Средства вычислений

30

СРЕДСТВА ВЫЧИСЛЕНИЙ

Л.С. Хренов

ЭКВМ «Искра-110»

Стремление механизировать вычисления с помощью различных средств возникло в глубокой древности. На Руси различные средства вычислений применялись уже при строительстве первых каменных храмов в Новгороде, Киеве и других городах.

За последние десятилетия в средствах вычислений произошли большие качественные изменения, которые трудно сравнить даже с таким этапом, как появление логарифмов.

Такой качественный скачок в развитии вычислительной техники, и особенно счетных машин, был вызван развитием технического прогресса во всех отраслях народного хозяйства, что потребовало проведения в громадных объемах различных вычислений.

Теперь, в зависимости от точности исходных данных и целей проведения вычислений, пользуются различными средствами — номограммами, таблицами, приборами и счетными машинами.

Номограммы

Номограммы, представляющие графические изображения функциональной зависимости, строятся для какой-либо одной формулы или одного уравнения. Поэтому эффективность их использования при вычислениях зависит от массовости вычислительных операций по данной формуле. Номограммами пользуются для быст-

рого выполнения расчетов, не требующих большой точности (2—3 значащие цифры), или для контроля более точных вычислений. Основным элементом каждой номограммы является функциональная шкала, графически изображающая некоторую функцию $y = f(x)$ на линии*).

Таблицы

Таблица — это совокупность численных значений данной функции, соответствующих определенным, последовательно расположенным значениям аргумента.

В Вавилоне еще за 2 000 лет до н. э. были созданы таблицы, содержащие значения $n^2$, $n^3$, $n^2 + n^3$, $1/n$ и других функций. Повышение требований к точности вычислений привело к созданию в XV веке большого количества различных таблиц.

Быстрое развитие астрономии в XVI веке предъявляло повышенные требования к точности вычислений, что вызвало изобретение логарифмов. Логарифмы, которыми мы пользуемся теперь, были предложены независимо друг от друга шотландцем Дж. Непером (1550—1617) и швейцарцем И. Бюрги (1552—1632).

В 1703 году в России была опубликована «Таблица логарифмов на числа от 1 до 1000 и синусов, тангенсов, секансов к научению мудролюбивых тщателей».

Дальнейшее развитие науки и техники вызвало необходимость разработки и создания, особенно начиная с середины XVII века, таблиц, содержащих значения самых раз-

---

*) См. для примера статью Ю. В. Матиясевич «Первое знакомство с номограммами», «Квант», 1971, № 5.

31

личных функций. А в первой половине нашего столетия всевозможных таблиц издано в несколько раз больше, чем за все предшествующие столетия.

В практике вычислений широкое применение находят математические таблицы, представляющие функции, главным образом, одного аргумента: $y = f(x)$, с шагом для аргумента, позволяющим применять линейную интерполяцию.

Из таблиц, содержащих значения элементарных функций, широко используются всемирно известные таблицы Барлоу, содержащие значения функций $n^2, n^3, \sqrt{n}; \sqrt{10n}, \sqrt[3]{n}$, и $1/n$ для аргументов $n$ от 1 до 15 000 с шагом в одну единицу.

Из логарифмических наиболее часто применяются таблицы десятичных логарифмов чисел, их сумм и разностей, а также логарифмов тригонометрических функций; они составлены с разным числом десятичных знаков в мантиссе, а наиболее употребительны — с 4—8.

При выборе для вычисления таблиц логарифмов необходимо учитывать количество верных значащих цифр логарифмируемых чисел, представляющих обычно не точные, а приближенные значения. Приближенно можно считать, что абсолютная погрешность десятичного логарифма равна половине относительной погрешности логарифмируемого числа, то есть следует пользоваться таблицами десятичных логарифмов с таким числом десятичных знаков в их мантиссах, сколько верных значащих цифр имеет логарифмируемое число, или на единицу больше.

Широкое использование различных счетных машин привело к замене логарифмических вычислений нелогарифмическими. В связи с этим особое значение приобретают таблицы, содержащие натуральные значения функций.

В отличие от таблиц логарифмов, число десятичных знаков после запятой в таблицах натуральных зна-

чений, скажем, тригонометрических функций, не вполне характеризует их точность. Такие таблицы содержат значения тригонометрических функций, абсолютная погрешность которых не превосходит $0,5 \times 10^{-n}$, где $n$ — число знаков после запятой. Относительная погрешность их будет резко меняться. Пользование такими таблицами приводит к потере точности результатов при вычислениях с функциями малых углов.

Так, например, если в прямоугольном треугольнике $ABC$ допустить, что его катеты соответственно равны $AB = 0,45$ $\mathit{м}$, а $BC = 103,13$ $\mathit{м}$, то при этих данных, пользуясь пятизначными таблицами натуральных значений тригонометрических функций, получим

$$\mathrm{tg}\, \sphericalangle ACB = \frac{AB}{BC}; \quad \sphericalangle ACB = \alpha = 0°15',$$

а гипотенуза

$$AC = \frac{BC}{\cos\alpha} = \frac{103,13}{0,99999} \approx 103,13\ \mathit{м};$$

с другой стороны,

$$AC = \frac{AB}{\sin\alpha} = \frac{0,45}{0,00436} \approx 103,21\ \mathit{м},$$

то есть получается разница в значении стороны $AC$ на $0,08$ $\mathit{м}$.

Если же пользоваться таблицами с пятью значащими цифрами, то относительная погрешность будет в пределах

$$0,5 \times 10^{-5} \leqslant \Delta\delta \leqslant 0,5 \times 10^{-4};$$

в них $\cos 0°15' = 0,99999$, а $\sin 0°15' = 0,0043633$, и

$$AC = \frac{0,45}{0,0043633} \approx 103,13\ \mathit{м},$$

то есть ошибки в вычислении стороны $A$ не будет.

При выборе для вычислений таблиц натуральных значений тригонометрических функций следует отдавать предпочтение таблицам, в которых значения всех шести функций даются с одинаковым числом значащих цифр, а не с одинаковым числом десятичных знаков.

Первыми дошедшими до нас тригонометрическими таблицами были таблицы, составленные К. Птолемеем (II в.) Они были помещены в его знаменитом сочинении «Альмогест» — величайшем памятнике астрономии. Основой же современных таблиц тригонометрических функций являются фундаментальные таблицы, составленные Рэти-

34

произведение

$$y = \Delta y_1 \Delta y_2 \dots \Delta y_n,$$

здесь $y_i = e^{\Delta x_i}$.

Шкала $DF$ на корпусе и аналогичная ей шкала $CF$ на движке представляют собой обикновенные логарифмические шкалы, но только сдины каждая на величины $x$. Следовательно, числу $x$ на шкале $C$ соответствует число $x$ на шкале $CF$.

Вторая сизу шкала $CI$ на движке, как и шкала $R$ на нормальной логарифмической линейке, является «обратной» шкалой, предназначена для вычисления значений $1/x$, то есть обратных значений чисел $x$, нанесенных на шкале $C$.

Шкала $CF$ служит для вычисления значений величины $1/x$. Например, для вычисления $q=1/πx$ при $x=2,6$ поступают так. На обратной стороне линейки совмещают начальные шрихи движка с начальных шрихами на корпусе и в таком положении движка устанавливают взир бегунка на шрих, соответствующей на шкале $D$ заданному числу $2,6$ и на шкале $CF$, пользовясь взиром, читают число $0,1224$, являющиеся исключим результатом, то есть $q=0,1224$.

На лицевой стороне бегунка нанесены (кроме основного указаателя визира) два коротких красьх шриха. Они нанесены так, что расстояния между основным взиром и каждой из крайних линейек соответствует на шкале $A$ относению $\pi/4 \approx 0,785$. С помощью этих шрихов можно быстро вычислять, например, площадь кругга.

Так, для вычисления площади кругга $S$ при диаметре $d=5$ м основной взир (можно любой из трех шрихов на бегунке) совмещают со шрихом 5 на основной шкале $D$ лицевой стороны корпуса линейки, а по короткуму левому (красному) шриху прочитывают на шкале квадратов $A$ значение площади $S=19,63 \ m^2$.

Счетные машины

Сейчас создано несколько сотен типов различных машин. Однако все многообразие их можно разделить на две группы: машины нерерывного действия и машины дискретного действия, но иначе называемые «счетно-фровыми машинами». Для машин первого категория характерна сравнительно ограниченной точностью получаемых результатов, в них математические величины (входные, промежуточные и выходные) изображаются в виде конкретных физических величины, количественные характеристики которых соответствуют изображаемыми имми числам (например, длина отрезка изображается наряжением, площадь — перемещением и т.п.). Самым простым примером вычислительной устройства непрерывного действия является планметр, при помощи которого на чертежах вычислют площади фигур *).

В машинах дискретного действия, позволяющих в принципе получить результат с неограниченной точностью, решения задачи сводится к последовательному выполнению отдельных арифметических действия. В таких машинах все математические величины (исходные, промежуточные и окончательные) изображаются как совокупности цифр в позиционной системе численения. Это и служит основанием называть такие устройства машинами дискретного действия. Они бывают с ручной и автоматической установкой исходных данных.

Машины с ручной установкой исходных данных делятся на суммирующие, предназначаемые применительно для сложения и вычитания чисел, и на малые вычислительные машины; последние разделяются на механические (рычажные «Феликс») и клавишные «ВК-1» арифметуры), электронные (автомат «BMM-2») и получатомат «BMP-2»), решения («Вильhic», «Вятка») и электронные. Из них наиболее современными являются электронные классические вычислительные машины (ЭКВМ), позволяющие автоматически выполнять не только все арифметические действия, но

*) См. статью Л. Е. Садовский, А. Л. Садовский «Как измеряют площадь», «Квант», 1973, № 10.

35

и извлекать корни, вычислять натуральные значения тригонометрических функций и производить ряд других действий.

Отечественной промышленностью серийно выпускаются различные ЭКВМ: «Искра», «Электроника», «Гелати», «Rasa», десятиклавишная электронная машина «ЭДВМ».

«Искра-110» позволяет производить (с учетом знака и запятой) четыре арифметических действия, а также вычисления типа $a^n + bp^n$ и другие. На ней все операции выполняются с 8-разрядными числами; положение запятой в числе устанавливается соответствующим переключением. На ЭКВМ «Электроника-ДД» можно производить не только четыре арифметических действия, но и вычисления с процентами, извлекать квадратные корни и выполнять различные комбинированные вычисления. Для получения результаты вычислений с определенным числом верных знаков после запятой служат клавиши положения запятой «0», «2», «4» и «6», расположенные на панели клавиатуры левее клавиш набора чисел. А наличие в этой машине блока памяти позволяет производить слож-

ные вычисления и полуавтоматически (без записи промежуточных результатов и повторного набора чисел) извлекать квадратные корни по итерационной формуле

$$y_n = \left(\frac{x}{y_{n-1}} + y_{n-1}\right)/2,$$

где $x$ — подкоренное выражение, $y_{n-1}$ — приближение корня. При этом итерации при вычислении заканчиваются при получении последовательных приближений, совпадающих в требуемом количестве разрядов.

На рисунке 5 показана электронная десятиклавишная счетная машина «ЭДВМ». На ней можно автоматически производить различные вычисления с 16-разрядными числами, а также полуавтоматически извлекать корни $n$-й степени, возводить числа в $n$-ю степень и вычислять натуральные значения тангенса и котангенса с 10 верными знаками.

В последнее время выпускается ЭКВМ «Электроника-70», позволяющая производить еще вычисление десятичных и натуральных логарифмов, показательных функций, тригонометрических и обратных тригонометрических функций.

---

Советы начинающим репетиторам

(см. с. 24)

Как заниматься с клиентом

Самое ответственное занятие — первое. Нужно сразу же завоевать безоговорочное доверие поступающего. Для этого запаситесь какой-нибудь монографией, предназначенной специально для аспирантов. Подберите в ней вопрос, над которым ученые безуспешно бьются в течение последних 15 лет. В результате вы отчетливо покажете абитуриенту, что без вашей

помощи ему не на что рассчитывать.

В последнее время у родителей наметилась явная тенденция подыскивать репетиторов из того вуза, который данное чадо намерено

осчастливить. Пойдите им навстречу. Нечаянно оброненное имя ректора создаст необходимый эффект. Более близкие отношения с ректором вы можете подчеркнуть, заметив, что это очень милый и неглупый человек.

Техника дальнейших занятий исключительно проста. Задача состоит лишь в максимальном уплотнении групп. Объединяйте по 10, 15 учеников, пределов здесь нет. Забегая вперед, отметим, что этот метод имеет и определенный материальный стимул. Если, скажем, вы одновременно обучаете не одного, а тринадцать учеников, то нетрудно подсчитать, что и доход за каждый час увеличивается в 13 раз!

(Продолжение см. на с. 43)

3*

35