Khối lượng và năng lượng trong thuyết tương đối

Kvant 1975, số 3 tr. 25-29 Thẻ TNLX

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

KHỐI LƯỢNG VÀ NĂNG LƯỢNG
TRÊN LÝ THUYẾT
TƯƠNG ĐỐI

Một trong những khoảnh khắc nóng bỏng nhất
Tôi trong lịch sử toán học là thời điểm
khi hóa ra hai phân vùng
các nhà toán học, trước đây được xem xét riêng biệt và được cho là độc lập, trên thực tế là hai dạng ẩn giấu của cùng một thứ.

W. W. Sawyer. “Mở đầu cho Toán học”

Những gì được nói trong đoạn văn không chỉ áp dụng cho toán học mà còn cho cả vật lý. Nếu khoảng một trăm năm trước, chúng ta quay sang vật lý học với câu hỏi liệu khối lượng và năng lượng có phải là những biểu hiện của cùng một tính chất của vật thể vật lý hay không, thì trong đáp số ông ta sẽ chỉ nhún vai, như thể chúng quen thuộc:
“Đôi khi tôi có thể nghĩ đến những trang suy nghĩ nào!”
Vì tỏ thái độ khinh thường đối với sự thiếu học vấn của chúng ta, ông có thể giải thích cho chúng ta rằng khối lượng là thước đo quán tính của một cơ thể và năng lượng quyết định khả năng thực hiện công của cơ thể. Đây là một sự phát triển hoàn hảo vì năng lượng có thể được truyền vào cơ thể mà không làm thay đổi khối lượng của nó. Đồng thời, anh ta có thể rút ra kinh nghiệm trực tiếp, nhớ lại rằng khối lượng của một miếng thép nguội không thay đổi khi nó được nung nóng và tan chảy. Thật vậy, ngay cả những phép đo chính xác nhất cũng không phát hiện ra bất kỳ thay đổi nào về esa khi cơ thể nóng lên. Mọi người đều biết điều này, và do đó nhiều năm trước, rất có thể chúng tôi đã không hỏi một câu hỏi như vậy.

Vì vậy, nhiều thế kỷ đã trôi qua, khối lượng là một đặc tính không thể thiếu của cơ thể. Một cơ thể có thể có tất cả năng lượng nhưng không có khối lượng. Bạn có thể tưởng tượng một cơ thể đang đứng yên trong không gian cách xa các cơ thể khác. khi đó nhiệt độ của nó gần bằng độ không tuyệt đối và không có trường bên ngoài, kể cả trường hấp dẫn, xung quanh nó. Một vật như vậy không thể thực hiện công *), tức là năng lượng của nó bằng 0 nhưng quán tính của nó vẫn giữ nguyên như trên Trái đất.

Cuối cùng, một nhà vật lý nhiều thế kỷ sau sẽ nói thêm rằng năng lượng không thể được coi là một đặc tính nào cả; nó chỉ hiện diện trong chính cơ thể. Như vậy, động năng trong phòng bằng 0 trong hệ tọa độ liên kết với Trái đất, nhưng trong hệ tọa độ đứng yên so với Mặt trời thì lớn hơn nhiều lần so với năng lượng của vật phóng đang bay (so với Trái đất). Khối lượng chỉ được xác định bởi tính chất của chính vật thể đó.

Đó sẽ là đáp số cho câu hỏi đặt ra trước sự xuất hiện của lý thuyết toán học tương đối. Bây giờ chúng ta biết rằng cơ học của thế kỷ 19, hay được gọi dễ hiểu là cơ học Newton, cơ học cổ điển hay phi tương đối tính, chỉ áp dụng khi tốc độ của vật nhỏ so với tốc độ ánh sáng. Tình huống như thế nào trong cơ học tương đối tính, khi không có giới hạn đó?

*) Nói đúng ra thì cũng yêu cầu không được xảy ra phản ứng hóa học. Phản ứng hạt nhân đã không được các nhà vật lý biết đến trong nhiều thế kỷ.

Trước khi trả lời câu hỏi này, chúng ta hãy xem có thể nói gì về khối lượng quán tính trong cơ học phi tương đối tính. Qua môn vật lý ở trường chúng ta biết rằng:

tích của khối lượng và gia tốc của một vật bằng lực tác dụng lên nó;
tích của khối lượng và vận tốc của một vật bằng động lượng của nó;
trọng lượng cơ thể không phụ thuộc vào việc lựa chọn hệ tọa độ;
khối lượng của vật cô lập được bảo toàn.

Từ điểm 3 suy ra rằng khối lượng không phụ thuộc vào tốc độ. Thật vậy, tốc độ của cùng một vật thể trong hai hệ tọa độ chuyển động tương đối với nhau là khác nhau. Nếu khối lượng phụ thuộc vào tốc độ thì độ lớn của nó sẽ có các giá trị khác nhau trong các hệ tọa độ này. Điểm cuối cùng đề cập đến định luật bảo toàn khối lượng nổi tiếng. Khối lượng của một vật thể biệt lập, không chịu tác dụng của ngoại lực, không thể thay đổi do bất kỳ quá trình bên trong nào xảy ra trong nó (ví dụ: ảnh hưởng của sự thay đổi tốc độ chuyển động tương đối của bộ phận phát sinh do sự tương tác của chúng).

Nếu khối lượng của một vật không phụ thuộc vào tốc độ thì nó sẽ không thay đổi dưới tác dụng của các ngoại lực làm tăng tốc vật. Do đó, việc sử dụng đoạn 3 cho phép chúng ta xây dựng định luật bảo toàn khối lượng rộng hơn định luật được giả định ở đoạn 4. Hai tính chất chức năng nêu trong đoạn 3 và 4 thường là khối lượng trong cơ học Newton hóa ra lại là đặc tính quan trọng nhất của một vật thể. Chính nhờ những đặc tính này mà khối lượng được coi là thước đo lượng vật chất chứa trong một vật thể.

Trong cơ học tương đối tính có hai khái niệm: khối lượng tương đối tính ( $m$ ) và khối lượng nghỉ ( $m_0$ ), chúng liên hệ với nhau theo quan hệ sau:

$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}},$

trong đó $v$ là tốc độ của cơ thể, $c$ là tốc độ ánh sáng. Động lượng $\mathbf{p}$ được biểu diễn dưới dạng tích của khối lượng tương đối tính và tốc độ cơ thể

$\mathbf{p} = m\mathbf{v},$

và năng lượng ở dạng sản phẩm

$E = mc^2.$

Như trong cơ học Newton, nếu không có ngoại lực nào tác dụng lên một vật thì động lượng $\mathbf{p}$ và năng lượng $E$ , và do đó khối lượng tương đối tính $m$ của vật này không đổi.

Bây giờ chúng ta hãy xác định đại lượng nào được gọi là khối lượng trong cơ học tương đối tính. Nếu động lượng của vật $\mathbf{p}$ trong một khoảng thời gian ngắn $\Delta t$ thay đổi một số giá trị $\Delta \mathbf{p}$ , thì theo định luật cơ học Newton, tỉ số $\Delta \mathbf{p}$ và $\Delta t$ bằng lực tác dụng. Định luật này vẫn đúng trong cơ học tương đối tính:

$\mathbf{F} = \frac{\Delta \mathbf{p}}{\Delta t} = \frac{\Delta (m\mathbf{v})}{\Delta t}.$

Tuy nhiên, theo công thức (1), giá trị $m$ phụ thuộc vào tốc độ và thay đổi theo thời gian $\Delta t$ . Do đó, nó không thể được suy ra từ dấu $\Delta$ , tức là $\Delta (m\mathbf{v}) \neq m\Delta \mathbf{v}$ . Do đó, từ định luật chuyển động được mô tả bằng phương trình (4), không thể kết luận rằng vectơ lực và vectơ gia tốc tỷ lệ thuận với nhau. Do đó, câu hỏi về các thuộc tính nêu tại đoạn 1 sẽ biến mất.

Như có thể thấy từ biểu thức (2), khối lượng tương đối tính có tính chất 2 của khối lượng Newton. Ngoài ra, từ định luật bảo toàn năng lượng, ta suy ra rằng trong một hệ cô lập với tác dụng của ngoại lực, khối lượng tương đối tính được bảo toàn. Do đó, nó cũng có tính chất của khối lượng 4 Newton.

Thật không may, đây là lúc sự tương tự kết thúc, vì $m$ phụ thuộc vào tốc độ và theo đó, vào việc lựa chọn hệ tọa độ. Do đó, về mặt này, khối lượng tương đối tính giống với năng lượng hơn là khối lượng Newton: nó không phải là một đặc tính chỉ phụ thuộc vào vật được nghiên cứu.

Ngược lại với khối lượng tương đối tính $m$ , khối lượng nghỉ $m_0$ xác định quán tính của vật khi tốc độ của vật $v$ bằng không. Theo đó, $m_0$ không thay đổi khi chuyển sang hệ tọa độ chuyển động. Giống như khối lượng Newton, khối lượng nghỉ chỉ được xác định bởi chính vật thể và không phụ thuộc vào hệ tọa độ mà vật thể này được xem xét. Tuy nhiên, khối lượng nghỉ không bằng tỷ số giữa giá trị tuyệt đối của động lượng $p$ với giá trị tuyệt đối của vận tốc của vật $v$ và không phải là hệ số tỉ lệ giữa lực và gia tốc.

Nhưng sự khác biệt chính giữa khối lượng Newton và khối lượng nghỉ của cơ học tương đối tính là khối lượng nghỉ không tuân theo định luật bảo toàn. Ví dụ, chúng ta có thể chỉ ra quá trình hủy nhau của một electron và một positron, trong đó hai hạt này biến thành $\gamma$ -lượng tử của trường điện từ (photon). Kết quả của sự hủy diệt là electron và positron biến mất, thay vào đó là sóng điện từ. Động lượng $\mathbf{p}$ và năng lượng $E$ được bảo toàn trong hệ thống như vậy. Do đó, tổng khối lượng tương đối tính của hệ $m$ cũng phải được bảo toàn. Đồng thời, khối lượng nghỉ của hệ thay đổi, vì thay vì hai hạt (electron và positron) có khối lượng nghỉ khác 0, $\gamma$ -lượng tử xuất hiện, khối lượng nghỉ của chúng bằng 0.

Một ví dụ khác là quá trình phân hạch hạt nhân uranium hoặc plutonium, đi kèm với sự hình thành các hạt nhân nhẹ hơn với tổng khối lượng nghỉ thấp hơn.

Vì vậy, khối lượng nghỉ cũng khác biệt đáng kể so với khối lượng Newton. Nói đúng ra, trong cơ học tương đối tính không có khái niệm cụ thể nào có thể được đặc trưng bởi các tính chất tương tự như các tính chất của khối lượng “thông thường”. Vai trò của đại lượng này trong cơ học cổ điển được phân bổ giữa hai đại lượng, về cơ bản, mỗi đại lượng có thể được coi là “người kế thừa” của khối lượng Newton với quyền ngang nhau.

Chính trong những tình huống như vậy, lý do gây khó khăn cho việc hiểu các lý thuyết mới thường nằm ở chỗ. Bằng cách gán sự tương ứng với thực tế khách quan cho các khái niệm và thuật ngữ cơ bản của lý thuyết, tất nhiên chúng ta mong đợi sự phát triển hơn nữa của khoa học chỉ là sự làm rõ những khái niệm này. Trên thực tế, lý thuyết mới đôi khi xử lý “thực tế” của lý thuyết cũ một cách rất thiếu tôn trọng. Về cơ bản, mỗi lý thuyết mới đều xác định lại kho khái niệm và thuật ngữ mà nó dùng để mô tả thực tế. Sự tương tự giữa các thuật ngữ của các lý thuyết vật lý khác nhau thường rất không đầy đủ và việc sử dụng các tên giống nhau có thể dễ gây hiểu nhầm.

Một tình huống tương tự cũng nảy sinh với thuật ngữ “động năng”. Cơ học phi tương đối tính chỉ biết hai loại năng lượng - thế năng và động năng. Động năng có hai tính chất quan trọng sau:

a) nó trở thành 0 khi tốc độ của vật bằng 0;

b) Nếu không có ngoại lực nào tác dụng lên vật thì động năng không đổi.

Trong cơ học tương đối tính, không có đại lượng nào đồng thời có hai tính chất này. Năng lượng $E$ , được xác định bởi đẳng thức (3), có tính chất b), nhưng không có tính chất a). Tại $v = 0$

nó biến đổi thành một đại lượng gọi là năng lượng nghỉ:

$E_0 = m_0c^2. \qquad (5)$

Chúng ta hãy tách khỏi năng lượng tổng thể đại lượng đặc trưng cho chuyển động cơ học của vật:

$T = E - E_0 =$
$= m_0c^2\left(\frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} - 1\right). \qquad (6)$

Năng lượng $T$ biến mất ở $v = 0$ . Tuy nhiên, nó không được bảo toàn, vì, như đã lưu ý ở trên, khối lượng nghỉ (và do đó $E_0$ ) có thể thay đổi ngay cả khi không có ngoại lực.

Hóa ra các tính chất của động năng thông thường được phân bố trong cơ học tương đối tính giữa hai khái niệm khác nhau. Cái nào nên được gọi là động năng? Đây phần lớn là vấn đề của hương vị. Người ta thường gọi đại lượng $T$ động học và $E$ là tổng năng lượng của cơ thể.

Cho đến nay chúng ta chưa nói về sự thống nhất mà là về sự “phân chia” các khái niệm. Bây giờ đã đến lúc phải biện minh cho những lời được nói trong đoạn văn.

Chúng ta hãy xem xét câu hỏi về mối quan hệ giữa khối lượng và năng lượng. Khi tính đến những điều trên, cần phải làm rõ khối lượng và năng lượng mà chúng ta đang nói đến. Trong phần tiếp theo, trừ khi có sự bảo lưu đặc biệt, chúng ta sẽ hiểu khối lượng tương đối tính $m$ và theo năng lượng là tổng năng lượng của một vật tự do $E$ . Khi đó, từ hệ thức (3), suy ra rằng chúng chỉ khác nhau ở thừa số $c^2$ , và thừa số này là hằng số thế giới, tức là một đại lượng không bao giờ thay đổi trong bất kỳ điều kiện nào. Trong trường hợp này, bất kỳ tuyên bố nào liên quan đến khối lượng đều tự động đề cập đến năng lượng và ngược lại. Ví dụ, bất kỳ sự tăng hoặc giảm năng lượng nào của cơ thể, chẳng hạn như do sưởi ấm và làm mát hoặc do bức xạ,

sẽ dẫn đến sự thay đổi tương ứng về khối lượng của nó*). Mặt khác, bất kỳ dạng năng lượng nào, kể cả bức xạ điện từ, đều trơ.

Tất nhiên, thực tế là khối lượng và năng lượng được đo theo những cách khác nhau (ví dụ, khối lượng bằng cách cân** và năng lượng trong nhiệt lượng kế) không thể được coi là phản đối sự trùng hợp về ý nghĩa vật lý của các khái niệm này. Rốt cuộc, chúng ta liên tục gặp phải những tình huống trong đó cùng một đại lượng có thể được đo bằng nhiều cách khác nhau. Chỉ có lý thuyết mới có thể quyết định dứt khoát liệu hai quy trình thí nghiệm khác nhau có đo cùng một đại lượng hay chúng cung cấp thông tin về các đại lượng khác nhau.

Sự khác biệt về đơn vị biểu thị khối lượng và năng lượng cũng không quan trọng. Như vậy, nhiệt độ cơ thể thường được biểu thị bằng độ, nhưng cũng thường được biểu thị bằng ergs hoặc electronvolt (đơn vị năng lượng để đo nhiệt độ được sử dụng rộng rãi trong nghiên cứu nhiệt hạch). Sự khác biệt về đơn vị không có nghĩa là sự khác biệt về ý nghĩa vật lý của đại lượng.

Trong vật lý lý thuyết, một hệ đơn vị thường được sử dụng trong đó người ta giả sử rằng $c = 1$ . Tất nhiên, trong hệ thống này, tốc độ hóa ra là một đại lượng trừu tượng. Điều này có nghĩa là bất kỳ tốc độ nào cũng được đo bằng phân số của tốc độ ánh sáng, được lấy làm tiêu chuẩn. Kết quả là, vận tốc của tất cả các vật thể và tín hiệu, được biết là không bao giờ vượt quá $c$ ,

*) Từ công thức (3) hoặc (5), rõ ràng sự thay đổi khối lượng cơ thể khi năng lượng của nó tăng dù chỉ một lượng đáng kể $\Delta E$ (ví dụ, do đun nóng nó đến nhiệt độ rất cao) là không đáng kể: $\Delta m = \dfrac{\Delta E}{c^2}$ .

**) Trong trường hợp này, sự bằng nhau của khối lượng quán tính và khối lượng nặng được sử dụng, theo lý thuyết tương đối rộng, chúng là một và giống nhau về mặt vật lý.

được biểu thị bằng các số phân số không tên từ 0 đến 1 và tên độ dài và thời gian giống nhau. Thật vậy, chỉ trong điều kiện này thì tốc độ, tức là tỷ số giữa khoảng cách và thời gian, mới là một đại lượng không tên (không thứ nguyên).

Bất chấp mọi điều đã nói ở trên, hai thuật ngữ sẽ còn tồn tại trong ngôn ngữ của chúng ta trong một thời gian dài, có lẽ là mãi mãi: năng lượng và khối lượng. Từ quan điểm của cơ học tương đối tính, sẽ tốt hơn nếu sử dụng một tên để biểu thị các đại lượng muốn nói ở đây. Tuy nhiên, ngôn ngữ nói được hình thành trên cơ sở kinh nghiệm hàng ngày và không có tác động tương đối nào trong đó.

Tổng năng lượng, hay khối lượng tương đối tính, chỉ xác định giới hạn trên của công mà một vật nhất định có thể thực hiện. Trên thực tế, trong phần lớn các trường hợp, chỉ một phần rất nhỏ năng lượng này có thể được chuyển thành công. Điều này đúng ngay cả đối với các phản ứng hạt nhân. Ngoại lệ duy nhất là quá trình tiêu diệt ngoại ứng và phản rước, trong đó năng lượng chứa đựng ngoại ứng được giải phóng hoàn toàn. Nhưng sự hủy diệt cho đến nay chỉ được thực hiện với các hạt cơ bản.

Từ biểu thức (5), rõ ràng giữa năng lượng nghỉ và khối lượng nghỉ có sự tương ứng giống nhau như giữa $E$ và $m$ , nghĩa là các khái niệm này trùng khớp nhau. Nhưng sự khác biệt giữa năng lượng nghỉ $E_0$ và năng lượng tổng cộng (hoặc theo đó, giữa khối lượng nghỉ và khối lượng tương đối tính) là đáng kể. Khi xác định được điều kiện, năng lượng nghỉ có thể chuyển hóa thành các dạng năng lượng khác. Với quá trình này, đôi khi người ta nói về sự chuyển đổi khối lượng thành năng lượng. Đây là một biểu thức không thành công, nếu chỉ vì vẫn chưa rõ khối lượng và năng lượng mà chúng ta đang nói đến. Chỉ trong cơ học Newton mới có thể nói một cách rõ ràng về khối lượng mà không cần thêm bất cứ điều gì vào thuật ngữ này.

Để kết luận, chúng ta hãy quay lại một lần nữa với các công thức (1), (3) và (6). Câu hỏi tất yếu được đặt ra: tại sao tốc độ truyền sóng điện từ lại đóng vai trò quan trọng như vậy trong các công thức cơ học thuần túy? Thực tế là trong thế giới của chúng ta có tốc độ giới hạn trục hoành bằng $c$ , giá trị của nó là như nhau trong tất cả các hệ tọa độ. Đương nhiên, thực tế này không thể không liên quan trực tiếp đến các quy luật chuyển động của các vật thể, với các quy luật cơ học. Đó là lý do tại sao đại lượng $c$ được đưa vào tất cả các công thức của cơ học tương đối tính. Tình cờ nó lại có cùng tốc độ. Tốc độ giới hạn $c$ được gọi là tốc độ ánh sáng theo các nguyên tắc lịch sử thuần túy: sự đơn giản vì nó lần đầu tiên được gặp trong quang học.

Bài tập

Xác định sự phụ thuộc năng lượng của hạt có khối lượng nghỉ $m_0$ vào động lượng $p$ của nó. Sự phụ thuộc này có đặc điểm gì đối với các giá trị nhỏ và lớn của $p$ ?
Xác định sự phụ thuộc của năng lượng vào động lượng của phonan (tốc độ của phonan bằng tốc độ ánh sáng).
Chứng tỏ rằng tại biểu thức $v \ll c$ (6) cho động năng biến đổi thành công thức cổ điển.
Tìm hiệu chỉnh tương đối tính đối với động năng của một vệ tinh nhân tạo của Trái đất có khối lượng 10 $m$ , biểu diễn xung quanh Trái đất với tốc độ 8 $km/c$ .
Bán kính quỹ đạo của một hạt tích điện trong từ trường sẽ thay đổi như thế nào khi tốc độ của nó $v$ tiến gần đến tốc độ ánh sáng?