Kvant
Luyện thi đại học

Viện Vật lý và Công nghệ Moscow

Белонучкин В. Е., Чехлов В. И.

Kvant 1975, số 2tr. 49, 51Thẻ DBNU

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

49

Viện Vật lý và Công nghệ Moscow

Huân chương Cờ đỏ Matxcơva của Viện Vật lý và Công nghệ Lao động được mô tả chi tiết trong «Kvant» số 10 năm 1973. Dưới đây là một số thông tin từ MIPT về toán học và vật lý năm 1974.

Matematika

Tùy chọn 1

  1. Giải phương trình
    log⁡3(log⁡2x−9)=2+log⁡3(1−4log⁡x4).\log_3(\log_2 x - 9) = 2 + \log_3(1 - 4 \log_x 4).
  2. Giải phương trình
    cos⁡xcos⁡3x−cos⁡5xcos⁡x=8sin⁡x⋅sin⁡3x.\frac{\cos x}{\cos 3x} - \frac{\cos 5x}{\cos x} = 8 \sin x \cdot \sin 3x.
  3. Một hình thang đều có đáy AD và BC (AD > BC) được mô tả bằng đường tròn tiếp xúc với cạnh CD tại điểm M. Đoạn AM cắt đường tròn tại điểm N. Xác định tỉ số ADBC\frac{AD}{BC} nếu ANNM=k\frac{AN}{NM} = k.
  4. Giải hệ phương trình
    {5x+1cos⁡y+51−xsin⁡y+2=5x+1⋅sin⁡y−51−x⋅cos⁡y,5x+1sin⁡y−2⋅51−x⋅cos⁡y+4=51−x⋅sin⁡y+2⋅51+x⋅cos⁡y.\begin{cases} 5^{x+1} \cos y + 5^{1-x} \sin y + 2 = 5^{x+1} \cdot \sin y - 5^{1-x} \cdot \cos y, \\ 5^{x+1} \sin y - 2 \cdot 5^{1-x} \cdot \cos y + 4 = 5^{1-x} \cdot \sin y + 2 \cdot 5^{1+x} \cdot \cos y. \end{cases}
  5. Ở đáy lăng kính thẳng ABCA1B1C1ABCA_1B_1C_1 có một tam giác vuông có hai chân AB = 8 δm\delta m và BC = 6 δm\delta m. Cạnh huyền AC là đường kính đáy của một hình nón tròn đứng có đỉnh nằm trên cạnh A1B1A_1B_1. Mặt bên của hình nón cắt cạnh AB tại điểm M sao cho AM = 5 δm\delta m. Xác định thể tích của hình nón.

Tùy chọn 2

  1. Giải phương trình
    x23−2x6+x=2.\sqrt[3]{x^2} - 2\sqrt[6]{x} + \sqrt{x} = 2.
  2. Tổng các số hạng và hiệu của một cấp số cộng đều dương. Nếu bạn tăng hiệu của một cấp số lên 2 mà không thay đổi số hạng đầu tiên thì tổng các số hạng của nó sẽ tăng gấp 3 lần. Nếu hiệu của cấp số ban đầu tăng lên 4 lần mà số hạng đầu tiên không thay đổi thì tổng các số hạng của cấp số cộng sẽ tăng 5 lần. Xác định sự khác biệt trong tiến trình ban đầu.
  3. Cạnh đáy của lăng trụ tam giác đều ABCA1B1C1ABCA_1B_1C_1 bằng a, các điểm O và O_1 lần lượt là tâm của các đáy ABC và A_1B_1C_1. Độ dài hình chiếu trực giao của đoạn AO1AO_1 lên đường thẳng B1OB_1O bằng 5a6\frac{5a}{6}. Xác định chiều cao của lăng kính.
  4. Trong tam giác ABC, đường vuông góc với cạnh AB đi qua trung điểm của nó cắt đường thẳng AC tại điểm M, đường vuông góc với cạnh AC đi qua điểm giữa của nó cắt đường thẳng AB tại điểm N. Biết MN = BC và đường thẳng MN vuông góc với đường thẳng BC. Xác định các góc của tam giác ABC.
  5. Giải hệ phương trình
    {tgx⋅tgy=sin⁡zcos⁡x⋅cos⁡y+3,tgy⋅tgz=sin⁡xcos⁡y⋅cos⁡z−5,tgz⋅tgx=sin⁡ycos⁡z⋅cos⁡x−3.\begin{cases} tg x \cdot tg y = \frac{\sin z}{\cos x \cdot \cos y} + 3, \\ tg y \cdot tg z = \frac{\sin x}{\cos y \cdot \cos z} - 5, \\ tg z \cdot tg x = \frac{\sin y}{\cos z \cdot \cos x} - 3. \end{cases}

Tùy chọn 3

  1. Giải phương trình
    4sin⁡3x+sin⁡5x−2sin⁡x⋅cos⁡2x=0.4 \sin 3x + \sin 5x - 2 \sin x \cdot \cos 2x = 0.
  2. Đường tròn đầu tiên trong hai đường tròn đi qua tâm của đường tròn thứ hai và cắt nó tại các điểm A và B. Chất lượng của đường tròn thứ nhất đi qua điểm A chia đường tròn thứ hai theo tỷ lệ m:n(m<n)m:n (m < n). Quận thứ hai chia quận thứ nhất về mặt nào?
  3. Giải hệ phương trình
    {2x−y−2⋅6x−y−6−2y=0,2−x−y−2⋅3x+y+3⋅9x=0.\begin{cases} 2^{x-y} - 2 \cdot 6^{x-y} - 6^{-2y} = 0, \\ 2^{-x-y} - 2 \cdot 3^{x+y} + 3 \cdot 9^x = 0. \end{cases}
  4. Các điểm A, B, C nằm tuần tự dọc theo con đường. Bốn người đi bộ xuất phát cùng lúc: người thứ nhất và người thứ hai đi từ A đến C, người thứ ba từ B đến C, người thứ tư từ C đến A. Người đi bộ thứ hai vượt qua người đi bộ thứ ba; Người đi bộ đầu tiên đã vượt qua người đi bộ thứ ba. Người thứ ba đi chậm hơn người thứ tư n lần, người thứ nhất và người thứ hai đi với tốc độ khác nhau. Xác định tỉ số giữa khoảng cách từ A đến B và khoảng cách từ B đến C (tốc độ người đi bộ không đổi).
  5. Đáy của lăng kính ABCDA1B1C1D1ABCDA_1B_1C_1D_1 là hình thang ABCDABCD, trong đó ABCDABCD

51

  1. Hiện tại, người ta có thể đạt được áp suất (ví dụ, sử dụng bức xạ laser có hình dạng đặc biệt), tại đó tất cả các kích thước tuyến tính của chất rắn có thể giảm đi 10 lần.

Khối lượng tới hạn của một chất “siêu đậm đặc” như vậy nhỏ hơn khối lượng tới hạn của chất thông thường bao nhiêu lần?

Ở trạng thái tới hạn, khi phản ứng ban đầu, số lượng neutron thứ cấp, sự ra đời của các sheitron rời khỏi bề mặt. (Các neutron thứ cấp là những neutron được tạo ra bởi sự tương tác của các neutron đã có trong nó với vật chất phân hạch.)

  1. Một điện cực nhôm phẳng được chiếu dưới ánh sáng tử ngoại có bước sóng λ=8,30⋅10−8\lambda = 8,30 \cdot 10^{-8} m. Khoảng cách tối đa từ bề mặt của điện cực mà một quang điện tử có thể di chuyển là bao nhiêu nếu điện cực có điện trường chậm hướng E=7,5E = 7,5 e/cm?

Ranh giới màu đỏ của hiệu ứng quang điện đối với nhôm tương ứng với bước sóng λ0=33,2×10−8\lambda_0 = 33,2 \times 10^{-8} m. Hằng số Planck h=6,6×10−34h = 6,6 \times 10^{-34} j. s, điện tích e=1,6⋅10−19e = 1,6 \cdot 10^{-19} k.

  1. Bán kính cong của gương cầu tròn là R=40R = 40 cm. Thấu kính nào nên được đặt gần gương để hệ thống quang học thu được cho hình ảnh trực tiếp, tối thiểu, có kích thước thật của các vật thể?

Vé 3

  1. Một viên đạn bay ngang có khối lượng M2=10M_2 = 10 z trúng tâm của một quả cầu có khối lượng M1=300M_1 = 300 z, nằm trên mép bàn và xuyên thẳng qua nó. Quả bóng rơi cách bàn s1=6s_1 = 6 m, viên đạn rơi cách bàn s2=15s_2 = 15 m. Chiều cao của bàn là H=1H = 1 m. Xác định vận tốc ban đầu của viên đạn.

  2. Một góc điện có bộ điều chỉnh nhiệt, được đặt ở vị trí “len”, nóng lên đến nhiệt độ t1=140∘t_1 = 140^\circ C. Trong trường hợp này, ở trạng thái ổn định, bộ điều chỉnh sẽ bật góc trong thời gian t=30t = 30 s trong khoảng thời gian T1=5T_1 = 5 phút. Ở vị trí “vải lanh”, góc được bật trong cùng 30 giây với khoảng thời gian ngắn hơn T2=3T_2 = 3 phút. Xác định nhiệt độ của bộ điều chỉnh góc được đặt ở vị trí “lanh”. Bỏ qua sự phụ thuộc nhiệt độ của điện trở lò sưởi. Nhiệt độ phòng t0=20∘t_0 = 20^\circ C.

  3. Trong một trong các mô hình phân tử hydro H2+H_2^+, người ta cho rằng electron chuyển động theo quỹ đạo tròn nằm trong mặt phẳng vuông góc với hình nêm nối các proton. Khoảng cách giữa các proton là RR, điện tích của điện cực là ee, khối lượng của nó là mm. Tìm tốc độ chuyển động của electron.

  4. Một trong những bề mặt của thấu kính mỏng là serbene. Ở khoảng cách a=28a = 28 cm tính từ thấu kính trên trục của nó có một nguồn sáng chính xác. Nếu thấu kính hướng về phía nguồn có mặt mạ bạc thì khoảng cách giữa nguồn và ảnh tối thiểu của nó là 56 cm. Nếu quay thấu kính về phía nguồn bên kia thì nó tạo ra một chùm tia sáng song song. Xác định công thức của thấu kính không chứa serbium.

Vé 4

  1. Một hình ảnh của Mặt trời thu được bằng thấu kính. Độ động của ảnh là d=3d = 3 mm và nằm cách thấu kính L=32L = 32 cm. Được biết, khoảng cách từ Trái đất đến Mặt trời là R=150R = 150 ml. km, và thời gian của năm trái đất là T=365T = 365 ngày. Sử dụng những dữ liệu này, hãy tính gia tốc trọng trường ở bề mặt Mặt trời.

  2. Một mol khí lý tưởng được chuyển từ trạng thái 1 sang trạng thái 3 dọc theo isobor 1-2 và sau đó dọc theo isobor 2-3 (Hình 4). Tại isobor, cùng một lượng nhiệt Q=3675Q = 3675 J được truyền vào khí như được giải phóng ở isobor. Tìm nhiệt độ cuối cùng của khí nếu nhiệt độ ban đầu của nó là t0=27∘t_0 = 27^\circ C. Nhiệt dung của khí là CV=21C_V = 21 J/mol. kêu

  3. Hai quả cầu nhỏ dẫn điện có bán kính rr đặt cách nhau một khoảng RR. Các quả bóng lần lượt tiếp đất trong một thời gian, quả bóng được tiếp đất trước, nếu ban đầu mỗi quả bóng có điện tích qq.

  4. Hệ quang học gồm hai thấu kính có công thức F1=−10F_1 = -10 cm và F2=+10F_2 = +10 cm, cách nhau một khoảng d=5d = 5 cm. Hệ thống này sẽ tạo ra hình ảnh hợp lệ ở vị trí nào của vật thể (từ phía λ1\lambda_1)?

V. E. Belonchkin, V. I. Chekhlov