Гипербола

16

Гипербола

И. Н. Бронштейн

---

Что такое гипербола? На этот вопрос отвечают по-разному. Школьник ответит: «График обратной пропорциональности». Знакомый с коническими сечениями скажет: «Сечение прямого кругового конуса плоскостью, которая задевает обе его полы». А учащийся вуза или техникума даст ответ: «Множество таких точек на плоскости, что разность расстояний каждой из них до двух фиксированных точек одна и та же». В каждом определении используется какое-нибудь характеристическое свойство гиперболы, а остальные свойства могут быть выведены из определения.
В этой статье мы начнем со школьного определения гиперболы — из него сразу выявляется ее форма.

I. РАВНОСТОРОННЯЯ ГИПЕРБОЛА

График обратной пропорциональности

Читатели знакомы с определением гиперболы как графика обратной пропорциональной зависимости. Как будет видно, это — определение частного вида гиперболы — равносторонней гиперболы (происхождение такого названия выяснится позже). Именно этой кривой мы посвящаем первую часть статьи. Для краткости мы будем пока называть равностороннюю гиперболу просто гиперболой.

Две переменных $x$ и $y$ называются обратно пропорциональными, если их произведение постоянно:
$$xy = k. \tag{1}$$
Будем сначала считать их положительными (от этого ограничения мы

скоро избавимся); тогда и $k > 0$. Одно из них, например, $x$, может принять любое положительное значение, тогда другое $y$ должно принять только одно значение $y = \dfrac{k}{x}$. Таким образом, равенство (1) представляет собою при каждом $k$ определенную функцию с областью задания $x > 0$ и областью значений $y > 0$. График этой функции, изображенный на рисунке 1, называется одной ветвью равносторонней гиперболы, мы для краткости будем первое время называть его просто гиперболой, не только пропуская слово «равносторонняя», но и не повторяя слов «одна ветвь».

Наше определение опирается на понятие графика функции. Можно, однако, принять другую, «чисто геометрическую» формулировку: гиперболой называется множество четвертых вершин $M$ прямоугольников заданной площади $k$, у которых одна вершина $O$ совпадает с вершиной данного прямого угла, а две — $L$ и $N$ — лежат на его сторонах (см. рис. 1).

Точка $O$ называется центром гиперболы — происхождение этого названия выяснится дальше.

Через каждую точку $M_1$ с координатами $x_1$ и $y_1$ *) пройдет одна (но только одна!) гипербола — именно та, для которой постоянная $k$, входящая в определение гиперболы, равна $x_1 y_1$. На рисунке 2 для красной гиперболы $x_1 = 2,4$, $y_1 = 3,5$, $k_1 = 8,4$. Если мысленно изобразить на общем чертеже все гиперболы (то есть, гиперболы при всевозможных $k$), то они заполнят всю «внутренность» угла $XOY$. На рисунке 2, кроме красной гиперболы, изображено еще несколько: при $k = 1, 2, 3, 4, 5$ и $16$. Таким образом, гипербол — бесконечное множество, каждая из них определяется значением параметра $k$ **).

---

*) Это обычно обозначают так: $M_1(x_1, y_1)$.
**) Термин параметр (от древне-греческого parametron — отмеривающий) — применяется в математике в различных смыслах. Чаще всего это — величина, сохраняющая постоянное значение лишь в условиях данной задачи.

17

Рис. 1.

Рис. 2.

Форма гиперболы, ее вершина и асимптоты

Гиперболы с различными значениями параметра $k$ похожи друг на друга, но они не конгруэнтны — их нельзя совместить наложением. Однако легко доказать, что все они подобны, даже подобно расположены с центром подобия $O$. Читателю предлагается доказать это, пользуясь рисунком 3.

Опишем форму гиперболы (точнее — одной ветви равносторонней гиперболы), то есть перечислим ее свойства, прежде всего бросающиеся в глаза.

Гипербола имеет бесконечное протяжение — она не может вся поместиться на ограниченном куске плоскости. Какое бы большое число $A$ ни было задано, можно указать на гиперболе точку, удаленную от точки $O$ на расстояние, большее чем $A$ (докажите).

Гипербола симметрична относительно биссектрисы $OT$ угла $XOY$ (рис. 4), то есть для любой точки $M_1(x_1,y_1)$ гиперболы симметричная точка $M_2(x_2,y_2)$ также принадлежит этой гиперболе (докажите).

Точка $A$ пересечения гиперболы с ее осью симметрии $OT$ называется вершиной гиперболы. Каждая координата вершины гиперболы с параметром $k$ равна $\sqrt{k}$. Расстояние вершины от центра гиперболы (его будем обозначать $a$) равно $OA=\sqrt{2k}$. Вершина — ближайшая точка гиперболы от центра (докажите).

В отличие от окружности, которая одинаково искривлена во всех своих частях, гипербола сильнее всего искривлена в окрестности своей вершины, а по мере удаления от нее в любую сторону «распрямляется». Мы не даем доказательства этого очевидного свойства гиперболы; не будем

Рис. 3.

Рис. 4.

2 «Квант» № 3

17

18

доказывать и другого важного свойства гиперболи — главности во всех ее точках *). Доказательства обихскойств требуют знания основныхференциального исчисления.

Остановимся на наиболее замечательном свойстве гиперболи, определяем ее форму: точка, бесконечно удаляющаяся по гиперболе в одну сторону будет неограниченно приближаться к одной оси координат, а точка, бесконечно удаляющаяся в другой стороны — неограниченно приближаться к другой оси координат **). Это свойство математически формул狸ют так: оси координат OX и OY являются ее асимптотами (от греческого asimptotos — несовпадаюший).

Докажем это свойство гиперболи. Возьмем на ней точку $M_1$, лежащую правее вершины $A(x_1 > V\sqrt{k})$, расстояние $y_1$, которое до оси OX меньше $\varepsilon$ (рис. 5). Это всегда можно сделать, взяв $x_1 > \frac{k}{\varepsilon}$. Тогда $M_1N_1 = y_1 = \frac{k}{x_1} < \varepsilon$ и для всех точек $M(x, y)$ гиперболи, лежащих правее $M_1$, $x > x_1$ и $y = \frac{k}{x} < y_1 < \varepsilon$, то есть ось OX является асимптотой гиперболи. Из симметрики кривой следует, что и ось OY является ее асимптотой.

Зная вершину гиперболи и ее асимпtotы, можно довольно точно вычертить гипербoly от рук.

Определение равносторонней гиперболи. Сопряженные гиперболи

Изучая график обратной пропорциональности, мы считали $x$ и $y$ положительных. Это делалось лишь для

*) Кривая называется главкой или плавой в данной ее точке, если в этой точке существует касательная к кривой.
**) Слова «неограниченно приближаться» означает, что какое бы малое число $\varepsilon > 0$ ни задать, можно указать на гиперболе такую точку, что ее расстояние до оси координат становится меньше $\varepsilon$ и при дальнейшем удалении будет оставаться меньше $\varepsilon$.

Удобства изложения. Функция, заданная равенством (1), определяна не только для положительных, но и для отрицательных значений $x$; число $k$ также может быть отрицательным: График функции (1) мы и будем называть метер гиперболой (равносторонней). Он состоит из двух одинаковых частей (ветвей), расположенных при $k > 0$, в I и III четвертых плоскости, а при $k < 0$ — во II и IV четвертых.

На рисунке б изображены две равносторонние гиперболи — красная и синия; их параметры имеют один и тот же модель, но противоположные знаки. Такие равносторонние гиперболи называются взаимно сопряженными.

Перечислим некоторые свойства «полной» равносторонней гиперболи* (они оченьны; читатель без труда проверяет их доказательства). Гипербола имеет центр симметрики $O$ (позтому мы и назвали эту точку центром гиперболи), две симметричные ветви, две оси симметрики $PR$ и $ST$ (биссектрисы координатных углов), две вершины ($A$ и $A'$ для красной, $B$ и $B'$ — для синия гиперболи). Расстояние между вершинами гиперболи ($AA' = BB' = 2\sqrt{2k}$) называется осью гиперболи. Ее положину $\sqrt{2k}$ (полу-

*) Слова «полная» взято нами в кавычки, чтобы подчеркнуть, что прежнее определение гиперболи было непользовать только к одной ветви гиперболи.

19

Рис. 6.

ось) обозначают $a$, таким образом,
$$k = \pm \frac{a^2}{2},$$
где знак «+» для гиперболы, лежащей в I и III четвертях, а «—» — во II и IV. Обе сопряженные гиперболы имеют общие взаимно перпендикулярные асимптоты.

Уравнение равносторонней гиперболы. Гипербола и окружность

Уравнение гиперболы, определяемой как график обратной пропорциональности, это — известное нам равенство $xy = k$. Мы запишем его в несколько иной форме: вместо параметра $k$ введем в (1) полуось $a$. Поскольку $k= \pm \dfrac{a^2}{2}$, где знак «+» для красной, «—» — для синей гиперболы, уравнения обеих гипербол примут вид
$$xy = \pm \frac{a^2}{2}. \tag{2}$$

Каждое из этих двух уравнений называется уравнением гиперболы относительно асимптот. Этими словами выражают, что осями координат в данном случае являются асимптоты гиперболы.

Уравнение любой линии зависит не только от ее формы и размеров, но и от того, как она расположена в плоскости координат. Возьмем теперь (рис. 7), в плоскости кроме системы координат $XOY$ («старой»), другую систему координат $X'OY'$, получающуюся поворотом осей $OX$ и $OY$ на $45°$ против часовой стрелки. Возьмем любую точку $M$ плоскости, на которой введены обе системы координат. Она имеет 4 координаты: старые $(x, y)$ и новые $(x', y')$. Можно доказать, что старые координаты выражаются через новые следующими формулами:
$$x = \frac{\sqrt{2}}{2}(x' - y'), \quad y = \frac{\sqrt{2}}{2}(x' + y'). \tag{3}$$

2*

Рис. 7.

Докажите это, когда точка $M$ лежит внутри угла $X'OY$ — в этом случае все ее 4 координаты положительны.

Формулы (3) можно доказать и для всех других возможных положений точки $M$.

Рассмотрим теперь сопряженные гиперболы, асимптотами которых служат прямые $OX$ и $OY$ (рис. 7), новые оси $OX'$ и $OY'$ служат осями симметрии этих гипербол). В старых координатах они имеют уравнения $xy = \pm \dfrac{a^2}{2}$. Если подставить в эти уравнения формулы (3), то получим уравнения этих же гипербол в новых координатах, то есть уравнения двух сопряженных гипербол относительно осей симметрии:
$$x'^2 - y'^2 = \pm a^2.$$

В дальнейшем мы не будем возвращаться к старым координатам и поэтому не будем ставить штрихов ни у названий осей координат, ни у самих координат точек наших гипербол; оси будем чертить, как обычно, горизонтально и вертикально (рис. 8). Уравнения двух сопряженных гипербол будут такие
$$x^2 - y^2 = a^2 \tag{4}$$
и $x^2 - y^2 = -a^2$ (или $y^2 - x^2 = a^2$).

Обе эти гиперболы «вневписаны» в квадрат $pqrs$ со стороной $2a$; общими их асимптотами являются продолжения диагоналей $pr$ и $qs$ этого «фундаментального» квадрата.

Рис. 8.

19

20

Изменя параметр $a$, мы получим бесконечное множество гипербол с общими асимптотами.

Интересно, что окружность, вписанная в фундаментальный квадрат, имеет уравнение, сходное с (4):

$$x^2 + y^2 = a^2.$$

Сравнение уравнения (4) и (4a) показывает, что равносторонняя гипербола и окружность в некотором смысле родственны между собой, несмотря на то, что они совсем не похожи друг на друга.

II. ГИПЕРБОЛА ОБЩЕГО ВИДА

Определение гиперболы общего вида

Из статьи «Эллипс» читатели знают, что, если подвергнуть окружность преобразованияю растяжения — скатания (РС)*, то она перейдет в эллипс. Нас будет интересовать фигура, в которой перейдет каждой из равносторонних гипербол, изображенных на рисунке 9 штиrxовыми линии, в результате PC относительно оси симметрии $A'A$.

Фундаментальный квадрат $pqr$ этих гипербол перейдет в прямоугольник $PQRS$ (на рис. 9), его диагонали $pr$ и $qs$ перейдет также в прямые $PR$ и $QS$.

Сопряженные (красная и синяя) равносторонние гиперболы перейдет в результате PC в красную и синюю сплошные линии. Каждая из них также состоит из двух ветвей и симметрина относительно средних линей функentialного прямоугольника $PQRS$, диагонали которого служат асимптотами этих кривых. Но эти новые линии уже не будут конгрузентины. Мы будем назвать их по-прежнему сопряженными друг другу гиперболами.

Кривую, состоящую из двух ветвей и полученную в результате PC «полной» равносторонней гиперболы относительно средней линии функentialного квадрата, называют гиперболой общего вида или простого перьолой.

*) См. «Квант», 1975, № 1, c. 2

21

Рис. 11.

ветвь равносторонней гиперболы.
А именно (рис. 10): гиперболой (мочее — одной ее ветьью) называется множество четырьмя вершин M параллелограммов заданной площади k, у которых одна вершина O совпадает с вершиной данного угла, а две — L и N — лежат на его сторонах. Это определяние равностороннего предыдущего (доказите).

Каноническое уравнение гиперболы

Уравнение гиперболы общего вида, отвеченное к ее осям симметрии, зависит от того, лежат ее вершины на оси OX или на оси OY. Получить уравнение обих гипербол (красной и синей) можно из уравнения (4) равносторонних гипербол совершенного таким же способом, как было получено уравнение эллипса из уравнения окружности *). Приводим эти уравнения:

$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \text{ (красная)},$$

$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1 \text{ (синяя)};$$

здесь a и b — получи сопряженных гипербол (см. рисунок 9).

Уравнение (5) отличается от уравнения эллипса $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, вписанного в тот же фундаментальный прямогольник, тем, что влевой части y обих членов разные знаки. Замечательное сходство эллипса и гиперболы!

*) См. «Квант» № 1, с. 5. Вывести уравнение (5) из уравнения (4) представляем читателю.

III. ГИПЕРБОЛА — КОНИЧЕСКОЕ СЕЧЕНИЕ

Сходство эллипса и гиперболы на этом не ограничивается. Известно, что эллипс — наклонное сечение кругового цилиндра.

Докажем, пользовясь геометрическим определением гиперболы, что каждая гипербола может быть получена как сечение некоторого кругового конуса плоскостю, параллельной его оси.

При доказательстве мы будем рассматривать только одну гиперболь — наше свойства для точек в сей гиперболь следует из симметрины обих пол.

Дана ветвь гиперболы и ее асимптоты OX и OY, пересекающие под углом $\omega$ (рис. 11, a). По определению, для каждой ее точки площадь параллельграма ONML одна и та же — она равна ON·OL·sin $\omega$.

Обозначим произведение ON·OL, построенное для любой точки M гиперболы, через k: ON·OL = ML $\times$ MN = k. Проведем через M перепendикуляр QQ’ к оси симметрины гиперболы; он пересечет асимптоты OX и OY в точках Q и Q’. Произведение отрезков MQ и MQ’ — тоже построено для любой точки ветви гиперболы M. Действительно, MQ = 2·MN·sin $\omega/2$,

$$MQ' = 2ML \cdot \sin \omega/2,$$

$$MQ \cdot MQ' = 4k \cdot \sin^2 \omega/2 = (k')^2,$$

22

где $k' = 2\sqrt{k}\sin \omega/2$. Отрезок длиной $k'$, средний пропорциональный для отрезков $MQ$ и $MQ'$, один и тот же для всех $M$ может быть получен известным построением: на отрезке $QQ'$ как на диаметре, строим полукругность $QPQ'$ и проведем отрезок $MP$ параллельно оси гиперболи, до пересечения с этой окружностью, $MP = k'$.

Повернем теперь полукругг $QPQ'$ вокруг диаметра $QQ'$ на $90^\circ$ (рис. 11,6). Отрезок $MP$ станет вертикально над плоскостью чертежа 11a (будем считать ее горизонтальной). Точка $P$ станет над точкой $M$ на расстоянии $k'$ от нее ($P'$). Проделаем это с каждым полукругом, построенным указыанным образом для любой точки гиперболи. В результате все гипербола поднимается над плоскостью, в которой она лежала, на расстояние $k'$ и остanetся в одной плоскости. В то же время каждая полукругность $QPQ'$, повернуть на $90^\circ$, будет лежать на круговом конусе, полученным врашением асимптоты $OX$ гиперболи вокруг ее оси (доказите). Следовательно, точка $M$ нашей гиперболи (в поднятом положении) лежит и на поверхности конуса, и в плоскости, параллельной оси этого конуса, что и требовалось доказать.

Рис. 12.

Это замечательное свойство относится не только к сечению кругового конуса плоскостью, параллельной его оси, но и к любому сечению, задавощему обе полы конуса. Этот факт, относящийся к общей теории конических сечений, мы здесь не будем доказать *).

Фокальное свойство гиперболи

Известно, что эллипс обладет замечательным «фокальным» свойством: в его плоскости существует также точки $F_1$ и $F_2$ (фокусы), что с умма расстояний каждой точки $M$ эллипса до его фокусов одна и та же — она равна длине большей оси эллипса:

$$F_1M + F_2M = 2a.$$ (6)

Похожее свойство имеет и у гиперболи. В ее плоскости существует две точки (фокусы гиперболи), что разность расстояний каждой точки $M$ гиперболи для этих мочек одна и та же — она равна расстоянию между вершинами гиперболи:

$$F_1M - F_2M = 2a.$$ (7a)

Здесь $F_1$ — фокус, более удаленный от $M$, чем $F_2$ (рис. 12). Оба фокуса лежат на оси симметрины гиперболи, проходящей через вершины $A$ и $A'$; расстояние каждого фокуса от центра гиперболи равно

$$F_1O = F_2O = c = \sqrt{a^2 + b^2},$$

где $a$ и $b$ — длины полуосей данной гиперболи и ее сопряженной **). Важная связь между темя «элементами гиперболи $a$, $b$ и $c$

$$c^2 = a^2 + b^2$$ (8)

анаалогична связи $c^2 = a^2 - b^2$ для эллипса.

На рисунке 12 точка $M$ лежит на правой ветви гиперболи; для любой точки $M'$ на левой её ветви фор-

*) Об этом будет расссказано в «Кванте» № 5.
**) Доказывать фокальное свойство гиперболи мы здесь не будем. Читатель предлагается получить это доказательство самостоятельно — см. задачу М313 в этом номере журнала (с. 46).

23

мула (7а) будет иметь вид:
$$F_2M - F_1M = 2a.$$ (76)

Для сопряженной ей гиперболы (синей) фокусами будет $F'_1$ и $F'_2$. Все 4 фокуса взаимно сопряженных гиперболл лежат на окружности, центр которого — в центре гиперболы, а радиус равен половине диагонали OQ примугольника PQRS,Fundamentalного для обих гипербол.

Фокальное свойство часто принимается за определение гиперболы.

Вычерчивание гиперболы непрерывным движением

На фокальном свойстве основано вычерчивание гиперболы при помощи двух нитей, аналогичное известному вычерчиванию эллипса. Положим лист бумаги на чертежную доску и наколем на лист бумаги две канцелярские кнопки $F_1$ и $F_2$ (рис. 13). Возьмем две нити, разность длины которых (2a) меньше расстояния между кнопками (2c), конец каждой нити привязем к ножкам кнопок, а оставшиеся концы свяжем узлом (точка C). Держа теперь узел в левой руке, защищим обе нити острием карандаша $M$ и будем двигать карандаш на бумаге, так, чтобы обе нити $F_1MC$ и $F_2MC$ были все время в натянутом положении. Тогда острие $M$ карандаша все время находится на одной ветви гиперболы с фокусами $F_1$ и $F_2$ и длиной оси $2a = F_1M - F_2M$ (при $CMF_1 > CMF_2$), так как
$$F_1M - F_2M = (F_1M + MC) - (F_2M + MC) = 2a.$$
Для вычерчивания второй ветви следует поменять местами кнопки с привязанными к ним нитями. Вычерченные дуги гиперболы будут тем длине, чем длинее нити.

Приложение гиперболы в военном деле

Требуется определить на карте, как нужно направить ordine, чтобы порасть неподвижную звучащую цель, например, стрелляющее ordine противника (рис. 14).

По обе стороны ordine $O$ расположают симметрично относительно $O$ два пункта $F_1$ и $F_2$, в которых фиксируется время doisшего до них звука выстрела вражеского ordine $M$. Пусть этот звук слышен в пункте $F_1$ в момент $t_1$, а в пункте $F_2$ — в момент $t_2$. Если $t_1 = t_2$, то, очевидно, $F_1M = F_2M$ и ordine $O$ следует направить по перpendикуляру $OK$ к $F_1F_2$. Если же $t_1 \neq t_2$, то $|t_1 - t_2|$ есть $\frac{2a}{v}$, где $v$ — скорость звука в воздухе, а $2a$ — разность расстояний $|F_1M - F_2M|$ от пунктов $F_1$ и $F_2$. Значит, ordine находится на одной ветви гиперболы с фокусным расстоянием $F_1F_2 = 2c$ и расстоянием между вершинами $2a = v|t_1 - t_2|$, именно — на той