Bài toán M306—M310; F318—F322

26

Bài toán

M306 — M310; F318 — F322

M306. Một hình vuông góc (1x1) đã bị xóa khỏi bàn cờ (8×8) (Hình 1). Hỏi có thể cắt được phần còn lại của tấm ván thành bao nhiêu hình tam giác bằng nhau (có diện tích bằng nhau) nhỏ nhất?

V. P. Fedomov

M307. Mặt phẳng được chia thành các phòng hình lục giác giống hệt nhau (Hình 2). Một số bức tường có cửa sao cho đối với bất kỳ đỉnh nào mà tại đó ba bức tường (cạnh của hình lục giác) gặp nhau thì sẽ có cửa ở chính xác hai bức tường. Chứng minh rằng mọi đường đi khép kín đi qua một mê cung như vậy đều đi qua một số cửa chẵn.

V. P. Golubyatnikov

M308. Nếu vì bất kỳ $x$
$a_1 \cos x + a_2 \cos 2x + \dots + a_n \cos nx \geq -1$
sau đó cho các số $a_1, a_2, \dots, a_n$

nhưng bất bình đẳng
$a_1 + a_2 + \dots + a_n \leq n$.

Chứng minh khẳng định này a) cho $n = 2$; 6) cho $n = 3$; c) với mọi $n$ tự nhiên.

Yu. I. Ionin

M309. a) Với $n$ thì đa thức $x^{2n} + x + 1$ chia hết cho $x^2 + x + 1$ là bao nhiêu?
6) Ở số $n$
$10 \dots 010 \dots 01$
chia hết cho 37?

V. G. Shleifer

M310. Chứng minh rằng trong số $n$ chữ số có nhiều hơn $8^n$ những số như vậy có ký hiệu thập phân không có nhóm chữ số nào (cụ thể là không có nhóm chữ số nào) xuất hiện hai lần liên tiếp.

G. A. Gurevii

F318. Tại mức $C_1$ thì điện dung của hệ tụ điện trên Hình 3 bằng: a) $C$; b) $kC$ ($k \neq 1$); b) $C_1$?

B. B. Bukhovtsev

F319. Ở khoảng cách $2F$ tính từ đường thu $\varLambda_1$ với tiêu cự

27

đứng $F$ có một vật sáng. Độ rọi của ảnh rõ nét của một vật trên màn bằng $E_0$. Một thấu kính phân kì $\Pi_2$ có tiêu cự -2$F$ được đặt giữa màn và thấu kính $\Pi_1$. Để thu được hình ảnh rõ nét của vật, màn hình phải được nhìn ở khoảng cách bằng $F$. Xác định độ chiếu sáng của ảnh của vật ở lớp thứ hai.

V. E. Belokukin

F320. Ở trạng thái được bơm, thùng chứa $V = 1 \text{ л}$ chứa 1 $\text{е}$ uranium hydrua $\mathrm{UH}_3$. Khi đun nóng đến nhiệt độ $t = 400^\circ \mathrm{C}$, hydrua phân hủy hoàn toàn thành uranium (trọng lượng nguyên tử $A = 238$) và hydro. Tìm áp suất của hydro trong bình ở nhiệt độ này.

F321. Cát mịn được đổ lên MEM nằm ngang. _MEMbrane dao động với tần số $v = 500 \text{ец}$ trong mặt phẳng thẳng đứng. Biên độ của dao động MEMbrane là bao nhiêu nếu các hạt cát nhảy lên độ cao $h = 3 \text{ мм}$ so với vị trí cân bằng MEMbrane?

F322. Hai ngôi sao quay quanh một khối tâm chung với vận tốc tuyệt đối không đổi $v_1$ và $v_2$ với chu kỳ $T$. Tìm khối lượng của các ngôi sao và khoảng cách giữa chúng.

V. A. Lugovtsov