установить частоту исследуемого процесса. Точность современных строкослов порядка 0,001%.

Вторая возможность, реализованная в нашем забавном примере, на самом деле имеет значительное больше сердезные примения. На этом принципие работыют современный кинематограф и телевидение.

Диск с прорезями (обтиратор) вращается перед объективом кинопроскинного аппарата. Затемния на экране необходимы, чтобы скрыть продергивание кадров фильма. Общий кадр сменяются 24 раза в секунду (обтиратор прерывает свет вдвое чаше), а угловые перемещения движенияся на экране тел не прерывают 0,03 рад/с относительно зрителя. При этих условиях наблюдается знакомая всем картина непрерывного движения объекта на экране.

Электронный луч телевизонной трубки пробгает строка за строкой все поле экрана и возвращается в исходное положение за время, созмеренное с так называемой критической частотой мелкання (50—60 $2\mu$), при которой глаз в силу инерции зрения не отличает прерывatorio изменения яркости от непрерывного.

Л. Верес