Các nhà toán học về toán học

52

Các nhà toán học về toán học

Với tiêu đề này, nhà xuất bản “Znanie” đã xuất bản một tập tài liệu *) vào năm 1972, gồm hai bài báo được dịch từ tiếng Anh.

*) Nhà toán học về toán học (tuyển các bài báo). Do GS. V. I. Levin biên soạn. Bản dịch từ tiếng Anh của V. N. Trostikov, Ứng viên Khoa học Triết học. M., “Kiến thức”, 1972. (Loạt bài mới về đời sống, khoa học, kỹ thuật “Toán học, Knibernetics”, 12.)

Các bài viết này tạo thành một chương có tựa đề “Sự phi lý của toán học” trong tập thứ ba của tuyển tập Thế giới toán học gồm bốn tập, xuất bản ở Mỹ năm 1956 và ở Anh năm 1960. Tác giả của các bài báo là những nhà khoa học nổi tiếng.

Bài viết đầu tiên có tựa đề “Nghịch lý thất lạc và tìm thấy” được viết bởi Edward Kasner và James R. Newmanham. Nó bắt đầu: “Có lẽ nghịch lý lớn nhất là có những nghịch lý trong toán học.”

Loại nghịch lý đầu tiên là những mâu thuẫn và những tuyên bố vô lý là kết quả của sự lừa dối không chính xác. Sau đó - những nghịch lý của đất nước, có vẻ khó tin, nhưng, như cấu trúc của bằng chứng cho thấy, là có thật. “Loại nghịch lý thứ ba và quan trọng nhất có liên quan đến lý thuyết tập hợp; Loại nghịch lý này dẫn đến sự xem xét lại nền tảng của toán học. Những nghịch lý logic luôn có ý nghĩa đối với các nhà logic học và toán học và đã làm nảy sinh những khoảng trống liên quan đến bản chất của toán học, những khoảng trống mà cho đến ngày nay vẫn chưa nhận được một lời giải thỏa đáng.”

Các bài viết đầu tiên xem xét các ví dụ về nghịch lý loại thứ hai. Hãy cho một trong số họ. Hai đồng xu bằng nhau nằm trên bàn chạm vào một vòng tròn. Đồng xu thứ nhất (trống bên trái), còn lại trên mặt phẳng của bàn, lăn dọc theo mép của đồng xu thứ hai (đứng yên). Khi điểm tiếp xúc của các đồng xu đi qua nửa vòng tròn và kết thúc tại điểm đối diện theo đường kính của đồng xu đứng yên ở bên phải, thì đồng xu di chuyển sẽ không quay một nửa mà là một vòng hoàn toàn (số trên đó lại ở vị trí bình thường)!

Nói về sai số hình học, các tác giả chỉ đề cập đến sai số quang học và đưa ra ví dụ về sai số không mang tính chất tâm lý mà mang tính chất toán học. Ví dụ, nghịch lý sau được đề xuất (chúng tôi viết tắt): ABCD là góc vuông (xem hình). CH=HB; HO⊥CB; AE=AB; CK=KE; KO⊥CE.

△OAE=△OCD (ở các cạnh đó). Do đó △ODC=△OAE. Nhưng △ODA=△OAD (các góc ở đáy của một tam giác đều). Do đó, △ADC=△DAE (góc vuông bằng góc tù!).

Làm thế nào tôi có thể thay đổi điều này?

Khá nhiều sách giải bài toán vật lý đã được xuất bản trong những năm gần đây. Và nếu bạn đếm xem chúng chứa bao nhiêu “lý do”, bạn sẽ nhận được sức nặng của những khoảng trống mang tính chu kỳ bên trong liên quan đến bản chất của toán học, những khoảng trống mà cho đến ngày nay vẫn chưa nhận được lời giải thỏa đáng.

Ví dụ, cuốn sách của M. Ilyin có tên là “One Hundred Thousand WHY” để thay thế nó. Nhưng câu hỏi “làm thế nào” lại kém may mắn hơn một chút - những vấn đề trong đó người ta đề xuất chỉ ra cách thay đổi đại lượng vật lý này hay đại lượng vật lý khác xảy ra liên quan đến một căn phòng. Nhưng “làm thế nào” có thể không kém phần thú vị so với “tại sao”. Một minh họa nổi bật về điều này có thể được tìm thấy trong hồi ký của nhà vật lý xuất sắc Enrico Fermi *, nơi chúng ta đang nói về vụ thử bom nguyên tử đầu tiên. “Fermi đứng dậy và bắt đầu ném những mảnh giấy nhỏ ra. Anh ấy chuẩn bị một tờ giấy chuyên nghiệp.

*) E. Segre, “Enrico Fermi - nhà vật lý”, M., “Mir”, 1973.

53

Các tác giả kết thúc phần trình bày của họ về nghịch lý này như sau: “Bạn có tìm thấy một sai lầm nào ở đây không? Hãy để chúng tôi cho bạn một lời khuyên: hãy vẽ một cách hết sức cẩn thận.”
Tuy nhiên, trong nghịch lý này, bạn có thể tìm ra lỗi trong bản vẽ bằng cách nghiên cứu logic. Vì $OB=OC$ và $OE=OC$, nên $OB=OE$. Điểm $O$ nằm trên đường trung trực của đoạn $BE$ và đường vuông góc này đi qua điểm $A$ (vì $AE=AB$). Điều này có nghĩa là các hình tam giác $OAB$ và $OAE$ nằm đối xứng với đường thẳng $OA$ và không chồng lên nhau một phần. Và do đó sự bằng nhau của góc vuông và góc tù không diễn ra.

Xem xét các nghịch lý số học, các tác giả của bài báo lưu ý rằng bằng cách sử dụng phép chia cho 0, người ta có thể chứng minh rằng bất kỳ số nào cũng bằng bất kỳ số nào khác. Quy tắc đại số cần thiết là căn bậc hai của một số dương có hai giá trị đối nhau cũng dẫn đến sai sót và mâu thuẫn. Mời độc giả tự mình tìm hiểu nghịch lý

$$1 = \sqrt{1 \cdot V - 1} = (\sqrt{1})^2, \text{ т. е. } 1 = -1.$$

Ví dụ về chuỗi số vô hạn được đưa ra, đặc biệt là chuỗi znamenny $1-1+1-1+1-1\dots$, vốn gây ra nhiều rắc rối cho Leibniz, cũng như chuỗi tương đương với logarit tự nhiên của số $2: \ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \dots \approx 0,69315$.

Thông qua một số phép biến đổi không thể chấp nhận được theo quan điểm của lý thuyết chuỗi vô hạn $*$), có thể thu được những nghịch lý.

*) Năm «Kvant», 1974, số 9, một bài báo của M. L. Gerver “Từ việc thay đổi vị trí cấp phó” được xuất bản. Nó chứa thông tin sơ bộ từ lý thuyết chuỗi vô hạn. Sau khi đọc bài viết này, bạn có thể dễ dàng giải thích nguyên nhân của những nghịch lý này.

Một thí nghiệm đơn giản để xác định năng lượng của vụ nổ: trong một va chạm êm dịu, các mảnh giấy sẽ rơi xuống chân anh ta, và khi, vài giây sau vụ nổ, mặt trước của sóng xung kích tới, chúng sẽ rơi xuống theo hướng truyền sóng. Từ khoảng cách đến điểm nổ và độ dịch chuyển của tác động của sóng xung kích, có thể tính được năng lượng của vụ nổ. Fermi đã thực hiện trước những phép tính này, chuẩn bị một bảng để từ đó ông có thể xác định ngay năng lượng là kết quả của một phép đo thô sơ nhưng đơn giản như vậy… Về đặc điểm, đáp số của ông hóa ra rất gần với kết quả của các phép đo chính thức được thực hiện cẩn thận. Nhưng cái sau xuất hiện vài ngày sau khi nghiên cứu hồ sơ, và Fermi nhận được bức vẽ của mình sau vài giây.

Thông thường trong vật lý và chỉ trong vật lý, sự phát triển của các phương pháp đo đơn giản và phi tiêu chuẩn quyết định sự thành công của một thí nghiệm và giúp hiểu được bản chất của hiện tượng đang được nghiên cứu. Người ta chỉ có thể ước rằng câu hỏi “làm thế nào” đừng trở nên quá nổi bật trong văn học đối với học sinh. Và chính vì lý do này mà người ta nên hoan nghênh việc ra mắt cuốn sách không gây đau đớn của V. N. Lange “Vật lý thí nghiệm bài toán cho sự khéo léo” (bộ “Thư viện của Trường Vật lý và Toán học”, “Khoa học”, 1974).

Tất cả 116 vấn đề trong cuốn sách này đều đặt ra câu hỏi “làm thế nào”. Đây không phải là một bài toán thông thường khi mọi thứ được chia thành các phần: cơ học, điện, quang học, bởi vì đối với lời giải đa đặc tính bài toán bạn cần biết nhiều hơn một chương của sách giáo khoa. Tựa đề các phần nghe có vẻ không hay: “Ở nhà”, “Trên hồ”, “Đi dạo”, “Vào không gian”

54

thổi: một quả bóng có kích thước bằng Mặt trời có thể được cắt thành các phần riêng biệt không có điểm chung, và sau đó các phần này có thể được gấp lại theo cách mà không cần lướt qua hoặc kéo dài bất kỳ phần nào, kết quả là Mặt trời biến thành hạt đậu và nhét vừa túi quần sau của bạn.
Ngược lại, hạt đậu có thể được cắt và gấp lại theo cách sao cho nó sẽ lấp đầy toàn bộ Vũ trụ hữu hình và sẽ không có khoảng trống. Không có câu chuyện cổ tích nào, không có chuyện tưởng tượng nào tạo nên sự thật logic toán học chặt chẽ đó. Những kết quả này “thể hiện một thách thức không ngừng đối với trí tưởng tượng và là sự đóng góp cho sự phát triển các khái niệm toán học”.
Bài viết thứ hai, “Cuộc khủng hoảng trực giác,” của nhà toán học Hans Hahn; Bài viết đề cập đến các tính chất của trực giác, vai trò của nó trong toán học và khả năng tạo ra nghịch lý.
Tác giả xem xét vai trò của trực giác trong hình học và chỉ ra rằng “xa hơn trong nhánh toán học được coi là chính và nguyên bản, vai trò của trực giác dần mất đi, để cuối cùng không biến mất hoàn toàn”.
Ví dụ, từ thời cổ đại, đường cong đã được hiểu là một hình hình học được vẽ bởi một điểm chuyển động.
Nhưng nhà toán học và logic học người Ý Giuseppe pe Peano đã chứng minh rằng một đường cong như vậy có thể bao gồm toàn bộ các phần của mặt phẳng (ví dụ, một điểm chuyển động có thể đi qua mọi điểm của hình vuông). Đưa ra ví dụ về các đường cong có và không có “sự liên kết trong phạm vi nhỏ”. Một ý tưởng được đưa ra về phương pháp do nhà toán học người Hà Lan L. Brauz đề xuất để xây dựng một bản đồ trong đó tất cả các điểm biên sẽ là ternary, về ý tưởng xác định kích thước của các tập hợp chính xác, của các đường cong bao gồm toàn bộ các điểm nhánh, sự tồn tại của nó đã được chứng minh bởi nhà toán học người Ba Lan V. Serp và nsky.
Tác giả bài viết cho rằng hình học tổng quát là biểu hiện cao nhất của trực giác của chúng ta; riêng hình học này, giống như các khái niệm toán học và vật lý khác, là một cấu trúc logic.

Tất cả》—vật lý thú vị bài toán có thể phát sinh ở bất cứ đâu.
Dưới đây là một vài bài toán từ cuốn sách này.

1. Có hai dòng: một dòng là thu thập, dòng thứ hai là phân tán. Làm thế nào để xác định cái nào trong số chúng có công suất quang lớn hơn mà không cần nhờ đến sự trợ giúp của bất kỳ dụng cụ nào?
2. Bạn muốn xác định chiều rộng của dòng sông theo từng bước. Tất nhiên, làm thế nào để làm điều này một cách gần đúng với sự trợ giúp của cỏ nhặt từ bờ?
3. Làm thế nào bạn có thể sử dụng một nam châm mạnh (tốt nhất là nam châm hình móng ngựa) để xác định xem bóng đèn điện được cấp nguồn bằng dòng điện một chiều hay xoay chiều?

Ai không giải được bài toán ngay sẽ tìm thấy trong sách không chỉ chi tiết lời giải mà còn có phần “Gợi ý”. Bằng cách sử dụng nó, bạn không cần phải tước đi niềm vui bài toán của chính mình.

Đúng là có rất nhiều bài toán nhân tạo trong cuốn sách. Chẳng hạn, có quá khó để xác định tốc độ của một chiếc xe đạp bằng lượng kẽm hòa tan trong nguyên tố Grenet không? (trong bài toán 91 cấu trúc của phần tử này được mô tả).

Thật không may, lời giải không bị xoắn cũng không hoàn toàn đạt yêu cầu. Vì vậy, giả sử, trong lời giải bài toán 18, để xác định chiều cao của ngôi nhà, bạn cần sử dụng một lon thiếc rỗng và đồng hồ bấm giờ. Trong trường hợp này, tính hữu hạn của tốc độ âm thanh được tính đến, nhưng không chú ý đến một yếu tố ít quan trọng hơn - lực cản không khí.

Nhưng nhìn chung thì nó rất thú vị và không chuẩn mực, mặc dù có khá nhiều bài toán đơn giản trong đó. Số nguyên tố bài toán quá lớn tất nhiên không thể coi là nhược điểm của cuốn sách. Nó khá dễ tiếp cận đối với học sinh mới bắt đầu nghiên cứu vật lý và có thể giúp chúng phát triển trực giác vật lý.

Không có nghi ngờ gì rằng cuốn sách này sẽ hữu ích cho cả học sinh và giáo viên.

K. I. Kutsel