Tốc độ ánh sáng và phép đo của nó

2

TỐC ĐỘ ÁNH SÁNG
VÀ KÍCH THƯỚC CỦA NÓ

A. V. Eleukiy

Nhiều định luật vật lý hiện đại lấy tốc độ ánh sáng c làm tham số. Đại lượng này được đưa vào phương trình của trường điện từ; tổng năng lượng của chất, mức năng lượng của các electron trong nguyên tử, v.v. đều được thể hiện thông qua nó.

Cùng với các hằng số khác, chẳng hạn như điện tích electron và hằng số hấp dẫn, tốc độ ánh sáng là một trong những hằng số vật lý cơ bản. Rõ ràng là độ chính xác của các định luật vật lý được xác định bởi độ chính xác mà giá trị của các hằng số tương ứng đã biết, cách duy nhất để xác định đó là thử nghiệm.

Nguyên lý đo tốc độ ánh sáng, ý tưởng lần đầu tiên được đề xuất bởi Galileo, dựa trên việc đo thời gian cần thiết để tín hiệu ánh sáng truyền đi một khoảng cách nhất định. Sự phát triển của phương pháp này - từ các quan sát thiên văn của Römer đến các phép đo giao thoa kế đồ chạm khắc của Michelson - đã được mô tả chi tiết trong tạp chí của chúng tôi *). Theo các phép đo loại này, tốc độ ánh sáng được coi là 299.792,6 ± 0,25 km/s. Lưu ý rằng độ chính xác tương đối nhất đạt được khi đo tốc độ ánh sáng bằng phương pháp này đạt được vào những năm 50 của thế kỷ chúng ta và là khoảng một phần thập phân của một phần trăm, hay 10⁻⁸.

Chúng ta hãy nhớ lại rằng bất kỳ phép đo nào cũng có thể được đặc trưng bởi sai số tương đối và tuyệt đối. Sai số tuyệt đối là khả năng sai lệch của kết quả đo so với giá trị chính xác của giá trị đo được. Độ lệch như vậy có thể là do sự không hoàn hảo của dụng cụ đo hoặc quá trình đo và phải luôn được đánh giá trước. Sai số đo tương đối là tỷ lệ giữa sai số tuyệt đối với chính giá trị đo được. Mặc dù người ta đánh giá trước rằng khi thực hiện các phép đo chính xác cần phải giảm cả sai số tuyệt đối và sai số tương đối, nhưng trong hầu hết các trường hợp, đặc điểm quan trọng nhất của độ chính xác của phép đo là sai số tương đối. Trên thực tế, phép đo được tính từ Trái đất đến Lunya với sai số tuyệt đối ±1 m luôn là phép đo chính xác và phép đo có cùng sai số tuyệt đối về kích thước của căn phòng chỉ là ước tính sơ bộ. Điều này sẽ trở nên rõ ràng ngay lập tức nếu chúng tôi chỉ ra rằng trong trường hợp đầu tiên, sai số tương đối là 10⁻⁸ và trong trường hợp thứ hai - 10⁻¹.

Việc tăng thêm độ chính xác của phép đo tốc độ ánh sáng bằng phương pháp giao thoa gặp phải những khó khăn cơ bản. Khoảng cách mà chúng ta có thể đo với độ chính xác cao (khoảng cách này có thể so sánh với tiêu chuẩn độ dài -

*) Xem bài viết của V. Vintsky “Đo tốc độ ánh sáng”, «Kvant», 1972, số 2.

3

mét), ánh sáng truyền đi trong những khoảng thời gian cực ngắn, vào cỡ $10^{-8}с$. Khi đo những khoảng thời gian như vậy sẽ xảy ra lỗi đáng kể. Mặt khác, thời gian ánh sáng cần để truyền đi những khoảng cách xa (chẳng hạn như trên 10 km) có thể được ghi lại khá chính xác, nhưng sẽ tích lũy sai số đáng kể khi tự đo khoảng cách đó bằng tiêu chuẩn độ dài. Trong trường hợp này, phương pháp quang học được sử dụng để đo khoảng cách lớn, nhưng để sử dụng nó cần phải biết trước tốc độ ánh sáng. Hóa ra là một vòng luẩn quẩn.

Người ta đã có thể giải quyết mâu thuẫn này trong những năm gần đây, khi trên thực tế người ta có thể sử dụng một nguyên lý khác để đo tốc độ ánh sáng, dựa trên thực tế là bước sóng λ và tần số ν của sóng điện từ trong chân không có liên hệ với nhau bởi mối quan hệ cơ bản

$$c=\lambda\nu. \quad (1)$$

Bằng cách đo bước sóng và tần số của cùng một bức xạ điện từ một cách độc lập, chúng ta có thể nhân các đại lượng này một cách đơn giản để thu được tốc độ ánh sáng. Độ chính xác của thí nghiệm như vậy sẽ rất cao nếu chúng ta có thể đáp ứng đồng thời hai yêu cầu.

Đầu tiên, chúng ta phải có khả năng đo bước sóng và tần số của sóng điện từ với độ chính xác cao.

Thứ hai, tần số dao động của bức xạ điện từ mà chúng ta sắp thử nghiệm phải được duy trì càng không đổi càng tốt.

Từ hệ thức (1), suy ra rằng đối với sóng điện từ, mức độ bất ổn tương đối của tần số và bước sóng trùng nhau.

Thật ra, giả sử tần số của sóng điện từ ν thay đổi một lượng nhỏ δν ≪ ν. Điều này sẽ kéo theo sự thay đổi bước sóng một lượng δλ, do đó

1*

đưa giá trị mới của tần số ν + δν về giá trị mới của bước sóng λ + δλ vẫn phải bằng tốc độ ánh sáng c. Giải phương trình (1), viết cho trường hợp này, đối với δλ ta thu được

$$\delta\lambda = \frac{c}{\nu+\delta\nu} - \lambda = \frac{c}{\nu+\delta\nu} - \frac{c}{\nu} =$$

$$= -\frac{c\delta\nu}{\nu(\nu+\delta\nu)} = -\lambda\frac{\delta\nu}{\nu+\delta\nu}$$

Từ đây

$$\frac{\delta\lambda}{\lambda} = -\frac{\delta\nu}{\nu+\delta\nu} \approx -\frac{\delta\nu}{\nu},$$

vì δν ≪ ν. Do đó, sự thiếu chính xác tương đối trong các giá trị tần số và bước sóng trái dấu nhau và bằng nhau về độ lớn.

Vì vậy, nếu chúng ta có một nguồn dao động điện từ có tần số không đổi thì bước sóng của những dao động đó sẽ không đổi ở cùng một mức độ. Đây là trường hợp đặc biệt của phát biểu tổng quát rằng nếu hai đại lượng vật lý tỷ lệ nghịch với nhau thì độ sai số tương đối của chúng bằng nhau nếu chỉ hệ số tỷ lệ (trong trường hợp của chúng ta là c) được coi là đã biết chính xác.

Việc tạo ra các dao động điện từ có bước sóng và tần số không đổi với độ chính xác cao trong thời gian dài đã trở nên khả thi trong những năm gần đây nhờ sự ra đời của tia laser - nguồn bức xạ đơn sắc mạnh. Tuy nhiên, mặc dù tần số và bước sóng của bức xạ laser là không đổi với độ chính xác cao, nhưng việc đo chúng cùng nhau gặp phải những khó khăn kỹ thuật đáng kể. Hãy xem xét điều này chi tiết hơn.

Tiêu chuẩn đo chiều dài

Mọi phép đo cuối cùng đều được đưa ra để so sánh với một số tiêu chuẩn. Có các tiêu chuẩn để đo lường nhiều thông số của các vật thể và quá trình vật lý: ví dụ: tiêu chuẩn về độ dài, thời gian, cường độ dòng điện, khối lượng vật chất, v.v. Người ta cố gắng chọn các tiêu chuẩn

4

theo cách mà giá trị của chúng không phụ thuộc vào các yếu tố bên ngoài, chẳng hạn như nhiệt độ và áp suất không khí, độ cao so với mực nước biển, v.v.

Đặc biệt, tiêu chuẩn độ dài hiện đại gắn liền với bước sóng của bức xạ điện từ phát sinh khi một electron trong nguyên tử krypton chuyển từ trạng thái kích thích này sang trạng thái kích thích khác.

Các electron trong bất kỳ nguyên tử nào cũng có thể ở các trạng thái khác nhau, khác nhau về năng lượng. Nếu một tập hợp đầy đủ các trạng thái như vậy được biết đối với một nguyên tử cụ thể thì phổ của nguyên tử đó được cho là đã biết. Đối với một nhà vật lý, các nguyên tử của các nguyên tố hóa học khác nhau khác nhau chủ yếu ở quang phổ của chúng, do đó quang phổ đóng vai trò là “chân dung” của các nguyên tử. Từ trạng thái có năng lượng cao hơn $E_2$ các electron có thể tự động chuyển sang trạng thái có năng lượng thấp hơn $E_1$. Trong trường hợp này, năng lượng $E_2 - E_1$ được giải phóng dưới dạng lượng tử dao động điện từ. Tần số $\nu$ của những dao động này có liên quan đến năng lượng được giải phóng bởi mối quan hệ

$$\nu = \frac{E_2 - E_1}{h}, \tag{2}$$

trong đó $h$ là hằng số Planck.

Do năng lượng của các trạng thái mà electron có thể tìm thấy trong nguyên tử bị ảnh hưởng cực kỳ yếu bởi các điều kiện bên ngoài, nên tần số dao động do nguyên tử phát ra hóa ra không đổi với độ chính xác cao. Và vì mức độ không đổi của tần số và bước sóng của dao động điện từ trùng nhau, nên bước sóng của ánh sáng phát ra cũng hoàn toàn không đổi. Vì vậy, sẽ rất thuận tiện khi sử dụng loại đèn này làm “thước đo” rất chính xác để đo chiều dài.

Theo định nghĩa, tiêu chuẩn quốc tế về độ dài - mét - chứa 1.650.763,73 bước sóng bức xạ xảy ra trong quá trình chuyển đổi giữa hai trạng thái cụ thể của nguyên tử krypton. Bức xạ này được phát ra bởi một đèn phóng điện chứa đầy krypton ở áp suất được xác định nghiêm ngặt và hoạt động ở dòng điện và điện áp cung cấp được xác định nghiêm ngặt. Leo-

Đèn âm thanh được chọn vì nó tương đối dễ sản xuất và có tuổi thọ cao.

Đo bước sóng laser

Đo chiều dài bằng chuẩn krypton dựa trên hiện tượng giao thoa ánh sáng.

Tại mỗi điểm trong không gian nơi sóng ánh sáng lan truyền sẽ xuất hiện một trường điện từ và độ lớn của các vectơ cường độ điện trường và cảm ứng từ trường thay đổi theo một định luật điều hòa. Khi hai tia sáng kết hợp truyền qua một điểm nhất định trong không gian theo cùng một hướng, hiệu ứng tổng cộng sẽ phụ thuộc vào pha trong đó vectơ trường điện (hoặc cảm ứng từ) của cả hai tia dao động tại điểm đó. Nếu các pha dao động trùng nhau, tức là các vectơ cường độ có hướng bằng nhau thì cường độ ánh sáng tại điểm này là cực đại. Ngược lại, nếu các pha dao động ngược nhau, tức là các vectơ cường độ hướng ngược nhau thì cường độ ánh sáng tại điểm đó là tối thiểu. Do đó, nếu hai chùm ánh sáng có cùng tần số có độ lệch pha không đổi (nghĩa là có mối quan hệ không đổi giữa các vectơ cường độ điện trường hoặc cảm ứng từ trường) hướng vào một màn hình, thì chúng ta sẽ nhìn thấy các sọc sáng và tối xen kẽ trên màn hình - cái gọi là mô hình giao thoa.

Một trong những sơ đồ khả thi để đo chiều dài của một vật sử dụng giao thoa kế Michelson được thể hiện trên Hình 1. Sóng ánh sáng từ nguồn 1 được chia thành hai sóng trong một tấm mờ 2. Một sóng phản xạ từ bề mặt đáy của tấm và đi lên, phản xạ từ gương đứng yên 3, đi qua

5

Cơm. 1.

tấm 2 và dòng 6, rơi vào màn hình 7 nằm trong mặt phẳng tiêu cự của thấu kính. Sóng thứ hai, đi qua tấm 2 và 4, được phản xạ từ gương 5 gắn trên xe đẩy, quay trở lại tấm 2, phản xạ từ bề mặt dưới của nó và đi tới màn hình. Tấm 4 là cần thiết để cân bằng đường quang của cả hai sóng. Thật vậy, sóng đầu tiên đi qua tấm 2 lần và sóng thứ hai chỉ một lần.

Do sự giao thoa của hai chùm tia, trên màn hình xuất hiện một vân giao thoa, đó là một loạt các sọc tối và sáng. Khi một chiếc xe đẩy có gương di chuyển dọc theo một vật thể có chiều dài cần thay đổi, kiểu giao thoa dường như cũng sẽ di chuyển trên màn hình. Ví dụ, khi xe di chuyển một quãng đường bằng một nửa bước sóng ánh sáng dùng trong thí nghiệm, tất cả các sọc tối trên màn hình sẽ chuyển sang màu sáng và ngược lại (Hình 2). Vì vậy, điểm nào trên màn hình sẽ luân phiên sáng hoặc tối khi xe di chuyển, tức là các “đèn nháy” sẽ lần lượt xuất hiện. Hơn nữa, số lượng “chớp sáng” bằng số lượng sóng phù hợp dọc theo chiều dài của vật thể bị thay đổi. Thật thuận tiện khi đếm số lượng “chớp nháy” ở điểm trung tâm của hình ảnh giao thoa. Lượng ánh sáng ở trung tâm của mẫu giao thoa được ghi lại bằng bộ tách sóng quang, được kết nối với bộ đếm xung. Bằng cách này, quá trình thay đổi có thể được

Cơm. 2.

6

nhưng tự động hóa. Độ nhạy cao của bộ tách sóng quang cho phép bạn đo chiều dài của vật thể với độ chính xác bằng một phần trăm bước sóng của bức xạ quang học, tức là khoảng $10^{-8}$ m. Nghĩa là, các vật thể dài khoảng một mét có thể được đo với sai số tương đối cỡ $10^{-8}$.

Bước sóng của chùm tia laze có thể được xác định dễ dàng bằng cách đo chiều dài của cùng một vật thể, đầu tiên sử dụng tiêu chuẩn krypton, sau đó sử dụng tia laze và tính xem số lượng “tia sáng” khác nhau bao nhiêu lần trong trường hợp thứ nhất và thứ hai.

Chúng tôi đã xem xét chi tiết cách đo bước sóng của bức xạ laser. Do thực tế là tiêu chuẩn độ dài - máy đo - dựa trên bước sóng bức xạ từ các nguyên tử krypton trong vùng khả kiến ​​của quang phổ, độ chính xác của phép đo như vậy gần tương ứng với độ chính xác của chính tiêu chuẩn độ dài, nghĩa là bằng $10^{-8}$. Đây là độ chính xác cao nhất có thể đạt được hiện nay. Chỉ có thể tăng độ chính xác này sau khi đưa ra tiêu chuẩn độ dài mới, chính xác hơn.

Tiêu chuẩn tần số Caesium

Tình huống đo tần số bức xạ laser phức tạp hơn nhiều.

Bức xạ từ maser Caesium, một máy phát lượng tử bức xạ điện từ có bước sóng trong dải sóng vô tuyến, được sử dụng làm chuẩn tần số. Nguyên lý hoạt động của maser Caesium như sau. Nguyên tử xêsi có mô men từ, nghĩa là nó là nam châm nhỏ nhất. Trong điều kiện bình thường, có hai loại nguyên tử Caesium, khác nhau về độ lớn của mô men từ. Nói cách khác, từ trường được tạo ra bởi một nguyên tử thuộc loại này lớn hơn một chút so với từ trường được tạo ra bởi một nguyên tử thuộc loại khác. Nếu những nguyên tử đó được đặt

đặt vào một từ trường (ví dụ, giữa các cực của nam châm), thì cường độ tương tác giữa mômen từ của nguyên tử và từ trường sẽ phụ thuộc, trước hết vào độ lớn của từ trường bên ngoài, và thứ hai, vào độ lớn của mômen từ mà một nguyên tử nhất định có. Lực càng lớn thì thế năng của nguyên tử Caesium càng lớn. Như vậy, trong từ trường, hai loại nguyên tử Caesium sẽ có năng lượng khác nhau. Chúng ta hãy biểu thị những năng lượng này, tùy thuộc vào độ lớn của từ trường bên ngoài, bằng $E_1$ và $E_2$ $(E_1<E_2)$.

Chúng ta hãy cho các cặp Caesium tiếp xúc với bức xạ điện từ, năng lượng lượng tử của nó $h\nu$ bằng hiệu năng lượng $E_2-E_1$:

$$h\nu = E_2 - E_1.$$

Khi đó các nguyên tử loại thứ nhất có năng lượng bằng $E_1$, sau khi hấp thụ lượng tử như vậy, sẽ tăng năng lượng của chúng lên giá trị $E_2$, tức là chúng sẽ biến thành các nguyên tử thuộc loại khác. Vì sự chênh lệch năng lượng giữa các nguyên tử Caesium ở một giá trị từ trường nhất định bị ảnh hưởng rất yếu bởi các điều kiện bên ngoài, nên bức xạ như vậy có thể được sử dụng làm chuẩn tần số. Nhưng để làm được điều này, bạn cần có khả năng tách các nguyên tử thuộc loại này khỏi các nguyên tử thuộc loại khác. Việc phân loại này có thể thực hiện được bằng cách sử dụng từ trường. Nếu chùm nguyên tử của cả hai loại được truyền qua một từ trường không đồng nhất thì quỹ đạo của các nguyên tử thuộc các loại khác nhau sẽ khác nhau, vì năng lượng tương tác của mô men từ của nguyên tử với từ trường là khác nhau. Một chùm nguyên tử Caesium được sắp xếp theo cách này được chiếu vào một trường điện từ. Nếu tần số dao động của trường tương ứng với độ chênh lệch năng lượng $E_2-E_1$, thì các nguyên tử chuyển sang trạng thái khác, do đó quỹ đạo của chúng trong từ trường không đồng nhất thay đổi.

Giá trị tần số dao động điện từ tại đó xảy ra sự chuyển đổi như vậy có thể được ghi lại bằng một giá trị tương đối

7

giải quyết trật tự $10^{-12}$. Giá trị này, được xác định ở giá trị cố định nghiêm ngặt của từ trường bên ngoài, bằng 9.192.631.770,0 hertz và theo thỏa thuận, là giai đoạn tần số quốc tế.

Câu hỏi đặt ra: làm thế nào để sử dụng giai đoạn tần số này? Ví dụ, làm thế nào chúng ta có thể kiểm tra độ chính xác của đồng hồ? Rốt cuộc, cơ chế từ tính tạo ra 1-10 dao động mỗi giây và tín hiệu của eton biến đổi là sóng điện từ, cường độ thay đổi khoảng $10^{10}$ lần mỗi giây. Làm thế nào bạn có thể sử dụng ethon tần số caeser để đo tần số của tia laser có bức xạ truyền qua với tần số cỡ $10^{15}$ f?

Rõ ràng là việc so sánh tần số cột ở các thang đo khác nhau là một nhiệm vụ khó khăn không hiệu quả, chẳng hạn như đo chính xác khoảng cách từ Trái đất đến Mặt trăng bằng thước đo. Chỉ có thể đo chính xác bằng cách so sánh các đại lượng ở gần nhau về tỷ lệ. Do đó, để đo tần số của các dao động khác nhau bằng caeser eton, trước hết cần đưa tần số đo được gần với tần số của eton hơn. Hiện tại, bài toán này được giải quyết bằng cách sử dụng kỹ thuật chuyển đổi tần số bức xạ điện từ chưa được sử dụng.

Hệ thống phi tuyến

Chuyển đổi tần số bằng cách nhân nó nhiều lần sẽ xảy ra; ví dụ, khi một dao động hình sin có tần số v nhất định tiếp xúc với một phần tử phi tuyến. Để hiểu phần tử phi tuyến là gì, chúng ta hãy nhớ lại định luật Ohm, liên quan đến điện áp $U$ đặt vào một dây dẫn có điện trở $R$ và dòng điện $I$ chạy qua dây dẫn này: $U=IR$. Nếu đại lượng $R$ không phụ thuộc vào dòng điện hoặc điện áp thì nói rằng
dây dẫn nước là một phần tử tuyến tính. Ngược lại, điện trở của các phần tử phi tuyến phụ thuộc vào điện áp đặt vào hoặc dòng điện chạy qua chúng. Ví dụ, điện trở thông thường là phần tử tuyến tính, nhưng diode bán dẫn là phần tử phi tuyến.

Đặc tính quan trọng nhất của bất kỳ hệ thống nào, cả tuyến tính và phi tuyến, là kết nối giữa tín hiệu được cung cấp cho đầu vào của hệ thống đó và tín hiệu quay trở lại đầu ra của nó. Đối với các hệ thống tuyến tính, chỉ có thể thay đổi biên độ tín hiệu với sự phụ thuộc không đổi của cường độ tín hiệu theo thời gian. Bằng cách xác định hệ số tỷ lệ thuận giữa biên độ của tín hiệu và bản chất của tín hiệu đầu vào, chúng ta sẽ xác định duy nhất tín hiệu đầu ra (trong trường hợp điện trở tuyến tính tuân theo định luật Ohm thì hệ số này chính là giá trị điện trở $R$). Vì bản thân các đặc tính của hệ thống phi tuyến phụ thuộc vào tín hiệu được cung cấp cho đầu vào của chúng, nên hình dạng của tín hiệu đầu ra sẽ không còn lặp lại chính xác hình dạng của tín hiệu được cung cấp cho đầu vào. Để mô tả đầy đủ đặc tính của một hệ phi tuyến, việc chỉ định một hệ số tỷ lệ kết nối độ lớn của tín hiệu đầu vào và đầu ra là không đủ. Cũng cần phải biết sự phụ thuộc của hệ số này vào độ lớn của tín hiệu đầu vào.

Ví dụ: nếu một miếng vật liệu đàn hồi bị kéo căng thì độ dài của nó tăng lên $\Delta l$ sẽ liên quan đến lực gia cố $F$ theo định luật Hooke: $F=k\Delta l$. Đối với các giá trị nhỏ của $F$, sự phụ thuộc là tuyến tính, nghĩa là hệ số $k$ không phụ thuộc vào $F$ và mẫu đang được xem xét là một hệ tuyến tính. Khi lực tác dụng tăng lên, tính tuyến tính bị phá vỡ. Hóa ra ở giá trị lớn $F$, tất cả vật liệu đều trở nên phi tuyến, nghĩa là nó trở nên phụ thuộc đáng kể vào $F$.

Trong số các phần tử phi tuyến, hệ dao động phi tuyến chiếm một vị trí lớn. Một ví dụ điển hình của hệ dao động có tính chất phi tuyến là mặt biển. Trong khi biên độ dao động (trong trường hợp này là chiều cao của sóng)

8

nhỏ thì hình di chúc là hình sin. Khi biên độ dao động đạt đến biên độ đủ lớn, sóng trở nên phi tuyến, nghĩa là hình dạng của chúng được xác định bởi biên độ của chúng - xuất hiện “đôi cánh”. Với biên độ tăng thêm, sóng hoàn toàn mất đi sự giống với hình sin.

Có thể tiếp tục số lượng ví dụ về dao động phi tuyến của các hệ thống tồn tại trong tự nhiên và công nghệ.

Một đặc tính chung của tất cả các phần tử phi tuyến là khả năng làm biến dạng tín hiệu cung cấp cho đầu vào của chúng. Cụ thể, nếu tín hiệu đầu vào có dạng hình sin có tần số $v$ thì ở đầu ra nó không còn như vậy nữa. Bằng cách thêm vào đầu vào của bộ chuyển đổi như vậy các dao động không chỉ tần số $v_1$ mà còn cả các sóng hài, tức là các dao động có tần số $2v_1$, $3v_1$, v.v. Do đó, các phần tử còn được gọi là bộ biến tần phi tuyến.

Như một ví dụ về bộ chuyển đổi phi tuyến, hãy xem xét một diode bán dẫn có đặc tính dòng điện-điện áp có thể xấp xỉ bằng một parabol:

$$i = a + bu + cu^2,$$

trong đó $a, b$ và $c$ là một số hằng số. Để hướng $u$ cung cấp cho diode thay đổi theo định luật

$$u = U_0 \cos \omega t = U_0 \cos 2\pi vt.$$

Sau đó

$$i = a + bU_0 \cos 2\pi vt + cU_0^2 \cos^2 2\pi vt =$$

$$= a + bU_0 \cos 2\pi vt + \frac{cU_0^2}{2}(1 + \cos 4\pi vt) =$$

$$= \left(a + \frac{cU_0^2}{2}\right) + bU_0 \cos 2\pi vt +$$

$$+ \frac{cU_0^2}{2} \cos 4\pi vt.$$

Do đó, dòng điện qua bộ chuyển đổi đang xét không điều hòa mà là tổng của ba thành phần: một thành phần không đổi, các dao động có tần số cơ bản $v$ và các dao động có tần số kép $2v$.

Nếu sự phụ thuộc $i (u)$ phức tạp hơn và do đó nó phải được biểu diễn bằng số lượng số hạng lớn hơn:

$$i = a + bu + cu^2 + du^3 + \dots + lu^k,$$

khi đó tín hiệu đầu ra sẽ chứa các thành phố có sóng hài cao hơn (2v, 3v, …, kv).

Một hình ảnh thậm chí còn phức tạp hơn sẽ thu được ở đầu ra nếu nhận được tín hiệu phức tạp hơn tín hiệu hình sin ở đầu vào của hệ thống tuyến tính. Đặc biệt quan tâm là trường hợp tín hiệu đầu vào là tổng của hai tín hiệu hình sin có tần số $v_1$ và $v_2$. Hóa ra trong trường hợp này, không chỉ các hài của từng tần số xuất hiện ở đầu ra mà còn xuất hiện cái gọi là tần số kết hợp: $v_1 + v_2, v_1 - v_2, 2v_1 + v_2$, v.v. (điều này có thể được hiển thị bằng cách kiểm tra các phép tính tương tự như các phép tính ở trên). Nói chung, tần số kết hợp có thể được biểu diễn như sau: $nv_1 \pm mv_2$, trong đó $n$ và $m$ là số nguyên bất kỳ.

Đo tần số laser

Bây giờ chúng ta có thể quay lại phần bài toán cụ thể - cách đo tần số bức xạ laser. Nhưng trước tiên, chúng ta hãy làm quen với nguyên tắc chung của việc đo tần số gần với tần số tham chiếu. Các dao động được nghiên cứu cùng với các dao động tham chiếu được đưa vào bộ chuyển đổi phi tuyến. Như chúng tôi đã nói, nhiều tần số kết hợp khác nhau xuất hiện ở đầu ra, trong đó có tần số $v_1 - v_2$, được gọi là tần số binine. Với điều kiện là tần số $v_1$ và $v_2$ gần nhau, tần số binine hóa ra rất nhỏ và có thể được đo bằng các phương pháp thông thường (ví dụ: sử dụng máy hiện sóng). Trong trường hợp này, mặc dù sai số tương đối khi đo tần số dao động bằng máy hiện sóng khá lớn ($\approx 10^{-4}$), nhưng sai số đo tuyệt đối nằm ở mức 1 - 10 $2\mu$. Và vì tần số tham chiếu có giá trị xấp xỉ $10^{10} \epsilon$, nên sai số tương đối khi đo các tần số cao như vậy sẽ là $10^{-9} - 10^{-10}$.

Để đo các tần số rất khác so với chuẩn, ngoài chuẩn đích là chuẩn tần số sơ cấp cần phải có một bộ chuẩn thứ cấp.