Bài toán tại nhà

Bài toán tại nhà

• Tôi thích giải quyết khó khăn bài toán. Tôi thích tìm kiếm những bằng chứng mới cho các định lý
  và đọc sách về các nhà khoa học. Tôi học tập với niềm vui, tại Olympic của trường
  đã nhận được giải thưởng. Tôi muốn trở thành một nhà khoa học. Nhưng liệu tôi có thể trở thành một người như vậy không? Tôi có phù hợp để trở thành một nhà khoa học không? Làm thế nào để tự kiểm tra?

Thật không may, không có dấu hiệu nào cho thấy người ta có thể nhận ra tương lai
nhà khoa học, không. Thành công ở trường không hề đảm bảo rằng thành công tương tự sẽ xảy ra
đối với sinh viên tốt nghiệp đại học: sinh viên giải quyết những gì được đưa ra, tiếp thu ý tưởng của người khác
suy nghĩ; nhà khoa học đặt bài toán của mình. Ngay cả khi học sinh tiến hành tốt
suy luận logic, điều này không có nghĩa là anh ta phù hợp để trở thành một nhà khoa học. Kỹ năng
Nhà khoa học thực sự cần phải có lý luận tốt, trừ những trường hợp khi
chính xác là một bước nhảy vọt trong cách xây dựng logic - nghĩa là, không phải logic, mà là phỏng đoán -
cung cấp lời giải vấn đề. Và vân vân.

Nhưng mặc dù việc học ở trường không hề giống với công việc khoa học, một số
Những phẩm chất cần thiết của một nhà khoa học có thể được phát triển ngay cả khi chuẩn bị bài học. Cần thiết
chỉ là, đã quyết định bài toán tiếp theo, đừng vội chuyển sang cái tiếp theo. Một lần nữa
đọc lại điều kiện, nhìn vào đáp số đã nhận - và cung cấp quyền kiểm soát miễn phí cho bạn
trí tưởng tượng… Ví dụ, hãy tự hỏi bản thân: nó có thể là gì khác? Có thể giải bài toán khó hơn dựa trên lời giải vừa giải được không?

Tuy nhiên, tốt hơn hết chúng ta hãy lắng nghe cuộc trò chuyện giữa hai chàng trai. Họ học cùng lớp
và hôm nay họ đang cùng nhau chuẩn bị bài học.

D. Chúng ta đã có được gì trong đại số?

O. Chứng minh rằng nếu các số là $\dfrac1{b+c}$, $\dfrac1{c+a}$,
$\dfrac1{a+b}$ tạo thành một cấp số cộng, sau đó các số $a^2$,
$b^2$, $c^2$ cũng tạo thành một cấp số cộng.

D. Theo mình thì bài toán không khó. Mỗi thành viên của phép tính
cấp số cộng là trung bình số học của hai lân cận của nó. Có nghĩa,
$$\dfrac12\left(\dfrac1{b+c}+\dfrac1{a+b}\right)=\dfrac1{c+a}.\tag1$$
Hãy loại bỏ các phân số trong (1), mở ngoặc và trình bày các số hạng tương tự; chúng tôi nhận được
$$a^2+c^2=2b^2,$$
tức là
$$\dfrac12(a^2+c^2)=b^2,\tag2$$
và đây chính là điều cần phải chứng minh.

Ồ. Vâng, mọi thứ có vẻ đúng…

D. Ngày mai còn có lịch trình gì nữa?

Ồ. Đợi đã, để tôi nghĩ…

D. Về cái gì?

Ồ. Về vấn đề chúng tôi vừa giải quyết.

D. Chúng ta nên nghĩ gì về việc này nếu nó đã được quyết định rồi?

O. Lúc đầu, chỉ có những con số hình thành một tiến trình và cuối cùng - hoàn toàn
khác. $\dfrac1{b+c}$ và $a^2$ có điểm gì chung? Tại sao chúng được kết nối?

D. Bạn đã hiểu tại sao.

Ồ. Tôi thực sự không thể giải thích được, nhưng có điều gì đó thiếu sót ở đây. Bạn nghĩ sao, điều ngược lại có đúng không? Điều gì sẽ xảy ra nếu $a^2$, $b^2$, $c^2$ là cấp số nhân,
sau đó $\dfrac1{b+c}$, $\dfrac1{c+a}$, $\dfrac1{a+b}$ - lại là một tiến trình?

D. Chắc chắn rồi. Làm sao có thể khác được? Thực hiện các phép tính theo hướng ngược lại

• mọi chuyện sẽ ổn thôi.

Ồ. Chà, nó không đẹp. Bạn biết đấy, hãy thử với những con số.

D. Điều này hoạt động như thế nào với các con số? Bạn không thể chứng minh bất cứ điều gì bằng những con số.

Ồ. … hãy lấy các con số làm ví dụ
$$a^2=1,\quad b^2=4,\quad c^2=7.\tag3$$
Họ tạo thành một sự tiến triển. Hãy kiểm tra xem $\dfrac1{b+c}$, $\dfrac1{c+a}$,
$\dfrac1{a+b}$ cũng là một sự tiến triển.

D. Tại sao? Rõ ràng là cuộc thử nghiệm sẽ thành công. Tôi chỉ quan tâm đến những lá thư
đã chứng minh. Không có gì mới sẽ được thêm vào.

Ồ. Chà, tôi muốn biết chính xác mọi chuyện diễn ra như thế nào.
Vì vậy, hãy có số (3). Chúng ta chỉ lấy nghiệm dương: $a=1$,
$b=2$, $c=\sqrt7$.

**D.**Tính:
$$\dfrac1{b+c}=\dfrac1{2+\sqrt7},\quad\dfrac1{c+a}=\dfrac1{\sqrt7+1},\quad \dfrac1{a+b}=\dfrac13.$$
Đây thực sự là một sự tiến bộ? Tuy nhiên, chúng ta hãy loại bỏ sự bất hợp lý trong mẫu số:
$$\dfrac1{b+c}=\dfrac{\sqrt7-2}3,\quad\dfrac1{c+a}=\dfrac{\sqrt7-1}6.$$

Ồ. Tất nhiên đó là một sự tiến triển. Tổng số thành viên cực đoan
$$\dfrac{\sqrt7-2}3+\dfrac13=\dfrac{\sqrt7-1}3$$
gấp đôi mức trung bình.

D. Có; và sự khác biệt tiến triển bằng
$\dfrac13-\dfrac{\sqrt7-1}6=\dfrac{3-\sqrt7}6$.

Ồ. Đợi đã. Bây giờ tôi biết cách chứng minh điều gì từ (2)
sau (1). Bạn chỉ cần loại bỏ sự bất hợp lý ở mẫu số.

D. Chuyện này thế nào? Rốt cuộc, không có sự phi lý ở đó!

Ồ. Tất nhiên là không; nhưng chúng ta phải hành động như thể nó đã xảy ra.
Nhìn:
$$\dfrac1{b+c}=\dfrac{b-c}{b^2-c^2},\quad \dfrac1{c+a}=\dfrac{c-a}{c^2-a^2},\quad \dfrac1{a+b}=\dfrac{a-b}{a^2-b^2}.$$
Theo quy ước, $a^2$, $b^2$, $c^2$ là cấp số nhân. Vì vậy, $a^2-b^2=b^2-c^2$.

Hãy để chúng tôi biểu thị sự khác biệt này bằng $d$. Sau đó $a^2-c^2=2d$. số
$\dfrac{b-c}d$, $\dfrac{a-c}{2d}$, $\dfrac{a-b}d$ rõ ràng là dạng
sự tiến triển.

D. Chà, được rồi, họ còn hỏi gì nữa?

Ồ. Đợi đã, bây giờ bạn đã hiểu các tiến trình được kết nối như thế nào
$\dfrac1{b+c}$, $\dfrac1{c+a}$, $\dfrac1{a+b}$ và $a^2$, $b^2$, $c^2$?

D. Trước đây tôi đã hiểu.

O. Đặt $a$, $b$, $c$ là các số tùy ý. Chúng ta hãy xem xét ba
$b-c$, $\dfrac{a-c}2$, $a-b$ - đây đã là một sự tiến triển. Các thành viên của sự tiến triển này
có thể chia cho bất kỳ số nào $d$. Trong bài toán $d$ được chọn sao cho phép chia cho nó dẫn đến các số $\dfrac1{b+c}$, $\dfrac1{c+a}$, $\dfrac1{a+b}$;
Đó là lý do tại sao thay vì tùy ý $a$, $b$, $c$ chúng ta cần lấy những giá trị sao cho
$a^2-b^2=b^2-c^2=d$, tức là sao cho các số $a^2$, $b^2$, $c^2$ tạo nên
sự tiến triển. Nhưng ở đây câu hỏi lại được đặt ra: liệu cả ba số $a$, $b$,
$c$ có trọn vẹn không?

D. Liệu họ có thể hay không thể thực sự quan trọng?

Ồ. Vậy điều này thật thú vị! Điều gì sẽ xảy ra nếu có bộ ba số nguyên như vậy
$a$, $b$, $c$, trong đó $a^2$, $b^2$, $c^2$ là một cấp số cộng. Và khi đó các số $\dfrac1{b+c}$, $\dfrac1{c+a}$, $\dfrac1{a+b}$ cũng sẽ là
sự tiến triển. Điều này thật đẹp - hai cấp số và cả hai đều từ số nguyên…

D. Số thứ hai sẽ là một phân số, vì nếu $a$ và $b$ là số nguyên thì $\dfrac1{a+b}$ là một phân số.

Ồ. Đừng bận tâm. Tôi muốn không có rễ nào nổi lên. Cho phép
$a$, $b$, $c$ thậm chí sẽ không phải là số nguyên mà là số hữu tỷ - nó vẫn đẹp. Nhưng làm thế nào để chọn được ba số hữu tỉ $a$, $b$, $c$ sao cho $a^2-b^2$ là
bằng $b^2-c^2$? Xét cho cùng, đây không phải là phương trình bậc một, các nghiệm có thể không được rút ra… Đợi đã, nhưng chúng ta có một biểu thức với bậc một! Đây là (1).

D. Tôi không hiểu.

Ồ. Nhìn kìa. Đặt $\dfrac1{b+c}$, $\dfrac1{c+a}$, $\dfrac1{a+b}$ —
sự tiến triển đã biết. Ví dụ: 1, 3, 5. Hoặc 100, 101, 102. Từ bất kỳ
số hữu tỉ. Điều này có nghĩa là ta có hệ ba phương trình bậc nhất
độ với ba ẩn số $a$, $b$, $c$. bạn có thể
quyết định. Lời giải - lại hợp lý
những con số. Và sau đó $a^2$, $b^2$, $c^2$ sẽ tự động tạo thành một số hữu tỉ
sự tiến triển.

D. Nào, nào, hãy thử xem. Ví dụ, hãy có một sự tiến triển
1, 3, 5.

O. Không, hãy đi thẳng vào trường hợp tổng quát: hãy xem tiến trình
$\alpha-\beta$, $\alpha$, $\alpha+\beta$, trong đó $\alpha$ và $\beta$ là
số tùy ý. Để xác định các số $a$, $b$, $c$ ta có kết quả sau
hệ phương trình:
$$\begin{align*} b+c&=\dfrac1{\alpha-\beta},\tag4\\ c+a&=\dfrac1\alpha,\tag5\\ a+b&=\dfrac1{\alpha+\beta}.\tag6 \end{align*}$$

D. Hãy cộng tất cả các phương trình và chia tổng cho hai; chúng tôi nhận được
$$a+b+c=\dfrac{3\alpha^2-\beta^2}{2\alpha(\alpha^2-\beta^2)}.\tag7$$
Trừ (7) tuần tự (4), (5), (6); chúng tôi nhận được:
$$a=\dfrac{\alpha^2-\beta^2-2\alpha\beta}{2\alpha(\alpha^2-\beta^2)},\quad b=\dfrac{\alpha^2+\beta^2}{2\alpha(\alpha^2-\beta^2)},\quad c=\dfrac{\alpha^2-\beta^2+2\alpha\beta}{2\alpha(\alpha^2-\beta^2)}.$$

Điều này có nghĩa là bất kể chúng ta lấy $\alpha$ và $\beta$, các số $a^2$, $b^2$, $c^2$, trong đó $a$, $b$ và $c$ đều được tính theo các công thức này, phải tạo thành một cấp số cộng. Hãy kiểm tra xem nó ra.

Ồ. Bây giờ. Đây là những gì tôi nghĩ. Đối với các số $a$, $b$ và $c$ hiện chúng ta có các biểu thức phân số. Hãy loại bỏ mẫu số của chúng; sau đó $a$, $b$,
$c$ sẽ tăng cùng số lần và trở thành số nguyên nếu,
tất nhiên, lấy toàn bộ $\alpha$ và $\beta$. Trong trường hợp này, các số $a^2$, $b^2$, $c^2$
vẫn sẽ hình thành một sự tiến triển.

D. Tất nhiên rồi. Nếu 1, 3, 5 là một cấp số thì 10, 30, 50 cũng vậy.

O. Vì vậy, chúng ta đã suy ra các công thức cấp số $a^2$, $b^2$, $c^2$, trong đó $a$, $b$, $c$ là số nguyên. Cụ thể là:
$$\begin{align*} a&=\alpha^2-\beta^2-2\alpha\beta,\tag8\\ b&=\alpha^2+\beta^2,\tag9\\ c&=\alpha^2-\beta^2+2\alpha\beta,\tag{10} \end{align*}$$
trong đó $\alpha$ và $\beta$ là số nguyên bất kỳ.

D. Hãy kiểm tra xem. Đặt $\alpha=2$, $\beta=1$; Sau đó
$$\alpha^2-\beta^2=3,\quad2\alpha\beta=4,\quad\alpha^2+\beta^2=5. \tag{11}$$

Ồ. Nhìn này, đây là tam giác Ai Cập…

D. Đây là ngẫu nhiên. Hãy tính tiếp nhé:
$$a=3-4=-1,\quad b=5,\quad c=3+4=7.$$
Thật vậy, 1, 25, 49 là một cấp số nhân.

Ồ. Vậy là bạn và tôi đã học cách giải số nguyên
phương trình không xác định
$$a^2+c^2=2b^2;\tag{12}$$
lời giải được viết theo công thức (8)–(10).

D. Phương trình này đến từ đâu?

O. Vì vậy, xét cho cùng, đây là một bản ghi ngắn về điều kiện mà các số $a^2$, $b^2$ và $c^2$ tạo thành một cấp số nhân.

D. Ồ, tôi hiểu. Nhưng người ta chưa chứng minh được rằng công thức (8)–(10) sẽ cho tất cả lời giải của phương trình này.

Ồ. Tại sao? Rốt cuộc thì điều này đã rõ ràng; bất kỳ lời giải nào của phương trình (12) sao cho các số $\dfrac1{b+c}$, $\dfrac1{c+a}$, $\dfrac1{a+b}$ tạo thành một cấp số nhân; và mọi tiến trình đều có thể được biểu diễn dưới dạng $\alpha-\beta$, $\alpha$,
$\alpha+\beta$. Sau khi sắp xếp qua tất cả các cặp có thể có $(\alpha,\beta)$, chúng ta thu được tất cả các phương trình lời giải (12). Rõ ràng chứ?

D. Tôi nghĩ vậy.

Ồ. Nhưng vấn đề không phải ở chỗ đó. Phương pháp mà chúng tôi tìm thấy nó thật kỳ lạ.
lời giải: Thay vì giải phương trình bậc hai (12), chúng ta đã giải
hệ tương đương của nó (4)–(6) của các phương trình tuyến tính với một quyền tùy ý
phần. Tôi tự hỏi liệu vẫn còn những phương trình bậc hai chưa được xác định,
mà nếu giải bằng số nguyên thì quy về hệ phương trình
đơn hàng đầu tiên?

D. Có lẽ chúng ta có thể nghỉ ngơi? Chúng ta nghe máy ghi âm nhé?

Ồ. Có lẽ… (Khởi động máy ghi âm. Ồ. lại nữa
đang xem lời giải. Tiếng kêu ngạc nhiên.)

D. Cái gì?

O. (chỉ vào dòng (11)). Hãy nhìn xem, đây là những công thức
cho tam giác Pythagore! Họ cho tất cả các số nguyên hình chữ nhật
hình tam giác có chân $u$, $v$ và cạnh huyền $w$:
$$u=\alpha^2-\beta^2,\quad v=2\alpha\beta,\quad w=\alpha^2+\beta^2$$

• bạn có thể kiểm tra xem $u^2+v^2=w^2$. Vì vậy, tam giác Ai Cập (11) -
  không phải là một tai nạn. Bạn có thể lấy bất kỳ tam giác Pythagore nào có chân $u$, $v$
  và cạnh huyền $w$ và lập phương trình (12) từ độ dài các cạnh của nó lời giải:
  $$a=u\pm v,\quad c=u\mp v,\quad b=w.$$

D. Tò mò. Hãy kiểm tra. Gọi độ dài các cạnh của hình chữ nhật
tam giác là 5, 12 và 13. Khi đó $12+5=17$, $12-5=7$. Lấy số
$7^2$, $13^2$, $17^2$. Thật vậy, $7^2+17^2=2\cdot13^2$.

O. Sao nhìn vào phương trình tôi không đoán được ngay (12)
biểu diễn các số $a$ và $c$ dưới dạng tổng và hiệu của hai số $u$ và $v$?
Rốt cuộc, phương trình này rút gọn thành định lý Pythagore; Nhìn:
$$(u+v)^2+(u-v)^2=2(u^2+v^2),$$
và do đó $b=u^2+v^2$.

Và lời giải trong các số nguyên của phương trình như vậy đã biết. Thật là một điều đẹp đẽ!
Xét cho cùng, $(u+v)^2$ là diện tích hình vuông được xây dựng trên tổng các chân, và $(u-v)^2$ là diện tích hình vuông được xây dựng trên hiệu của các chân. Điều này có nghĩa là chúng ta đã chứng minh được rằng diện tích hình vuông được xây dựng dựa trên hiệu của hai cạnh huyền, cạnh huyền
và tổng các chân của bất kỳ tam giác vuông nào tạo thành một cấp số cộng.

D. Nghĩ mà xem, một khám phá! Toàn bộ bằng chứng phù hợp với một
đường kẻ.

O. Khám phá này tuy nhỏ nhưng có tính chất riêng. Chúng tôi không biết điều này trước đây.

D. Dù sao thì nó cũng được viết ở đâu đó trong một cuốn sách nào đó.

Ồ. Và cứ để vậy đi! Và tôi không có sách…

D. (và sự tò mò cuối cùng cũng thức tỉnh trong anh) Tại sao
chúng ta có phải lấy tổng và hiệu của các cạnh $u$ và $v$ không? Hãy đặt, ví dụ,
$a=2u+v$, $c=u-2v$; Sau đó
$$a^2+c^2=5(u^2+v^2)=5w^2.$$
Điều này có nghĩa là lời giải nằm trong số nguyên của phương trình vô định
$$a^2+c^2=5w^2\tag{13}$$
cũng có thể thu được từ các tam giác Pythagore $u$, $v$, $w$ ($w$ -
cạnh huyền) theo công thức
$$a=2u+v,\quad c=u-2v,\quad b=w.$$

Ồ. Đúng vậy. Rõ ràng là bằng cách này bạn có thể giải bằng số nguyên
bất kỳ phương trình vô định nào có dạng $a^2+c^2=(m^2+n^2)b^2$, trong đó $m$ và $n$ là
trọn.

D. Cách giải phương trình
$$a^2+c^2=3b^2?\tag{14}$$

Ồ. Tôi không biết. Tôi sẽ phải suy nghĩ về nó. Còn một câu hỏi nữa mà chúng tôi chưa trả lời:
phương trình vô định nào ở bậc cao hơn có thể được rút gọn vào hệ
tuyến tính? Ví dụ: phương trình (12), chúng tôi rút gọn thành hệ (4)–(6). Nhưng sau đó chúng tôi không biết liệu có ví dụ nào khác về các phương trình như vậy hay không. Bây giờ tôi hiểu rằng họ có thể
nghĩ ra bao nhiêu tùy thích. Bây giờ hãy ra lệnh cho tôi một số loại bình đẳng tương tự như
đến (1), nhưng có hệ số khác nhau. Ví dụ: bắt đầu như thế này:
$\dfrac2{3a+2b}$.

D. Xin vui lòng (ra lệnh):
$$\dfrac2{3a+2b}-3\dfrac{c-a}=\dfrac1{b+4c}.\tag{15}$$

Ồ. Được rồi. Kết quả là một phương trình nối ba ẩn số $a$,
$b$, $c$. Nó tương đương với phương trình bậc hai sau:
$$3a^2-6b^2+8c^2-9ab-47ac-24bc=0.\tag{16}$$

Chúng tôi muốn tìm số hữu tỷ lời giải của phương trình này. Nếu $a$, $b$, $c$
là hữu tỉ thì các phân số trong (15) là hữu tỉ. Chúng ta hãy biểu thị cái đầu tiên bằng
$2\alpha$, lần thứ hai - đến $3\beta$; thì số thứ ba bằng $2\alpha-3\beta$
($\alpha$ và $\beta$ là hợp lý). Chúng tôi nhận được hệ thống
$$3a+2b=\dfrac1\alpha,\quad c-a=\dfrac1\beta,\quad b+4c=\dfrac1{2\alpha-3\beta}. \tag{17}$$
Giải quyết xong chúng ta sẽ tìm được
$$a=\dfrac{-16\alpha^2+24\alpha\beta+3\beta^2}{5\alpha\beta(2\alpha-3\beta)}, \quad b=\dfrac{24\alpha^2-31\alpha\beta-12\beta^2}{5\alpha\beta(2\alpha-3\beta)}, \quad c=\dfrac{-6\alpha^2+9\alpha\beta+3\beta^2}{5\alpha\beta(2\alpha-3\beta)}. \tag{18}$$

Đây là các phương trình lời giải hữu tỉ cần thiết (16). Tử số của biểu thức (18) cho nó số nguyên lời giải nếu $\alpha$ và $\beta$ là số nguyên. Nếu như
Nếu chúng ta lấy không phải ba ẩn số $a$, $b$, $c$ mà nhiều hơn, thì thay vào đó bằng cách viết
(15) có bao nhiêu phân số ở bên phải và bên trái cũng như số ẩn số, chúng ta sẽ thu được một phương trình vô định ở mức độ cao hơn. Nói chung, càng có nhiều phân số thì mức độ của phương trình vô thời hạn thu được càng cao; và thậm chí còn hơn thế nữa thông qua số lượng lớn hơn tham số tùy ý $\alpha$, $\beta$,
$\ldots$ được biểu thị bằng lời giải.

D. Nhưng bạn không biết trước mình sẽ nhận được loại phương trình nào.
Và không phải mọi phương trình bậc cao nhất đều tương đương với phương trình bao gồm
tổng các phân số. Và nếu chúng bằng nhau thì làm thế nào để tìm được những phân số này?

Ồ. Chuyện là thế đó. Tôi sẽ phải suy nghĩ thêm về chuyện đó…

Lúc này chúng ta sẽ ngắt đoạn cuộc trò chuyện tưởng tượng giữa hai người bạn. Họ có sự khác biệt
nhân vật: D. luôn muốn loại bỏ bài toán càng nhanh càng tốt và O. muốn hiểu đầy đủ về cô ấy. Kết quả là, thay vì một bài toán,
được giao về nhà, anh ta nghĩ ra vài người khác, không biết có giải quyết được không. Thoạt nhìn, anh ta cư xử vô lý, lãng phí thời gian dành cho bài học. Nhưng chính ở O. mà những phẩm chất vốn có của một nhà khoa học được thể hiện rõ ràng hơn.
Việc tìm kiếm nguyên nhân sâu xa của các sự kiện quan sát được, tìm kiếm mối liên hệ giữa các vấn đề là động lực khiến nhà khoa học làm việc - nó được gọi là
tính tò mò, ham học hỏi, có xu hướng khái quát hóa. Tuy nhiên, nó chưa đủ để có thể
đặt câu hỏi và bạn phải trả lời chúng. Sẽ thật buồn cười nếu O., thay vì giải bài toán cụ thể được giao cho nhà bài toán,
liệt kê tất cả các vấn đề liên quan đến nó mà không nắm vững bất kỳ vấn đề nào trong số đó. Việc tìm kiếm lời giải mới nổi bài toán - thường bất ngờ - là quan trọng
trực giác. Trực giác và cái nhìn sâu sắc là những bước đột phá hiệu quả trong logic;
nhờ có cô ấy mà những bước đi bất ngờ được thực hiện theo chiều hướng khó lường; và phạm vi của những bước này đo lường tài năng của một người.

Chúng tôi chỉ cần nhắc lại: hãy dành thời gian hoàn thành bài tập về nhà,
đóng sách giáo khoa và vở lại. Hãy nhìn lại bài toán: họ đã nói gì với bạn về điều mới? liệu sự thật riêng tư có ẩn giấu trong đó hay liệu nó có cho phép
khái quát hóa? bài toán nào được giải tương tự? Có thể thực hiện mà không cần thay đổi phương pháp?
lời giải, làm cho nó khó hơn bài toán? điều gì xảy ra nếu bạn loại bỏ một số điều kiện?
bài toán? hoặc thay thế chúng bằng những từ đối lập của chúng? tăng cường các yêu cầu bài toán?
thêm những hạn chế mới? Tất cả điều này là một cách tuyệt vời để khiến mọi thứ chuyển động.
trí tưởng tượng, sự khéo léo và tính tò mò có lẽ đang tiềm ẩn trong bạn.

Bài tập

1. Tìm các hệ số $a_1$, $b_1$, $\ldots$, $c_3$ của phương trình
   $$\dfrac1{a_1x+b_1y+c_1}+\dfrac1{a_2x+b_2y+c_2}+\dfrac1{a_3x+b_3y+c_3}=0$$
   có dạng $Ax^2+By^2+Cz^2=0$.
2. Giải phương trình $6x^2=2y^2+z^2$ dưới dạng số nguyên. Cố gắng tìm
   các phương trình khác thuộc loại $Ax^2+By^2+Cz^2=0$, có thể giải được bằng số nguyên, cũng như
   cách của họ lời giải.
3. Hãy thử tìm các phương trình như $Ax^2+By^2+Cz^2=0$ không thể giải được bằng số nguyên
   số (không tính số 0 lời giải).
4. Giải phương trình $xyz=yzv+xzv+xyv$ dưới dạng số nguyên.
5. Hãy đưa ra một khái quát về những điều sau đây bài toán: “Người ta biết rằng với bất kỳ
   giá trị $x$
   $$a_1x^2+b_1x+c_1\gt a_2x^2+b_2x+c_2.$$
   Chứng minh rằng $a_1\ge a_2$, $c_1\ge c_2$".
6. Hãy đưa ra một cách khái quát hóa như thế này bài toán: “Tìm tổng của tất cả các phân số tối giản
   có mẫu số là 3, nằm giữa các số nguyên dương $m$ và $n\gt m$.”
7. Tương tự cho bài toán: “Tìm một cấp số cộng có giá trị trung bình
   số học $n$ của các số hạng đầu tiên đối với bất kỳ $n$ nào đều bằng số của chúng.”