Масса и энергия в теории относительности

25

МАССА И ЭНЕРГИЯ
В ТЕОРИИ
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Один из самых пряных моментов
я истории математики — это момент,
когда выясняется, что два раздела
математики, которые ранее рассматривают отдельно и считались независимыми, в действительности являются двумя скрытыми формами одного и того же.

У. У. Сойер. «Прелюдия к математике»

Сказанное в эпиграфе относится не только к математике, но и к физике. Если бы околоста лет назад мы образили к физике с вопросом, не являются ли масса и энергия проявлением одного и того же свойства физических тел, то в ответ он только пожал бы плечами, что ознакомы бы:
«Какие страницы мысли могут иногда приходит в голову профамм!»
Из снисходения к нашей необразованности он мог бы разъяснить нам, что масса есть мера инертности тела, а энергия определяет способность тела совершать работу. Это совершенное развитие, потому что телу можно сообщить энергию, не меняя его массы. При этом он мог бы составлять на прямой опыт, напомнить, что масса холодного куска стали не меняется при его нагревании и плавления. Действительно, даже самые точные измерения не обнаруживают никаких изменений в esa при нагревании тела. Это было известно всем, и потому это лет назад мы, по всей веряностности, не задали бы такого вопроса.

Итак, по представлении прошло века, масса — неотъемлемое свойство тела. У тела можно ответить всю энергию, но не массу. Можно представить себе тело покоящимся в космосе вдали от других тел. тогда его температура близка к абсолотному нулю, а внешние поля, в том числе и поле тяготения, около него отсутствует. Такое тело не может совершать работы *), то есть его энергия равна нулю, но его инертность остается такой же, как и на Земле.

Наконец, физик прошло столетя добавил бы, что энергию вообще нельзя считать свойством, присутствим только самому телу. Так, кинетическая энергия стала, находящемся в комнате, равна нулю в системе координат, связанной с Землей, но в системе координат, покоящейся относительно Солнца, она во много раз превышает энергию летящого снаряда (относительно Земли). Масса же определяется свойством только самого тела.

Таков был бы ответ на поставленный вопрос до появления теории относительной математики. Сейчас мы знаем, что механика XIX века, которое объясно называют ньютоновской, классической или нерелятивистской механикой, применяется только в том случае, когда скорость тела мала по сравнению со скоростью света. Какже обстоит дело в релятивистской механике, где такого ограничения нет?

*) Строго говора, требуется еще, чтобы при этом не протекали химические реакции. Ядерных реакций физика прошло века не знала.

26

Прежде чем ответить на этот вопрос, посмотрим, что можно сказать об инертийном массе в нерелятивистской механике. Из школьного курса физики известно, что:

1. произведение массы на ускорение тела равно действующей на него силы;
2. произведение массы на скорость тела равно его импульсу;
3. масса тела не зависит от выбора системы координат;
4. масса изолированного тела сохраняется.

Из пункта 3 следует, что масса не должна зависеть от скорости. Действительно, скорость одного и того же тела в двух системах координат, движущихся друг относительно друга, различна. Если бы масса зависела от скорости, ее величины имела бы разные значения в этих координатных системах. В последнем пункте имеется в виду хорошо известный закон сохранения массы. Масса изолированного тела, на которое не действуют внешние силы, не может измениться в результате каких-либо внутренних процессов, произходящих в нем (например, вседействие изменения относительной скорости движения его части, возникающего из-за их взаимодействия).

Если масса тела не зависит от скорости, она не будет меняться и при действии внешних сил, ускорiousных тело. Таким образом, использование пункта 3 позволяет сформировать закон сохранения массы более широкого, чем это предполагается в пункте 4. Два функментальных свойств, приведенных в пунктах 3 и 4, обычно масса в ньютоновской механике оказывается важнейшей характеристикой физического тела. Именно благодаря этим свойствам масса считалась мерой количества материи, содержащейся в теле.

В релятивистской механике есть два понятия: релятивистская масса ($m$) и масса покоя ($m_0$), которые связаны между собой следующим соотношением:

$$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}},$$

где $v$ — скорость тела, $c$ — скорость света. Импульс $\mathbf{p}$ представляет в виде произведения релятивистской массы на скорость тела

$$\mathbf{p} = m\mathbf{v},$$

а энергия — в виде произведения

$$E = mc^2.$$

Как и в ньютоновской механике, если на тело не действуют внешние силы, то импульс $\mathbf{p}$ и энергия $E$, а следовательно, и релятивистская масса $m$ этого тела остаются неизменными.

Постотрим теперь, какую же величины следует назвать массой в релятивистской механике. Если импульс тела $\mathbf{p}$ за малый промежуток времени $\Delta t$ изменился на величины $\Delta \mathbf{p}$, то по законам ньютоновской механики относение $\Delta \mathbf{p}$ к $\Delta t$ равно действующей силе. Этот закон остается верным и в релятивистской механике:

$$\mathbf{F} = \frac{\Delta \mathbf{p}}{\Delta t} = \frac{\Delta (m\mathbf{v})}{\Delta t}.$$

Однако согласно формуле (1) величины $m$ зависит от скорости и изменяется за время $\Delta t$. Поэтому ее нельзя вывести из-под знака $\Delta$, то есть $\Delta (m\mathbf{v}) \neq m\Delta \mathbf{v}$. Поэтому из закона движения, описываемого уравнением (4), нельзя сделать вывод о пропорциональности векторов сил и ускорения. Следовательно, вопрос о свойствам, содержащем в пункте 1, отпадает.

Как видно из выражения (2), релятивистская масса обладает свойством 2 ньютоновской массы. Кроме того, из закона сохранения энергии следует, что в системе, изолированной от действия внешних сил, релятивистская масса сохраняется. Следовательно, она обладает и свойствам 4 ньютоновской массы.

27

К сожалению, на этом аналогии кончаются, поскольку $m$ зависит от скорости и соответственно от выбора системы координат. Таким образом, в этом отношении релятивистская масса сходна скорее с энергией, чем с ньютоновской массой: она не является характеристикой, зависящей только от исследуемого тела.

В отличие от релятивистской массы $m$, масса покоя $m_0$ определяет инертность тела, когда скорость тела $v$ равна нулю. Отсюда следует, что $m_0$ не меняется при переходе к движущейся системе координат. Как и ньютоновская масса, масса покоя определяется только самим телом и не зависит от того, в какой системе координат это тело рассматривается. Однако масса покоя не равна отношению абсолютного значения импульса $p$ к абсолютному значению скорости тела $v$ и не является коэффициентом пропорциональности между силой и ускорением.

Но главное отличие ньютоновской массы от массы покоя релятивистской механики состоит в том, что последняя не подчиняется закону сохранения. В качестве примера можно указать процесс аннигиляции электрона и позитрона, при котором эти две частицы превращаются в $\gamma$-кванты электромагнитного поля (фотоны). В результате аннигиляции электрон и позитрон исчезают, и вместо них появляются электромагнитные волны. Импульс $\mathbf{p}$ и энергия $E$ в такой системе сохраняются. Таким образом, должна сохраняться и полная релятивистская масса системы $m$. В то же время масса покоя системы меняется, поскольку вместо двух частиц (электрона и позитрона) с массой покоя, отличной от нуля, появляются $\gamma$-кванты, масса покоя которых равна нулю.

Другим примером является процесс деления ядер урана или плутония, который сопровождается образованием более легких ядер с меньшей суммарной массой покоя.

Итак, масса покоя также существенно отличается от ньютоновской массы. Строго говоря, в релятивистской механике вообще нет определенного понятия, которое можно было бы охарактеризовать свойствами, аналогичными свойствам «обычной» массы. Роль, которую играет эта величина в классической механике, распределяется между двумя величинами, каждую из которых можно, по-существу, с равным правом считать «наследником» ньютоновской массы.

Именно в таких ситуациях часто коренится причина трудности понимания новых теорий. Приписывая соответствие с объективной реальностью основным понятиям и терминам теории, мы, естественно, ожидаем от дальнейшего развития науки лишь уточнения этих понятий. В действительности же новая теория иногда очень непочтительно обходится «с реальностями» старой. По-существу, каждая новая теория заново определяет тот арсенал понятий и терминов, с помощью которых она собирается описывать реальность. Аналогия между терминами различных физических теорий часто оказывается очень неполной, и применение одинаковых названий при этом легко может ввести в заблуждение.

Сходная ситуация возникает с термином «кинетическая энергия». Нерелятивистская механика знала только два вида энергии — потенциальную и кинетическую. Кинетическая энергия обладает следующими двумя важными свойствами:

а) она обращается в нуль, когда скорость тела равна нулю;

б) если на тело не действуют внешние силы, энергия остается неизменной.

В релятивистской механике нет величины, которая обладала бы этими двумя свойствами одновременно. Энергия $E$, определенная равенством (3), обладает свойством б), но не обладает свойством а). При $v = 0$

28

она переходит в величину, называемую энергией покоя:

$$E_0 = m_0c^2. \qquad (5)$$

Выделим из полной энергии величину, характеризующую механическое движение тела:

$$T = E - E_0 =$$
$$= m_0c^2\left(\frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} - 1\right). \qquad (6)$$

Энергия $T$ обращается в нуль при $v = 0$. Однако она не сохраняется, поскольку, как уже отмечалось выше, масса покоя (и соответственно $E_0$) может меняться даже в отсутствие внешних сил.

Выходит, что и свойства обычной кинетической энергии распределились в релятивистской механике между двумя различными понятиями. Какое из них следует называть кинетической энергией? Это в значительной степени дело вкуса. Принято величину $T$ называть кинетической, а $E$ — полной энергией тела.

До сих пор мы говорили не об объединении, а скорее о «расщеплении» понятий. Теперь пришла пора оправдать слова, сказанные в эпиграфе.

Рассмотрим вопрос о соотношении массы и энергии. Учитывая сказанное выше, необходимо уточнить, о какой массе и какой энергии идет речь. В дальнейшем, если не сделано специальной оговорки, мы под массой будем понимать релятивистскую массу $m$, а под энергией — полную энергию свободного тела $E$. Тогда из соотношения (3) следует, что они отличаются лишь множителем $c^2$, а этот множитель — мировая постоянная, то есть величина, которая никогда и ни при каких условиях не может измениться. В таком случае любое утверждение, относящееся к массе, автоматически относится к энергии и наоборот. Например, любое увеличение или уменьшение энергии тела, скажем, при нагревании и охлаждении или при излучении,

должно приводить к соответствующему изменению его массы*). С другой стороны, любая форма энергии, в том числе электромагнитное излучение, обладает инертностью.

То, что масса и энергия измеряются различными способами (например, масса посредством взвешивания **), а энергия в калориметре), не может, конечно, считаться возражением против совпадения физического смысла этих понятий. Ведь мы постоянно встречаемся с ситуациями, когда одна и та же величина может быть измерена несколькими различными способами. Только теория может окончательно решить вопрос о том, являются ли две разные экспериментальные процедуры измерением одной и той же величины или они дают сведения о разных величинах.

Различие единиц, в которых выражаются масса и энергия, также несущественно. Так, температура тела обычно выражается в градусах, но ее часто выражают и в эргах или электронвольтах (энергетическими единицами для измерения температуры широко пользуются в термоядерных исследованиях). Различие единиц не означает различия физического смысла величин.

В теоретической физике часто используют систему единиц, в которой принимается, что $c = 1$. В этой системе скорость, конечно, оказывается отвлеченной величиной. Это означает, что любая скорость измеряется в долях скорости света, принятой за эталон. Вследствие этого скорости всех тел и сигналов, которые, как известно, никогда не превышают $c$,

---

*) Из формул (3) или (5) видно, что изменение массы тела при увеличении его энергии даже на значительную величину $\Delta E$ (например, вследствие нагревания его до очень высоких температур) ничтожно мало: $\Delta m = \dfrac{\Delta E}{c^2}$.

**) При этом используется равенство инертной и тяжелой масс, которые согласно общей теории относительности представляют собой физически одно и то же.

28

29

представляются неименованныеми дробными числами от 0 до 1, а наименования длины и времени совпадают. Действительно, только при этом условии скорость, то есть отношение расстояния ко времени, будет неименованной (безразмерной) величины.

Несмотря на все сказаноное выше, в нашем языке надолго, возможно насегда, останется два термина: энергия и масса. С точки зрения релятивистской механики было бы целесообразнее употреблять для обозначения величины, которые здесь имеются в виду, какое-то одно название. Однако разговорный язык формируется на основе повседневного опыта, а в нем релятивистские эффекты отсутствуют.

Полная энергия, или релятивистская масса, определяет лишь верхний предел работы, которое может совершить данное тело. В действительности в грамадном большинстве случаев в работе удается обратить лишьничтожную долю этой энергии. Это верно даже для ядерных реакций. Исключение составляется только процесс annihilation внешства и антишества, при котором энергия, заключенная в внешстве, освобождается полностью. Но annihilation пока осуществляется только с элементарными частицами.

Из выражения (5) видно, что между энергейой покоя и массой покоя существует такое же соответствие, как и между $E$ и $m$, то есть эти понятия совпадают. А вот различия между энергейой покоя $E_0$ и полной энергейой (или, соответственно, между массой покоя и релятивистской массой) существены. При определениях условий энергия покоя может переходить в другие виды энергии. Имея в виду этот процесс, иногда говорят о переходе массы в энергию. Это неуданное выражение, хотя бы потому, что остается невыясенным, о какой массе и какой энергии идет речь. Только в ньютоновской механике можно было недвусмысленно говорить о массе, не добавляя ничего к этому термину.

В заключение обратится еще раз к формулам (1), (3) и (6). Невольно возникает вопрос: почему в чисто механических формулах такую важную роль играет скорость распространения электромагнитных волн? Дело в том, что в нашем мире существует абсциссная предельная скорость, равная $c$, величина которой одинаковая во всех системах координат. Естественно, что этот факт не может не иметь прямого отношения к законам движения физических тел, к законам механики. Именно поэтому величина $c$ и входит во все формулы релятивистской механики. Случайно оказывается с такой же скоростью. Предельная скорость $c$ называется скоростью света по чисто историческим принципам: простот потому, что впервые встретились с ней именно в оптике.

Уражнения

1. Определить зависимости энергии частицы с массой покоя $m_0$ от ее импульса $p$. Какой характер имеет эта зависимость при малых и больших значениях $p$?
2. Определить зависимости энергии от импульса для фонана (скорость движения фонана равна скорости света).
3. Показать, что при $v \ll c$ выражение (6) для кинетической энергии переходит в классический формулу.
4. Найти релятивистскую поправку к кинетической энергии искусственного спутника Земли массой 10 $m$, выражаются вокруг Земли со скоростью 8 $km/c$.
5. Как будет меняться радиус траектории заряженной частицы в магнитном поле, когда ее скорость $v$ приближается к скорости света?