Расстояние между центроидами двух систем точек

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК

Расстояние между центроидами двух систем точек

З. А. Скопец

Рассмотрим систему из $n$ точек $A_1, A_2, \ldots, A_n$, произвольно расположенных в пространстве. Допускается, чтобы отдельные (или даже все) точки этой системы совпадали. Порядок точек безразличен.

Центроидом системы точек $A_1, \ldots, A_n$ называется такая точка $O$, для которой выполняется векторное равенство

$$\overrightarrow{OA}_1 + \overrightarrow{OA}_2 + \ldots + \overrightarrow{OA}_n = \sum_{i=1}^{n} \overrightarrow{OA}_i = \vec{0}. \quad (1)$$

Из этого определения непосредственно не вытекает существование центроида. Поэтому докажем, что каждая система точек имеет центроид и притом единственный.

Выберем в пространстве систему точек $A_1, A_2, \ldots, A_n$, зададим произвольно точку $M$, которую примем за начало векторов, и еще некоторую точку $O$ (рис. 1). Тогда можно написать

$$\overrightarrow{OA}_1 = \overrightarrow{MA}_1 - \overrightarrow{MO},$$
$$\overrightarrow{OA}_2 = \overrightarrow{MA}_2 - \overrightarrow{MO},$$
$$\ldots \ldots \ldots \ldots$$
$$\overrightarrow{OA}_n = \overrightarrow{MA}_n - \overrightarrow{MO}.$$

Предположим, что точка $O$ — центроид данной системы точек. Просуммировав почленно эти равенства, получим с учетом (1)

$$\vec{0} = \overrightarrow{MA}_1 + \overrightarrow{MA}_2 + \ldots + \overrightarrow{MA}_n - n \cdot \overrightarrow{MO}.$$

Отсюда находим

$$\overrightarrow{MO} = \frac{1}{n}(\overrightarrow{MA}_1 + \overrightarrow{MA}_2 + \ldots + \overrightarrow{MA}_n) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \overrightarrow{MA}_i. \quad (2)$$

Проведя вычисления в обратном порядке, мы легко убедимся, что точка $O$, определяемая равенством (2), удовлетворяет соотношению (1), то есть является центроидом. Таким образом, существование центроида доказано. Остается доказать единственность. В самом деле, возьмем точку $O'$, отличную от $O$. Тогда

$$\overrightarrow{O'A}_1 = \overrightarrow{O'O} + \overrightarrow{OA}_1, \ldots, \overrightarrow{O'A}_n = \overrightarrow{O'O} + \overrightarrow{OA}_n.$$

Складывая эти равенства и учитывая (1), получаем

$$\overrightarrow{O'A}_1 + \ldots + \overrightarrow{O'A}_n = n \cdot \overrightarrow{OO'};$$

так как точка $O'$ отлична от $O$, то $\overrightarrow{O'O} \neq \vec{0}$ и $n \cdot \overrightarrow{O'O} \neq \vec{0}$, то есть

$$\overrightarrow{O'A}_1 + \ldots + \overrightarrow{O'A}_n \neq \vec{0}.$$

Таким образом, никакая отличная от $O$ точка $O'$ центроидом системы точек $A_1, \ldots, A_n$ не является. Этим завершено доказательство существования и единственности центроида системы $n$ точек. Кроме того, указан метод построения центроида (см. (2)).

Докажем теперь следующее утверждение.

Т е о р е м а 1. Пусть $O_1$ — центроид системы точек $A_1, \ldots, A_m$ и $O_2$ — центроид системы точек

39

40

В $B_1, \dots, B_n$. Тогда центрод $O$ системы всех $m + n$ точек $A_1, \dots, A_m, B_1, \dots, B_n$ лежит на отрезке $O_1O_2$ и удовлетворяем условию $|O_1O| : |OO_2| = n : m$.

Доказательство. Для точки $O$, лежащей на отрезке $O_1O_2$ и удовлетворяющей условию $|O_1O| : |OO_2| = n : m$, имеем $\vec{mOO}_1 + n\vec{OO}_2 = \vec{0}$. (3)

Убедимся, что точка $O$ — центрод системы всех $m + n$ точек. В самом деле, так как $O_1$ — центрод системы точки $A_1, \dots, A_m$, то согласно (2) имеем

$$\vec{OA}_1 + \vec{OA}_2 + \dots + \vec{OA}_m - m \cdot \vec{OO}_1 = \vec{0}. \quad (4)$$

Аналогично, из того, что $O_2$ — центрод системы точки $B_1, \dots, B_n$, получаем

$$\vec{OB}_1 + \vec{OB}_2 + \dots + \vec{OB}_m - n \cdot \vec{OO}_2 = \vec{0}. \quad (5)$$

Складывая почленно соответствия (3), (4), (5), получаем

$$\vec{OA}_1 + \dots + \vec{OA}_m + \vec{OB}_1 + \dots + \vec{OB}_n = \vec{0},$$

а это и означает, что $O$ — центрод системы точки $A_1, \dots, A_m, B_1, B_2, \dots, B_n$.

Следствие. Пусть $A_1, \dots, A_m$ — некоторые системы точки $k$ — натуральное число, меньше $m$. Выберем из $A_1, \dots, A_m$ какие-либо $k$ точек, и пусть $O'$ — их центрод, а $O''$ — центрод оставшихся $m - k$ точек. Тогда все получающие таким образом отрезки $O'O''$) проходят через одну точку $O$ (центрод системы точки $A_1, \dots, A_m$) и делятся в этой точке в отношении $(m - k) : k$.

Из доказанной теоремы и этого следствия можно получить ряд выводов. Прежде всего из теоремы 1 при $m = n = 1$ находится, что центрод двух точек $A, B$ совпадает с серединой соединяющего их отрезка. Далее, при $m = 2, n = 1$ получаем из теоремы 1, что центрод $O$ трех точек $A_1, A_2, B$ лежит на отрезке, соединяющего $D$ отрезка $A_1A_2$ с точкой $B$, причем $|DO| : |OB| = 1 : 2$. Отсюда следует, в частности, если точки $A_1, A_2, B$ не лежат на одной прямой, то центрод этой системы точки совпадает с точки пересечения медиан треугольника $A_1A_2B$ (см. рис. 2; эту точку называют центром тяжестни треугольника).

Для случая четырех точек получаем (при $m = 3, n = 1$) следующее. Предположим, что никакие три из четырех точек $A, B, C, D$ не лежат на одной прямой, и соединим какую-либо из этих точек с центром тяжестни треугольника, имеющего вершины в трех других точек; может эти четырех точек

41

ре отрезка пересекаются в одной точке O и делятся в ней отношений 3 : 1.
Через эту же точку O проходят еще три отрезка, получающие, если середины отрезков с концами в двух точках соединить с серединами отрезков с концами в двух других точках.

Заметим, что эти утверждения справедливы для четырех точек не только на плоскости, но и в пространстве. Из них, в частности, следует, что две средние линии четырехугольника и отрезок, соединяющий середины диагоналей, пересекаются в одной точке O, которая служит общей серединой всех трех отрезков.
А для точек в пространстве можно дать еще такую формулировку: отрезки, соединяющие вершины tetraэдра с центрами тяжестями противолежных граней, пересекаются в одной точке O (называемой центром тяжестии tetraэдра) и делятся в ней отношений 3 : 1, считая от вершины; через эту же точку O проходят три отрезка, соединяющие середины противолежных ребер, причем O служит общей серединой этих трех отрезков.

Отметим еще случай пяти точек.

Пусть A, B, C, D, E — такие пяты точек, никакие четыре из которых не лежат в одной плоскости.
Соединив каждую точку с центром тяжестии tetraэдра, имеющего вершины в четырех остальных точках, получим пяты отрезков, пересекающих в одной точке O; через эту же точку будут проходить еще десять отрезков, каждой из которых соединяет середину отрезка с концами в двух точках с центром тяжестии треугольника, имеющего вершины в трех остальных точках.

Формула Лагранжа

Пусть O — центroid системы точек A₁, …, Aₘ и M — произвольная точка. Тогда, как мы видели выше, справедливо соотношение (2). Берияскаяярный квадрат*), получаем

$$|\vec{M}O|^2 = \frac{1}{m^2} (\vec{M}A_1 + \dots + \vec{M}A_m)^2 = \frac{1}{m^2} \left[ |\vec{M}A_1|^2 + \dots + |\vec{M}A_m|^2 + 2 \sum_{i < j} \vec{M}A_i \cdot \vec{M}A_j \right].$$

Но

$$2 \vec{M}A_i \cdot \vec{M}A_j = |\vec{M}A_i|^2 + |\vec{M}A_j|^2 - (\vec{M}A_j - \vec{M}A_i)^2 = |\vec{M}A_i|^2 + |\vec{M}A_j|^2 - |\vec{A}_i \vec{A}_j|^2.$$

Складывая эти соотношения для всех пар i, j, где i < j, получаем

$$2 \sum_{i < j} \vec{M}A_i \cdot \vec{M}A_j = (m - 1) \left( |\vec{M}A_1|^2 + \dots + |\vec{M}A_m|^2 \right) - \sum_{i < j} |\vec{A}_i \vec{A}_j|^2.$$

Подставляя (6’) в соотношение (6), находим (после упрощения):

$$|\vec{M}O|^2 = \frac{1}{m} \left( |\vec{M}A_1|^2 + \dots + |\vec{M}A_m|^2 \right) - \frac{1}{m^2} \sum_{i < j} |\vec{A}_i \vec{A}_j|^2.$$

Соотношение (7) представляет собой известную формулу Лагранжа, выражающего квадрат расстояния от точки M до центроида O системы точек A₁, …, Aₘ через квадрат расстояния от точки M до точки Aᵢ и квадрат расстояния |Aᵢ Aᵢ|.

Расстояние между центроидами

Пусть, наконец, данные системы точек A₁, …, Aₘ и B₁, …, Bₙ. Вычислим расстояние d между центроидами O₁ и O₂ этих систем, полагая известными все взаимные расстояния между точками первого системы, все взаимные расстояния между центроидами Aᵢ и Aᵢ.

*) Скалярное произведение вектора a, на вектор b обозначает через a · b; равно |a| · |b| · cos α, где |a| — длина вектора, а α — угол между векторами a и b; поэтому скалярный квадрат a, a = |a|² = |a|².

42

Ду точками второй системы и взаимные расстояния каждой точки одной системы до каждой точки другой.
Введем обозначения:
$$|A_i A_j| = a_{ij}, |B_s B_t| = b_{st},$$
$$|A_p B_q| = c_{pq}.$$
Как выясено выше (см. (7)),
$$d^2 = |O_1 O_2|^2 = \frac{1}{n} |O_1 B_1|^2 + \dots$$
$$\dots + |O_1 B_n|^2) - \frac{1}{n^2} \sum_{s < t} b_{st}^2,$$
$$|O_1 B_h|^2 = \frac{1}{m} (|A_1 B_h|^2 + \dots$$
$$\dots + |A_m B_h|^2) - \frac{1}{m^2} \sum_{i < j} a_{ij}^2,$$
(где $k$ — любое из чисел 1, 2, …, $n$). Подставляя соответствия (8’) в формулу (8), получаем окончательно (после очередных упрощений):
$$d^2 = |O_1 O_2|^2 = \frac{1}{mn} \sum_{p, q} c_{pq}^2 -$$
$$- \frac{1}{m^2} \sum_{i < j} a_{ij}^2 - \frac{1}{n^2} \sum_{s < t} b_{st}^2.$$

По этой формуле и вычисляется в самом общем случае расстояние между центроидами двух систем точек.

Примеры

1. Пусть дан треугольник $A_1 B_1 B_2$. Центroid $O_1$ системы, состоящий из одной точки $A_1$, совпадает с $A_1$, центroid $O_2$ системы точек $B_1, B_2$ совпадает с серединой $[B_1 B_2]$ (рис. 3).

В этом случае $[O_1 O_2]$ есть медиана треугольника $A_1 B_1 B_2$. Имеем
$$d^2 = \frac{1}{2} (|A_1 B_1|^2 + |A_1 B_2|^2) -$$
$$- \frac{1}{4} |B_1 B_2|^2.$$

2. Пусть дан четырехугольник $A_1 A_2 B_1 B_2$. Центroid $O_1$ системы точек $A_1, A_2$ совпадает с серединой отрезка $A_1 A_2$, центroid $O_2$ системы точек $B_1, B_2$ совпадает с серединой отрезка $B_1 B_2$ (рис. 4).

Воспользовемся формулой (9):
$$d^2 = \frac{1}{4} (|A_1 B_1|^2 + |A_1 B_2|^2 +$$
$$+ |A_2 B_1|^2 + |A_2 B_2|^2 - |A_1 A_2|^2 -$$
$$- |B_1 B_2|^2).$$ (10)

Эта формула, выражющая квадрат расстояния между серединами противоположных сторон четырехугольника через квадраты его сторона и диагоналей, известна как формула Эйлера. Здесь вид четырехугольника произвольный: он может быть выпуклым, самопересекающимся, неплоским.

Если центроиды отрезков $A_1 A_2$ и $B_1 B_2$ совпадают, то четырехугольник есть параллелограмм, и мы получаем известную зависимость между сторонами и диагоналями параллелограмма. Отметим, что (поскольку $d^2 \geq 0$) из формулы (10) следует, что $|A_1 B_1|^2 + |A_1 B_2|^2 + |A_2 B_1|^2 + |A_2 B_2|^2 \geq |A_1 A_2|^2 + |B_1 B_2|^2$, то есть сумма квадратов всех сторон

43

Четырехугольника всегда не меньше суммы квадратов его диагоналей. Развенство имеет место лишь при $d = 0$, то есть в том и только в том случае, если $A_1A_2B_1B_2$ — параллелограмм.

3. Найдем расстояние от точки $A_1$ до центрада системы точек $B_1, B_2, B_3$ (рис. 5). В этом случае имеем (по формуле (7))

$$d^2 = \frac{1}{3} \left( |A_1B_1|^2 + |A_1B_2|^2 + |A_1B_3|^2 \right) - \frac{1}{9} \left( |B_1B_2|^2 + |B_2B_3|^2 + |B_1B_3|^2 \right).$$

Это соответствие, выражающее расстояние от вершины $A_1$ теграэдра $A_1B_1B_2B_3$ до центрада. Противоложей грани $B_1B_2B_3$ через квадраты ребер теграэдра, известно как формула Лейбница. В частности, все четыре точки могут принадлежать одной плоскости или даже одной прямой.

Уражнения

1. Докажите, что сумма квадратов расстояний любой точки окружности, описанная за счетношение, выражающее расстояние от вершины $A_1$ теграэдра $A_1B_1B_2B_3$ до центрада. Докажите, что сумма $|A_1|^2 + |A_2|^2 + |A_3|^2$ не зависит от взаимного расположения точки $P$ и $Q$ окружности $\omega$, сумма $|PA|^2 + |PB|^2 + |PC|^2 + |QA|^2 + |QB|^2 + |QC|^2$ сохраняет постоянное значение.

2. На окружности даны $n$ точек. Через центрад каждой $n-2$ точек проводится прямая, перpendикулярная к прямой, проходящей через две остальные точки. Докажите, что $C_n^2$ построенных прямых пересекаются в одной точке (ортоценте данной системы точек).

Сформируйте и решите аналогичную задачу для случая, когда данные $n$ точек принадлежат одной сфере.

Советы начинающих репетиторам
(см. с. 35)

Но одновременно заботьсь о репутации бессредбренника. Никогда нельзя не несколько раз подчеркинуть, что вам движет не корысть, а исключительно желание себя разумное, доброе и, по возможности, вечное. Нет большей разности для вашего души, чем чувство, что вы умножили общество еще на несколько достойных членов.

Раздав вопросы, удините в другую комнату и займите свой своим делом. Более сильные ученики сначала справиться со своим заданием, а затем помогут отстающим. Это разовет в них чувство коллективизма, стол необходимое вузе.

К середине занятия разгоритняя живая дискусия на спортивные темы. Ни в коем случае не менее ребрами. Пусть они, покидая вас, с нетерпенем ждут следующей встречи, во время которой можно будет продолжить увлекательную беседу.

В конце урока не забудьте раздать домашнее задание, заранее переписанное из старых, давно забытых учебников и оформленное в виде новых экзаменационных билетов. Попросите учеников хранить содержимое билетов в тайне. Это производит сильное впечатление.

За качество занятый не беспокоятесь. Усвойте главное — юноши и девушки пришли к вам исключительно ради своих отцов и матерей, а данный предмет волнует их меньше всего. Единственное, о чем следует позаботиться, — чтобы еще до наступления экзаменов все расчеты с родителями были закончены.

В заключение этого важно важно пункта еще два полезных совета. Поскольку вам совершенню безразлично, какой именно предмет использовать для материальной поддержки, рекомендуем остатковиться на математике.

(Продолжение см. на с. 68.)