Решения задач М273—М279; Ф285—Ф290

48

М273. На отрезке $0 \leq x \leq 1$ задана функция $f$. Известно, что эта функция неотрицательна и $f(1) = 1$. Кроме того, для любых двух чисел $x_1$ и $x_2$ максимум, что $x_1 \geq 0$, $x_2 \geq 0$ и $x_1 + x_2 \leq 1$, выполняено неравенство
$$f(x_1 + x_2) \geq f(x_1) + f(x_2).$$
a) Докажите, что какова бы ни была функция $f$, удовлетворяющая перечисленным условиям, для всех $x$ будем выполнен неравенство $f(x) \leq 2x$.
6) Верно ли, что для всех $x$ $f(x) \leq 1,9x$?

M274. Найдите наименьшее число вида
a) $|11^k - 5^l|$;
b) $|36^k - 5^l|$;
c) $|53^k - 37^l|$,
где $k$ и $l$ — натуральные числа.

a) Функция, удовлетворяющая условию задачи, многотоно возвращает. В самом деле, если $x_2 \geq x_1$ и $x_2 \leq 1$, то $f(x_2) \geq f(x_1) + f(x_2 - x_1)$ и $f(x_2 - x_1) \geq 0$; следовательно, $f(x_2) \geq f(x_1)$. Поэтому если $\frac{1}{2} < x \leq 1$, поскольку $f(1) = 1$, имеем
$$f(x) \leq 1 \leq 2x.$$
Пусть теперь $0 < x \leq \frac{1}{2}$. Возьмем такое натуральное $n$, чтобы $\frac{1}{2} < nx \leq 1$ (понятно, что это всегда можно сделать). Легко доказать (по индукции), что если $x \geq 0$ и $nx \leq 1$, то $f(nx) \geq nf(x)$. Для $\frac{1}{2} < nx \leq 1$ уже доказано, что $f(nx) \leq 2 \cdot nx$.
Позному $nf(x) \leq f(nx) \leq 2 \cdot nx$, открывая $f(x) \leq 2x$ и для $0 < x \leq \frac{1}{2}$.
Осталось только выяснить, что будет в нуле. Возьмем $0 < x_1 \leq 1$; тогда
$$f(x_1) = f(0 + x_1) \geq f(0) + f(x_1).$$
Но по определению $f(0) \geq 0$, значит, $f(0) = 0$.
6) Ответ: нет, не верно.
Приведем пример. Зададим функцию следующим образом:
$$f(x) = \begin{cases} 1, & \frac{1}{2} < x \leq 1, \\ 0, & 0 \leq x \leq \frac{1}{2}. \end{cases}$$
Если $1 \geq x_1 \geq x_2 \geq 0$ и $x_1 + x_2 \leq 1$, то $x_2 \leq \frac{1}{2}$ и $f(x_2) = 0$.
Следовательно, $f(x_1 + x_2) \geq f(x_1) + f(x_2)$ и рассматриваем функцию удовлетворяет требованиям задачи.
В то же время
$$f\left(\frac{51}{100}\right) = 1 > 1,9 \cdot \frac{51}{100}.$$

◆
a) Если $11^k > 5^l$, то число $|11^k - 5^l|$ оказывается на 6; если $11^k < 5^l$, то на 4.
Легко видеть, что $|11^k - 5^l| = 4$ при $l = 3$, $k = 2$, то есть 4 — наименьшее число вида $|11^k - 5^l|$.
6) Если $36^k > 5^l$, то число $|36^k - 5^l|$ оказывается на 1; если же $36^k < 5^l$, то на 9.
При $k = 1$, $l = 2$ имеем $|36^k - 5^l| = 11$.
Докажем, что 11 — наименьшее число такого вида. Для этого нужно показать, что $|36^k - 5^l|$ не может равнять ни 1, ни 9.

49

1. Если $36^k - 5^l = 1$, то $(6^k - 1)(6^k + 1) = 5^l$.
   No число $6^k + 1$ не может быть степенью 5, так как оканчивается на 7 (при $k > 0$).

2. Если $5^l - 36^k = 9$, то тогда $5^l = 9 + 36^k$, чего также не может быть, так как правая часть при $k > 0$ делится на 9, а левая – нет. Значит, 11 — наименьшее число вида $|36^k - 5^l|$.

в) Число $N = |53^k - 37^l|$ может оканчивать любой четной цифрой. Кроме того, поскольку $|53^k - 37^l| = |(52 + 1)^k - (36 + 1)^l| = |(4.13 + 1)^k - (4.9 + 1)^l|$, то $N$ делится на 4. При $k = l = 1$ $N = 53 - 37 = 16$. Докажем, что 16 — наименьшее число вида $|53^k - 37^l|$. Для этого достаточно показать, что $N$ не может равняться 4, 8 и 12 ($N$, очень видно, не равно 0, так как 53 и 37 взаимно просты).

Имеем $N = |53^k - 37^l| = |(54 - 1)^k - (36 + 1)^l| = |(6.9 - 1)^k - (4.9 + 1)^l|$.

Позному при делении $N$ на 9 в остатке могут получаться только 0,2 и — 2 (то есть 7). Но ни 4, ни 8, ни 12 этих остатков при делении на 9 не дают.

И. Н. Климова

M275. a) На плоскости данных $n$ векторов, длина каждого из комorbix равна 1. Сумма всех $n$ векторов равна нулевому вектору. Докажите, что векторы можно заимеревать так, чтобы при всех $k = 1, 2, \dots, n$ выполнялось следующие условия: сумма первых $k$ векторов имеет длину не более 3.
б) Докажите аналогично утверждение для $n$ векторов с суммой 0, длина каждого из комorbix равна 1. b) Может ли заменить число 3 в задаче a) меньше? Постраящее уличимое оценку также в задаче 6).

Рассмотрим вначале «одномерную» задачу.
Лемма 1. Пусть данно $n$ чисел, таких, что каждое по модулю не превосходит 1, а сумма всех равна 0. Тогда их можно заимеревать так, чтобы при любом $i \leq n$ сумма первых $i$ из них была по модулю не больше 1.

Укажем один из способов наполнительные: $a_1, \dots, a_k$ и неположительные: $b_1, \dots, b_{n-k}$. Положим $c_1 = a_1, c_2 = b_1$. Если $c_1 + c_2 < 0$, положим $c_3 = a_2$; если $c_1 + c_2 \geq 0$, положим $c_3 = b_2$. И вообще, если $c_1, \dots, c_l$ уже выбраны, то при $c_1 + \dots + c_l < 0$ применя за $c_{l+1}$ очередное положительное число, а при $c_1 + \dots + c_l \geq 0$ — очередное положительное число.

Опираясь на лемму 1, решим задачу M275 6). Приложим все данные векторы к некоторой точке $O$ и выберем прямую систему координат $Oxy$ так, чтобы сумма $s$ всех векторов, смотрящих вверх ($v > 0$), была направлена в точности по оси $y$. (Вопрос, как построить такую систему координат, мы обсудим позже.) Остальные векторы (смогрицие вниз) даут тогда в сумме — $s$.

Сначала заимереемся векторами, смотрящими вверх. Их составляющие по оси $x$ обозначим через $p_1, \dots, p_k$. Так как составляющая $s$ по оси $x$ равна 0, то $p_1 + \dots + p_k = 0$. По модулю каждое из чисел $p_1, \dots, p_k$ не превосходит 1. По лемме 1 заимереем числа $p_1, \dots, p_k$ так, чтобы при всяком $i \leq k$ сумма первых $i$ из них была по модулю не больше 1. Тем самым мы заимереем векторы, смотрящие вверх, так что при всяком $i \leq k$ сумма первых $i$ из них будет лежать в полосе $|x| \leq 1$ (рис. 1). Составляющие этих векторов по оси $y$ (в выбранном порядке) обозначим через $a_1, \dots, a_k$.

Так же заимереем векторы, смотрящие вверх, и их составляющие по оси $y$ называем $b_1, \dots, b_{n-k}$.

Теперь перейдем к сквозной нумерации всех данных векторов. Каждый из чисел $a_1, \dots, a_k$ заключено между 0 и 1, каждое из чисел $b_1, \dots, b_{n-k}$ — между 0 и — 1, а сумма их равна 0. Не меняя относительной порядка чисел $a_1, \dots, a_k$ и относительной порядка чисел $b_1, \dots, b_{n-k}$, выпишем их по лемме 1 в виде набора $c_1, \dots, c_n$ так, чтобы при любом $i \leq n$ заимереем неравенство $|c_1 + \dots + c_i| \leq 1$. Таким образом, мы заимереем все данные векторы так, что при всяком $i \leq n$ сумма первых $i$ из них будет расположено

50

ложена в полосе $|y| \leq 1$. При этом (благодаря предварительной нумерации чисел $a_1, \dots, a_k$ и $b_1, \dots, b_{n-k}$) всякая такая сумма лежит в полосе $|x| \leq 2$.

Итак, мы доказали, что $n$ данных векторов можно создать через $v_1, \dots, v_n$ так, что при всяком $i \leq n$ сумма $v_1 + \dots + v_i$ лежит в прямогольнике $|x| \leq 2$, $|y| \leq 1$, и, значит, $|v_1 + \dots + v_i| \leq \sqrt{5}$.

Заметим еще 1. Остается обосновать построение системы $Oxy$.

Разобъем все данные векторы на два класса, сумму векторов первого класса обозначим через $s$ (тогда сумма векторов второго класса будет — $s$). Всевозможных разбиений на два класса всего $2^n$ (важно, что их конечное число). Выберем из них такое, для которого $|s|$ принимает наиболее значение, и направление именно этого вектора $s$ примет за направление оси $y$.

(Убедитесь, что построенная система $Oxy$ обладает нужным нам свойством.)

Заметим и не е2. Из приведенного построения оси $y$ видно, что ни один из данных векторов не перпендикулярен ей, следовательно, мы верно говорили о векторах, «смотрящих вниз» (вместо более осторожного «не вверх»).

У пряжене 1. Пусть в пространстве данного $n$ векторов, таких, что каждый по modulo не превозходит 1, а сумма всех равна 0. Докажите, что их можно занумеровать так, чтобы при любом $i \leq n$ сумма первых $i$ из них имела длину меньше $C$, где: а) $C = \sqrt{21}, 6)$* $C = \sqrt{20,5}$.

Перейдем к задаче $M275$ а).

Лемма 2. Пусть каждый из векторов $e_1, \dots, e_r$ имеет длину 1, длина $e_0$ не больше 1, и $e_0 + e_1 + \dots + e_r = 0$. Тогда среди векторов $e_1, \dots, e_r$ найдется либо один вектор $e_i$, либо пара векторов $e_j$ и $e_k$, которые в сумме с $e_0$ дают вектор $e$ длины не больше 1 (либо $|e_0 + e_i| \leq 1$, либо $|e_0 + e_j + e_k| \leq 1$). Во втором случае $|e_0 + e_j| < \sqrt{2}$.

Докажитеательство. Начертим два луча, $OA$ и $OB$, образующие с $e_0$ углы в $120^\circ$ (рис. 2). Если среди $e_1, \dots, e_r$ найдется вектор, лежащий внутри (или на сторонах) $AOB$, то его и примем за $e_i$.

Пусть такого вектора среди $e_1, \dots, e_r$ нет. Проведем тогда через точку $O$ прямую $CD \perp e_0$. Среди векторов $e_1, \dots, e_r$ образательно оказывается вектор, лежащий внутри $AOC$ или внутри $BOD$ (инчете не выполняется условие $e_0 + e_1 + \dots + e_r = 0$). Пусть для определения хотя бы один из векторов $e_1, \dots, e_r$ лежит внутри $BOD$. Ближайший к $OB$ из таких векторов называем $e_j$, а луч, направленный противоположно ему, обозначим через $OE$. Хотя бы один из векторов $e_1, \dots, e_r$ лежит внутри $AOE$ (инчете опять не выполняется условие $e_0 + e_1 + \dots + e_r = 0$). Ближайший к $OA$ из этих векторов называем $e_k$, угодли $e_j$ и $e_k$ обозначет и с $e_j$ и $e_k$ угодл, больше 60°. Значит, вектор $e_j + e_k$ лежит внутри $AOB$, и следовательно, $|e_0 + e_j + e_k| \leq 1$. При этом $|e_0 + e_j| < \sqrt{2}$.

Из леммы 2 сразу следует, что в задаче $M275$ а) векторы можно занумеровать так, чтобы при всяком $k \leq n$ сумма первых $k$ векторов имела длину $\sqrt{2}$ (доказательство — индукцией по $n$).

Усложняя доказательство, можно еще улучшить оценку в задаче $M275$ а), а именно — заменить $\sqrt{2}$ на $\frac{\sqrt{5}}{2}$.

У пряжене 2. Получите в задаче $M275$ а) оценку $\frac{\sqrt{5}}{2}$. Докажите, что улучшить эту оценку уже нельзя, то есть

51

Рис. 3.

M276. Дан квадрат ABCD. Точки P и Q лежат соответственно на сторонах AB и BC, причем $|BP| = |BQ|$. Пусы H — основание перpendicularа, опущенного из точки B на отрезок PC. Доказите, что уелол DHQ — прямой.

Рис. 4.

M277. Задано несколько красных и несколько синх мочек. Некоторые из них соединены отрезками. Наозем мочек «особой», если более поливны из соединенных с ней мочек имеем цвет, отличный от ее цвета. Если есть хотя бы одна особая моcka, то выбрается любая особая моcka и перекрашивается в другой цвет. Доказите, что через конечное число шадов не останется ни одной особой мочки.

**M278. a) Каждая из сторон вынуклою шестицелюльника имеет длину больше 1. Всегда ли в нем найдется покажите, что для любого положительного $C < \frac{\sqrt{5}}{2}$ можно указать на плоскости $n$ единчных векторов с суммой 0, таких, что, как бы их обозначать через $v_1, \dots, v_n$, при некотором $k$ оказывается справедливым неравенство $|v_1 + \dots + v_k| > C$.

Было бы интересно получить неулучшаемую оценку и в задаче M275 6) (автору она неизвестна). Впрочем, для целей, ради которой предлагалась задача M275, точная оценка как раз не нужна. Упомняют цель — доказательство комплисной теоремы Римана (см. «Квант», 1973, № 9, «От перемены мест слагаемых», упражнения 22 и 23).

У пряжене и 3. Опираясь на M275 6), выполните упражнение 22 из статьи «От перемены мест слагаемых».

M. Л. Гервер

Рассмотрим подобное преобразование плоскости, переводящшее треугольник BHC в треугольник PHB; это — центрально-подобный поворот на угол 90° с центром в точке H и коэффициент подобия $k = \frac{|BH|}{|HC|} = \frac{|PH|}{|HB|}$ (рис. 4). При этом подобном преобразованиями три вершины B, C, D квадрата ABCD должны перейти, разумеется, в три вершины квадрата: B — в P, C — в B, следовательно, D — в Q (введ $|PB| \perp |BQ|$ и $|PB| = |BQ|$ по условию). Отсюда следует, что Q получается из D подобным преобразованием, состоящим из готовети с коэффициентом $k$ и поворота на 90° вокруг точки H.

Следовательно, $DHQ = 90^\circ$ (одновременно мы доказали, что $\frac{|QH|}{|HD|} = \frac{|BH|}{|HC|}$).

Читатели и участники Всегоизной олимпиды прошло года, на котором была предложена эта задача, указали много различных решений, не использовших «геометрических преобразований». Например, $\triangle BHQ \sim \triangle CHD$, поскольку $\frac{|HB|}{|HC|} = \frac{|PB|}{|BC|} = \frac{|BQ|}{|CD|}$ и $HBQ \cong HCD$ (стороны этих углов перепределились); отсюда $BHQ \cong CHD$, следовательно, $QHD = BHC = 90^\circ$.

H. Б. Васильев

Наозем отрезок «особым», если его концы имеют разный цвет. Заметим, что точка является «особой», если более поливны выходящих из нее отрезков — «особы». Поэтому при перекрашивании любой «особой» точки общее число «особых» отрезков уменьшается. Поскольку все «особых» отрезков не меньше нуля, а при каждом шаге их число уменьшается по крайней мере на единицу, мы через конечное число шагов получим систему, в которой ни одну из точек перекрашить нельзя и, следовательно, нет особых точки.

И. Н. Клумова

Ответ. a) Не всегда; 6) всегда.

a) Возьмем правильный треугольник со сторонами 2 (на рис. 5 он — пунктирный). Из середины его сторона восстанавливаем его сторону перепределуры, отложим на них

52

Диагональ длины больше 2?
6) В выпуклом шестиугольнике ABCDEF длины диагональной AD, BE и CF больше 2. Всегда ли у него найдется сторона длины больше 1?

Рис. 5.

M279. На n карточек, выложенных по окружности, записаны числа, каждое из которых равно +1 или -1. За какое наименьшее число вопросов можно наверняка определить произведение всех n чисел, если за один вопрос разрезается узнать:
a) произведение чисел на любых трех карточек?
b) произведение чисел на любых трех карточек, лежащих подряд? (n — натуральное число, больше 3.)

Рис. 6.

Обоизначим записанные на карточек числа через $a_1, a_2, \dots, a_n$, а исключим число вопросов через $p$.

a) Прежде всего заметим, что каждое из данных чисел должно войти хотя бы в одно из произведений, значения которых мы выяснем, задавая наш вопрос, либо в противном случае, изменив знак у числа, записанного на неиспользованной карточеке, мы изменим знак произведения всех чисел, сохранить при этом прежними ответы на все заданные вопросы. (Это и показывает, что на основании полученных ответов нельзя определить произведение всех чисел.) Поскольку одним вопросом мы узнали произведение трех чисел, то $p \geq \frac{n}{3}$.

Если $n=3k$, то k вопросов достаточно. Выясив, чем равны k произведений $a_1a_2a_3, a_4a_5a_6, a_7a_8a_9, \dots, a_{3k-2}a_{3k-1}a_{3k}$, и переменных полученные результаты, мы найдем произведение всех чисел.

Если $n=3k+1$, то $p \geq k+1$. Покажем, что при $k>1$ за $(k+1)$ вопросов можно узнать произведение всех чисел.

Выясним, чем равны $(k+1)$ произведений $a_1a_2a_3, a_1a_2a_4, a_1a_2a_5, a_6a_7a_8, a_9a_10a_11, \dots, a_{3k}a_{3k+1}a_{3k+2}$, и задав при этом $k+2$ вопроса (в произведениях участвуют 3k сомножитель по одному разу, а сомножители $a_1$ и $a_2$ — по три раза, то есть $3k+6$ сомножитель). Покажем, что $k+1$ вопросов недостаточно.

В $k+1$ произведений входят $3k+3=n+1$ сомножитель; но так как каждое из $n$ написанных на карточек чисел должно выйти хотя бы в одно из этих произведений, то одно число (назовем его a) входит в два произведения: $abc$ и $ade$, а каждое из остальных чисел входит в одно произведение. Но, заменив числа a, b и d, мы не изменим ни одного из полученных ответов, изменив при этом произведение всех на карточек чисел; значит, на основании полученных $k+1$ ответов нельзя это произведение.

53

Итак, ответ в задаче а) таков:
если $n=3k$, то $p=k$,
если $n=3k+1$, то $p=k+1$ (кроме случая $n=4$),
если $n=3k+2$, то $p=k+2$.

б) Если $n=3k$, то, как и в задаче а), $p=k$. Пусть $n$ не делится на 3.

Заметим, что в условиях задачи б) задавать вопросы можно о значениях лишь таких $n$ произведений:
$a_1a_2a_3,\ a_2a_3a_4,\ \dots,\ a_{n-2}a_{n-1}a_n,\ a_{n-1}a_na_1,\ a_na_1a_2.$ (*)

Задав все $n$ вопросов, мы узнаем куб произведения $a_1a_2\dots a_n$, а значит, и само произведение — ведь оно равно 1 или $-1$. Покажем, что $n-1$ вопросов для нахождения произведения $a_1a_2\dots a_n$ недостаточно.

Задав $n-1$ вопросов, мы будем знать все произведения (*), кроме одного. Так как мы могли начать нумерацию карточек с любой из них, то можно считать, что не задавался вопрос о значении произведения $a_1a_2a_3$.

Пусть $n=3k+1$. Заменив на противоположные числа $a_2$ и $a_3$, $a_5$ и $a_6$, $a_8$ и $a_9$, …, $a_{3k-1}$ и $a_{3k}$, а также число $a_1$, мы изменим знак всего произведения $a_1a_2\dots a_n$ (так как заменяются $2k+1$ чисел). Но поскольку в каждом из произведений (*), кроме произведения $a_1a_2a_3$, о котором мы ничего не спрашиваем, меняются два сомножителя, то мы об этой перемене знака всего произведения ничего не узнаем, задав $n-1$ вопросов.

Пусть $n=3k+2$. Снова, заменив на противоположные числа $a_4$ и $a_5$, $a_7$ и $a_8$, $a_{10}$ и $a_{11}$, …, $a_{3k+1}$ и $a_{3k+2}$ и $a_2$, мы изменим знак всего произведения $a_1a_2\dots a_n$ (так как опять заменяется нечетное количество чисел) и снова сб этой перемене мы не узнаем, поскольку опять во всех произведениях (*), кроме произведения $a_1a_2a_3$, меняется по два сомножителя.

Итак, о т в е т к задаче б) таков:
если $n$ не делится на 3, то $p=n$;
если $n$ делится на 3, то $p=\dfrac{n}{3}$.

Теперь мы видим, что в задаче а) при $n=4$ $p=4$.

Ю. И. Ионин

Рис. 7.

Ф285. В неотапливаемом помещении работает холодильник с терморегулятором. В момент подключения холодильника к сети температура на улице, в помещении и в холодильнике была одна и та же. Считая температуру на улице постоянной, изобразите приближенно на графиках, как менялась температура в помещении после подключения холодильника.
Рассмотрите три случая:

1. холодильник пустой;
2. заполнен продуктами;
3. дверца холодильника открыта.
   Все три графика зависимости температуры от времени начертить на одном рисунке.

◆

Холодильная машина работает по принципу, обратному принципу работы тепловой машины: над рабочим телом — газом-агентом — совершается определенная работа, а тепло передается от холодного тела к горячему телу. При этом горячему телу передается не только тепло, которое отбирается от холодного, но и тепло, эквивалентное произведенной работе. В домашнем холодильнике (см. рис. 7) сжиженный газ-агент, испаряясь, забирает тепло у стенок испарительной камеры. Затем этот газ снова сжижается в конденсаторе, передавая тепло окружающему воздуху.

Если дверца холодильника открыта, то тепло отбирается испарителем от окружающего воздуха и передается конденсатором тому же воздуху в комнате. Воздух получает также тепло, эквивалентное совершенной работе, и тепло, выделяющееся в подводящих проводах и в обмотке электродвигателя компрессора. Поэтому при открытой дверце холодильника температура в комнате будет непрерывно повышаться до тех пор, пока количество тепла, поступающего в комнату, не станет равным количеству тепла, которое уходит из комнаты на улицу. Терморегулятор при этом работать не будет. График изменения температуры в комнате показан на рисунке 8 черной линией.

Теперь рассмотрим закрытый холодильник. Вначале температура внутри холодильника (в холодильной камере) будет понижаться, а в комнате розышаться, причем несколько

54

более быстрого, чем в случае открытого холодильника, так как теперь теплоотбирается не от воздуха в комнате, а от воздуха, который находится в ограниченном объеме шкафа, и отделяется воздуха в комнате. Термпература в комнате при этом может стать как выше $T_1$, так и ниже. Это зависит от интенсивности теплобмена между комнатом и улицей и от той температуры внутри холодильника, при которой сравняется терморегулятор (т. е. от времени работы холодильника до его выключения). Когда термература в холодильнике достигает заданной, терморегулятор отключит холодильник от сети, и термература внутри холодильника будет постепенно повышаться за счет теплобмена через стенки холодильника. Затем холодильник опять включается, термература в комнате будет попажаться и т. д. График зависимости температуры внутри холодильника от времени — синяя линия на рисунке 8.

В соответствии с колебанями температуры в холодильной камере меняется и температура в комнате. Но как в момент отключения холодильника от сети температура конденсатора выше температуры в комнате, то температура в комнате еще неокоторое время повышается, несмотря на то, что холодильник не работает. Затем температура в комнате уменьшается, пока холодильник вновь не включается, и т. д. Если терморегулятор хорошо, то есть он включает холодильник уже при необходимости повышения температуры внутри шкафа, то холодильник работает почти непрерывно.

Так как при этом из холодильника в комнату передается сравнительно небольшое количество теплла, поступащего через стенки холодильника, то холодильник совершает небольшую работу. Термература в комнате нанет уменьшается, стремясь к неокоторой постоянной температуре (ниже $T_1$). Если терморегулятор плохой, то холодильник будет отключаться на большое время, если теплобмен его с комнатом плохой, и на сравнительно небольшое время, если этот теплобмен хорошо. Этим определяются(colбания температуры и то среднее значение, к которым стремиется температура в комнате. Одна из кривых зависимости температуры в комнате от времени показана на рисунке 8 красной линия.

Когда холодильник наполнен продуктами, увеличивается как время, в течение которого холодильник включает, так и время, в течение которого он выключен. В соответствии с этим меняется и период(colбания температуры в комнате.

Рассмотрим один из витковружины, например, виток ABC (рис. 9). При деформацииружины половины этого витка поворачивается, отклоняясь от горизонтальной пло-

55

ли, что если один конец ее закрепить, а другой повернуть на угол φ вокруг оси, то возникает момент упругих сил $M=k\varphi$. После этого из проволоки навили пружину радиуса $R$ с шагом много меньше $R$. Рассчитать коэффициент упругости пружины (считать, что упругие свойства стали после навивки пружины полностью восстанавливаются).

а)

б)

в)

г)

Рис. 10.

Ф287. Канал проходит по мосту над шоссе. Изменится ли давление на мост, если по каналу движется один раз пустая, а другой — нагруженная баржа?

Ф288. Сосуд С (рис. 11) сообщается с окружающим пространством через малое отверстие. Температура газа в окружающем пространстве Т, давление р. Газ настолько разрежен, что молекулы при пролете в сосуд и из сосуда на протяжении размеров отверстия не сталкиваются друг с другом. В сосуде поддерживается температура 4Т. Каким будет давление в сосуде?

скости на одинаковые углы α. Если деформация пружины мала, то мал и этот угол α. В сечении В на проволоку со стороны нижней части пружины действует сила F и момент силы F, равный $M=FR$, где R — радиус витков пружины. Напряжения, уравновешивающие силу F, в R/r раз меньше напряжений, уравновешивающих момент M (докажите это; r — радиус сечения проволоки), и ими можно пренебречь. Это означает, что, рассматривая деформацию пружины, мы можем считать, что она связана с чистым закручиванием проволоки вокруг ее оси. Найдем, как связано растяжение пружины с углом φ, на который закручивается проволока. Ясно, что сечение С при растяжении пружины не поворачивается. Ведь при растяжении пружины верхняя АС и нижняя СВ части витка поворачиваются на одинаковые углы в разные стороны. Очевидно, что не поворачиваются и сечения А и В. (Они только слегка отклоняются в плоскости, перпендикулярной к рисунку, в соответствии с изменением наклона витка.)

Простой наклон половины витка ВС на угол α вызовет поворот сечений В и С на угол α (рис. 10, а, б). Но сечения В и С должны остаться ориентированными так, как в недеформированной пружине. Повернем их последовательно на угол α. Поворот сечения С вызовет закручивание половины витка на угол α по часовой стрелке (рис. 10, в). На такой же угол закручивается проволока при повороте на угол α сечения В (рис. 10, г). Следовательно, половина витка поворачивается на угол 2α. Весь же виток закручивается на угол 4α, вся проволока — на угол φ=4nα, где n — число витков пружины.

Так как длина одного витка равна $2\pi R$, а длина проволоки $l$, то $n=\dfrac{l}{2\pi R}$ и $\varphi=\dfrac{2l\alpha}{\pi R}$.

Очевидно, что удлинение пружины на одном витке (см. рис. 9) равно $2\Delta h=4R\sin\alpha$, или, так как угол α мал и $\sin\alpha\approx\alpha$, $2\Delta h\approx4R\alpha$. Удлинение всей пружины (на n витках) равно $\Delta H=4nR\alpha$. Обозначим коэффициент упругости пружины через μ. Тогда $F=\mu\Delta H$. С другой стороны, $M=FR$, то есть $F=\dfrac{M}{R}$. Следовательно, $\mu\Delta H=\dfrac{M}{R}=\dfrac{k\varphi}{R}$. Отсюда

$$\mu=\dfrac{k\varphi}{R\Delta H}=\dfrac{k4n\alpha}{R4nR\alpha}=\dfrac{k}{R^2}.$$

◆

Давление на мост определяется уровнем воды в канале. Если по каналу движется баржа, то, строго говоря, уровень воды повышается тем больше, чем более тяжелая баржа. Однако практически уровень воды во всем канале, конечно, остается прежним, так как объем воды, вытесненной баржей, очень мал по сравнению с общим объемом воды в канале.

◆

Давление газа в сосуде равно $p_1=n_1kT_1=4n_1kT$, где $n_1$ — концентрация молекул в сосуде (число молекул в единице объема) и k — постоянная Больцмана. Вне сосуда давление равно $p=n_2kT$ ($n_2$ — концентрация молекул в окружающем пространстве). Следовательно,

$$p_1=4p\dfrac{n_1}{n_2}.$$

Таким образом, для того чтобы найти давление в сосуде, достаточно определить отношение концентраций молекул газа в сосуде и в окружающем пространстве. Для нахождения этого отношения воспользуемся тем, что газ в сосуде находится в равновесии.

При равновесии число молекул газа, вылетающих из

56

Рис. 11.

сосуда, равно числу молекул газа, влетающих в сосуд за то же время. Для простоты рассуждений будем считать, что скорости всех молекул газа при установившейся температуре одинаковы и равны средней квадратичной скорости, соответствующей этой температуре. Кроме того, будем считать, что молекулы двигаются вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений, одно из которых перпендикулярно к плоскости сечения отверстия, причем, все направления равновероятны. Тогда по направлению к отверстию движется $1/6$ часть всех молекул, имеющихся в сосуде. За время $\Delta t$ из сосуда вылетают те молекулы, которые находятся от отверстия на расстоянии, равном $v_1\Delta t$, где $v_1$ — скорость молекул в сосуде. Так как концентрация молекул в сосуде равна $n_1$, то за время $\Delta t$ из сосуда вылетают $1/6\, n_1 v_1 \Delta t \Delta S$ молекул ($\Delta S$ — площадь отверстия). Аналогично найдем, что в сосуд извне влетает $1/6\, n_2 v_2 \Delta t \Delta S$ молекул, где $v_2$ — скорость молекул газа в окружающем пространстве. В условиях равновесия $n_1 v_1 = n_2 v_2$. Отсюда найдем, что отношение концентраций молекул равно

$$\frac{n_1}{n_2} = \frac{v_2}{v_1}.$$

Но, как известно, средняя квадратичная скорость движения молекул связана с температурой газа формулой $\dfrac{m\overline{v^2}}{2} = \dfrac{3kT}{2}$

($m$ — масса молекулы). Следовательно,

$$v_1 = \sqrt{\frac{12kT}{m}}, \quad v_2 = \sqrt{\frac{3kT}{m}} \quad \text{и} \quad \frac{n_1}{n_2} = \frac{1}{2}.$$

Используя это соотношение, найдем давление газа в сосуде:
$$p_1 = 2p.$$

◆

Рис. 12, а.

Ф289. По сторонам прямого угла скользит жесткая палочка длины $2l$, в центре которой закреплена бусинка массы $m$. Скорость точки $B$ постоянна и равна $v$ (рис. 12, а). Определить, с какой силой действует бусинка на палочку в тот момент, когда $\alpha=45°$.

Рис. 12, б.

Рассмотрим бусинку. На нее действуют две силы — сила тяжести $m\mathbf{g}$ и сила $\mathbf{Q}$ реакции палочки. Согласно второму закону Ньютона

$$m\mathbf{g}+\mathbf{Q}=m\mathbf{a}.$$

Следовательно, если мы найдем ускорение бусинки, то тем самым определим силу $\mathbf{Q}$. А по третьему закону Ньютона сила $\mathbf{N}$, с которой бусинка действует на палочку, равна по абсолютной величине силе $\mathbf{Q}$.

Нарисуем несколько положений палочки (рис. 12, б). Из рисунка видно, что бусинка (точка $C$) находится все время на одном и том же расстоянии от вершины прямого угла. Это следует из того, что в прямоугольном треугольнике медиана, соединяющая вершину прямого угла с серединой гипотенузы, равна половине гипотенузы.

Итак, бусинка движется по окружности радиуса $l$, скорость $v_c$ бусинки всегда направлена по касательной к этой окружности, а центростремительное ускорение равно

$$a_\mathrm{ц} = \frac{v_c^2}{l}.$$

В любой момент времени полная скорость бусинки складывается из горизонтальной и вертикальной составляющих. По условию задачи скорость точки $B$ постоянна и равна $v$. Из соображений подобия горизонтальные скорости и всех остальных точек тоже постоянны, причем горизонтальная скорость бусинки равна $\dfrac{v}{2}$. Это означает, что ускорение бусинки и сила $\mathbf{Q}$ направлены по вертикали!

В тот момент, когда $\alpha=45°$, скорость $v_c$ бусинки направлена вдоль палочки, а ее вертикальная и горизонтальная со-

57

Рис. 12. в.

ставляющие одинаковы по величине и равны $\dfrac{v}{2}$ (рис. 12, в).

Следовательно, полная скорость бусинки в этот момент равна

$$\sqrt{2}\,\dfrac{v}{2}\ .\ \text{Поэтому}\ a_{\text{ц}} = \dfrac{v_c^2}{l} = \dfrac{v^2}{2l}\ \text{и}$$

$$a = \sqrt{2}a_{\text{ц}} = \dfrac{v^2}{\sqrt{2}\,l}\ .$$

Тогда из второго закона Ньютона

$$Q = mg - ma = m\left(g - \dfrac{v^2}{\sqrt{2}\,l}\right),$$

и

$$|\mathbf{N}| = |\mathbf{Q}| = m\left(g - \dfrac{v^2}{\sqrt{2}\,l}\right).$$

◆

Ф290. Трубка, в которой находится пружинка с прикрепленным к ней шариком, может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через конец трубки. Свободный конец пружинки прикреплен к трубке (рис. 13). График зависимости силы упругости пружины $F$ от деформации представлен на рисунке 14.

Нарисуйте примерный график зависимости смещения шарика вдоль трубки от угловой скорости при увеличении ее от нуля до такой величины, когда $F=5\text{н}$. Как изменится эта зависимость при уменьшении угловой скорости? $l_0 = 2$ см.

Рис. 13.

Рис. 14.

Будем считать, что угловая скорость $\omega$ вращения трубки меняется медленно, так что при каждом значении $\omega$ шарик находится в равновесном состоянии относительно трубки, а в неподвижной системе отсчета шарик движется по окружности радиуса $l_0+\Delta l$ ($\Delta l$ — изменение длины пружины). Так как центростремительное ускорение $a=\omega^2(l_0+\Delta l)$ сообщается шарику силой упругости пружины, то согласно закону Ньютона

$$m\omega^2(l_0+\Delta l)=F_{\text{упр}}. \qquad (*)$$

Для того чтобы решить задачу, необходимо из уравнения (*) найти зависимость $\Delta l$ от $\omega$ или, что удобнее, $l=l_0+\Delta l$ от $m\omega^2$.

Зависимость силы упругости пружины от удлинения пружины задана графически, поэтому уравнение (*) мы будем решать тоже графически. Перерисуем график, сдвинув начало координат в точку с координатой $-l_0$ (рис. 15). Теперь по оси абсцисс у нас отложена полная длина $l$ пружины. Если из начала координат провести прямую линию, то координатами точки пересечения этой прямой с графиком будут значения $F_{\text{упр}}$ и соответствующей ей длины пружины $l$, а тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс будет равен $F_{\text{упр}}/l$, то есть $m\omega^2$.

Чтобы построить график зависимости $l$ от $m\omega^2$, проведем из начала координат пучок прямых и отметим все точки пересечения прямых с графиком. Затем, зная значения $l$ и соответствующие им значения $m\omega^2=\mathrm{tg}\alpha$, будем отмечать их на графике зависимости $l$ от $m\omega^2$. Из рисунка 15 видно, что при углах $\alpha<\alpha_1$, то есть при $m\omega^2<\mathrm{tg}\alpha_1$, каждая из проведенных прямых пересекается с графиком $F_{\text{упр}}(l)$ только в одной точке, и каждому значению $m\omega^2$ соответствует одно значение $l$. При $\alpha_1<\alpha<\alpha_2$ прямая пересекает график в трех точках (при $\alpha=\alpha_1$ и $\alpha=\alpha_2$ — в двух), то есть одному и тому же значению $m\omega^2$ соответствуют три значения $l$. Отметим их все на графике, оставив пока в стороне вопрос о том, что означает такая многозначность. При $\alpha>\alpha_2$, то есть при $m\omega^2>\mathrm{tg}\alpha_2$, каждая из прямых опять пересекается с графиком только в одной точке и каждому значению $m\omega^2$ соответствует одно значение $l$. Соединив все нанесенные точки плавной кривой, мы получим график, показанный на рисунке 16 черной линией. Рассмотрим этот график более подробно.

При $m\omega^2<\mathrm{tg}\alpha_1$ и при $m\omega^2>\mathrm{tg}\alpha_2$ каждому значению угловой скорости соответствует одно значение $l$. Здесь все ясно. Но при $\mathrm{tg}\alpha_1<m\omega^2<\mathrm{tg}\alpha_2$ имеется три разных значения $l$ для каждого значения $m\omega^2$. На каком же расстоянии от оси вращения находится шарик? Прежде всего ясно, что шарик не

58

может нахождение на таком расстоянии, которое соответствует точке $B_2$ графика (см. рис. 15). Действительно, предположим, что из-за каких-либо случайных причины шарик следует отклоняться от этого положения равновесия, так что $l$ увеличилось на $\Delta x$. Для того чтобы шарик врашался, находясь на расстоянии $l + \Delta x$ от оси, сила упрустки должна возрасти. В нашем же случае сила упрустки, как видно из рисунка, уменьшалась. Следовательно, эта сила не может сообщить шарику необходимое для его движения центристремительноеускорение, и шарик будет продолжать движаться вдоль трубки к положению $B_3$. Таким образом, точка $B_2$ соответствует положению неустойчивого равновесия шарика. Аналогично можно показать, что точки $B_1$ и $B_3$ соответствуют положения устойчивого равновесия шарика.

Позному при $tg\alpha_1 < m\omega^2 < tg\alpha_2$ шарик может нахождение в положениях, соответствующих участкам графика $A_1C_1$ и $A_2C_2$.

Рис. 15

Рис. 16.

В каком же именно из своих устойчивых положений будет нахождение шарик? Ответ на этот вопрос зависит от того, как изменяется угловая скорость врашения трубки. Если $\omega$ увеличивается, то шарик не может попасть в положения, соответствующие участку $A_2C_2$ графика, не проядя положений, соответствующих участку $A_1C_1$, какое из которых устойчивое. Следовательно, при увеличении угловой скорости $l$ будет меньше по графику, показанному на рисунке 16 красной линии (в точке $m\omega^2 = tg\alpha_2$ величины $l$ изменяется скачком от значения, соответствующего точке $C_1$, до значения, соответствующего точке $C_2$). При увеличении угловой скорости график зависитости $l$ от $m\omega^2$ будет таким, как показано на рисунке синей линии. Следует иметь в виду, что если трубка врашается с угловой скоростью такой, что $tg\alpha_1 < m\omega^2 < tg\alpha_2$, то, сильно только нуль шарик, можно перевести его в положение, соответствующей «чужому» участку графика, по которой и будет в дальнейшем изменяться $l$ при изменении $\omega$.

И. Ш. Словодецкий