Белорусский государственный университет им. В. И. Ленина

49

Белорусский государственный университет им. В. И. Ленина

Ниже мы помещаем варианты вступительного письменного экзамена по математике, предлагавшие поступившим на факультеты физико-математического профили Белорусского государственного университета в 1973 году.

Mathematical факультет
Вариант 1

1. Внутри окружности радиуса $R$ расположены четырьмя равных окружности меньше радиуса. Каждый из них касается большей окружности и двух равных ей соседних. Вычислить площадь фигуры, ограниченной всеми равными окружностями.

2. Варифметический прогресси $a_m = n$, $a_n = m (m \neq n)$. Найти $a_p$.

3. Решить неравенство
   $$|x|^{x^2-x-2} < 1.$$

4. Найти значения $x$ в промежутке $[-2\pi, \pi]$, при которых функция $f(x) = \sin x - \cos x$ имеет наименьшее значение. Вариант 2

5. В треугольной парамиде все шесть ребер одинаковы. Найти расстояние от центра основания до боковых граней, если радиус висиного шара равен $R$.

6. Упростить выражение
   $$\frac{\sqrt{(a+x)(x+b)} + \sqrt{(a-x)(x-b)}}{\sqrt{(a+x)(x+b)} - \sqrt{(a-x)(x-b)}},$$
   если $x = \sqrt{ab}$, $a > b > 0$.

7. Решить уравнение
   $$\sin^2 x + \sin^2 2x = 1.$$

8. В треугольнике $ABC$ проведена bicсетриса $AD$. Доказать, что если $AB + BD = AC + CD$, то треугольник $ABC$ равноведенный.

Факультет прикладной математики
Вариант 3

1. Отношение периметра паралелограмма к его большей диагонали равно $k$, $k > 2$. Найти углы паралелограмма, если известно, что большая диагональ делит угол паралелограмма в отношении 1:2.

2. Найти два натуральных числа, разность которых 66, а наименьшее общее кратное 360.

3. Определить, при каких значениях $a$ уравнение
   $$2 \lg (x+3) = \lg (ax)$$
   имеет единственный корень. Найти этот корень.

4. Привести к виду, удобному для логарифмирования,
   $$\sin 2\alpha + \cos 4\alpha - \sin 6\alpha.$$

Вариант 4

1. Отношение объема шара, вписанного в конус, к объему шара, описанного около этого конуса, равно $k$, где $0 < k < 1/8$. Найти угл между образующей конуса и плоскостью его осиования.

2. Два моториклеста отправляются одновременно настречну друг другу из пунктов $A$ и $B$, расстояние между которых 660 км. В то время, как первый проходит 250 км, второй проходит 200 км. Найти скорость движения моториклестов, считая их движение равномерным, если первый моториклест приходит в $B$ на 3 часа раныше, чем второй в $A$.

3. Решить уравнение
   $$-2 + 4 \cos^2 x = \cos x + \sqrt{3} \sin x.$$

4. Решить неравенство
   $$\frac{|x+2| - x}{\sqrt{4-x^3}} > 0.$$

Физический факультет
Вариант 5

1. В правильной треугольной признаме плоскость, проведенная через центр основания и центры симметричных двух боковых граней, составляет с плоскостью основания острый угол $α$. Найти площадь сечения, образованного этой плоскостью, если сторона