Московский областной педагогический институт им. Н. К. Крупской

54

l=3 m. Какова высота h, на котором можно отклонить листру, чтобы при последующих качаниях цель не оборвалась? Разрыв цепи насупает при натяжении Fₙ = 1360 h.

2. Два груза массой 5 и 3 кг подвешены к концам нити, перекиниутой через блок. Меныший груз находится на 1 м ниже больше. Если представить грузам двигается под действием силы тяжести, то через сколько времени они будут на одинаковой высоте? Треннее не учитывать.

3. Найти силу тягги, развиваемуюмотром автоматила, движущегося в гору сускорением 1 m/c². Уклон горы равен 1 m на каждые 20 m пути. Масса автоматила равна 900 kg, коэффициент треня колес о дорогу 0,1.

4. Санки весом 60 н скатывают с горы, которая образует с горизонтом угол 30°. Пройдя по склону 40 м, санки развивают скорость 3,6 m/c. Вычислить количество теллоты, выделенной при трении полозево снг.

5. Свиñцовая пуля, летающая со скоростью v₁ = 400 m/c, пробивает dockу, следствие чего скорость пули уменьшается до v₂ = 200 m/c. Температура пули в момент удара 30° С. Какая часть массы пули расплавает, если считать, что на нагрев пули расходуется 80% энергии?

6. В сосуде находится воздух при нормальных условиях. Сосуд закрыт поршнем, площадь которого S = 1 cm², а масса m = 1,5 kg. До какой температуры надо нагреть воздух, чтобы он приподнял поршень? Расширение сосуда при нагревании не учитывать.

7. В сосуде нагревают 1 л воды и 50 e льда. Начальная температура 0 °C. Сколько времени потребуется, чтобы вода закипела, если мощность нагревателя 500 bm, его k. п. д. 60%?

8. Резиновый шар содержит 2 л воздуха, находщегося при температуре 20 °C под атмосферным давлением 760 mm рм. cm. Какой объем займет воздух, если шар будет опущен в воду на глубину 10 m? Температура воды 4° С.

9. Электровоз движется со скоростью 45 km/ч и развивает в среднем силу тягги 4000 н. Определить, какой силы ток потребляет движатель электровоза, если направление на зажимах 500 bm. K. п. д. равен 96%.

10. Электрический чайник с 600 cm³ воды при 18 °C, сопротивление обмотки которой при накапле 20 om, забыли выключить. Через сколько времени после включения все вода выкипит? Напряжение сети 220 b, к. п. д. чайника 60%.

11. Какое количество электрозергини расходуется на получение 1 кelюминия, если электролиз ведется при напряжении 10 б, коэффициент полезного действия всего 80%. Атомный вес алюминия 27.

12. В фокусе двояковыпуклой линзы с фокусным расстоянием F = 30 cm перпендикулярно к оптической оси установлен плоское зеркало. С другой стороны лины на расстоянии 45 cm от нее находится светящийся предмет. Где и какое получится изображение этого предмета?

13. Длина волны желтых лучей в воздухе 580 ммк. Какова длина волны их в воде?

С. Е. Каменецкий, В. И. Крупич, Н. Е. Парфентьева, Л. П. Постминкова, М. М. Чернецов, Г. А. Шадрин

Московский областной педагогический институт им. Н. К. Крупской

МОПИ был организован в 1931 году на базе педагогического техническа имен Профинтирана, наавшшего свою работу в 1922 году. В институте имеется 8 факультетов: математический, физический, литературный, естественно-географический, исторический, физический воспитания, романо-германских языков, англичского языка, а также факультет повышения квалификации преподавателей педагогов РСФСР, подготовительное отделение на правах факультета, аспирантура и другие учебные подразделения. Институт готовит специалистов широкого и узкого профиля для работы в средней школе по новым программам.

Математический факультет готовит учтелей математики для средней школе. На кафедрах факультета ведется подготовка аспирантов по специальности: теория функций и функционирования анализа, методика преподавания математики, геометрия и monoidения, алgebra и теория чисел.

Физический факультет готовит учтелей физики, учтелей физики на французском или английском языке и учтелей общехимических дисциплин (со второй специальностью — учтель черченя). На факультете имеется аспирантура по специальности: экспериментальная физика, теоретическая физика и методика преподавания физики.

Подготовительное отделение института, работающее на правах факультета, ведет подготовку с отрывом от произвольства по следующим специальностям: математика (матфак), физика (физфак), история (истфак), биология и химия (естфак), англичский язык (инфак), русский язык и литература (литфак). На подготовительное отделение (по результатам собеседования) принимаются передовые рабочие и колхоз-

55

НИКИ, ИМЕОЩИЕ НЕПЕРЫВНЫЙ СТАЖ РАБОТЫ НЕ МЕНЕЕ ОДНОГО ГОДА, — ПО НАПРАВЛЕНИЯМ ПРОМЫШЛЕННЫХ ПРЕДПРИЯТИЙ, СТРОЕК, ОРГанизация Транспорта И СВЯЗИ, ГЕОЛОГРАЗВЕДОЧНЫХ Организаций, КОЛХОЗОВ И СОВХОЗОВ, А ТАКЖЕ ДЕМОБЛИЗОВАННЫЕ ИЗ РЯДОВ СОВЕТСКОЙ АРМИИ ОТЛИЧНИКИ БОЕВОЙ И ПОЛИТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКИ — ПО НАПРАВЛЕНИЮ КОМАНДОВАНИЯ ВОИНСКИХ ЧАСТЕЙ. СЛУШАТЕЛИ ПОДГОТОВИТЬНОГО ОТДЕЛЕНИЯ ПОЛЬЗУЮТСЯ ПРАВМИ СТУДЕНТОВ ПЕРВОГО КУРСА — ОБЕСПЕЧВАЮТСЯ ОБЩЕЖИТНИМ, ПОЛУЧАЮТ СТИПЕНДИЮ. Срок обучения на подготовительном отделении — 8 месяцев; по окончании обучения сущателя сдают выпускные экземены. Слушатели, получившие на выпускных экземенах положительные оценки, зачисляются на первые курсы соответствующих факультетов дневного отделения института без сданий вступительных экземенов.

Ниже приведятся образцы вариантов письменного вступительного экзамена по математике и задачи устного экзамена по физике в МОПИ имени Н. К. Крупской в 1973 году.

Математическая факультет

Вариант 1

1. Упростить выражение $(a \neq 0)$:
   $$A = \frac{a^2 + 4}{a \sqrt{(a^2 - 4)^2 / 4a^2} + 4}.$$

2. Решить неравенство
   $$\frac{\lg(x^2 - 1)}{\lg(1 - x)} < 1.$$

3. Около кругга радиуса $R$ описана трапеция с острыми углами $\alpha$ и $\beta$ при большем основании. Найти площадь этой трапеции.

4. Если натуральное число имеет вид $2m^2 + n^2$, то квадрат этого числа может быть представлен в виде $2a^2 + b^2$, где $a, b, m, n$ — не равные между собой натуральные числа. Доказать.

Вариант 2

1. Упростить выражение:
   $$A = \frac{\sqrt{(b + 2)^2 - 8b}}{1 \sqrt{b} - \frac{2}{1 \sqrt{b}}}.$$

$(b \neq 0, b \neq 2)$ и вычислить его значение при $b = 0,0025$.

2. Решить неравенство
   $$\frac{\lg(x^2 - 6x + 8)}{\lg(x - 8)} > 1.$$

3. Отношение площади прямоугольного треугольника к площади квадрата, построенного на его гипотенуze, равно $k$. Найти сумму тенгесов острых углов треугольника.

4. Цифры четырехзначного числа — последовательные, возрастшие числа натуральной последовательности чисел. Найти разность между числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, и данным числом.

Физическая факультет

Специальность «физика»
Вариант 3

1. Решить уравнение
   $$\frac{x + 2}{x + 1} = \frac{12}{x - 2} + \frac{18x}{(x + 1)(2 - x)}.$$

2. Решить уравнение
   $$\sin x + \sqrt{3}\cos x = 1.$$

3. Меншее основание равноведренной трапеции равно высоте и равно $h$. Острый угол трапеции равен $\alpha$. Найти периметр трапеции.

4. Из пункта $A$ в пункт $B$ со скоростью 5 км/ч двигался пешекод. Велосипедист, отправившийся одновременно с пешекодом из $B$ в $A$, встретился с ним через 1 час 12 минут. Прибив в пункт $A$, велосипедист повернул обратно и догнал пешекод в 20 км от пункта $B$. Найти расстояние $AB$ и скорость движения вLOCИПЕДСТА.

Вариант 4

1. Решить уравнение
   $$\frac{2y - 1}{14y^2 + 7y} + \frac{8}{12y^2 - 3} = \frac{2y + 1}{6y^2 - 3y}.$$

2. Решить уравнение
   $$\sin^4 x + \cos^4 x = \frac{5}{8}.$$

3. В трапеции, основания которой равны $a$ и $b$, через точку пересечения диагоналей проводена прямая, параллельная основанием. Найти длину отрезка этой прямой, заключенного между сторонами трапеции.

4. Отправляясь в путешествие, турист расчётывает истратить в дороге 72 руб. В течение первых 5 дней его расходы совпадали в с расчётными, а затем он стал расходовать в среднем на 1 руб. больше начеченного ejedневно. Задержавшись к тому же в пути на 1 день, он вернулся домой, истратив на путешествие на 23 руб. больше, чем начечал. Сколько дней этот турист в дороге?

Специальность «физика на французском (или английском) языке»

Вариант 5

1. Решить уравнение
   $$\frac{x + 9}{x^2 - 3x - 10} - \frac{x + 15}{x^2 - 25} = \frac{1}{x + 2}.$$

2. Решить уравнение
   $$\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin 5x.$$

3. Из точки $A$, отстоящей от плоскости на расстояние $a$, опущен на плоскость пер-