Bài toán M341—M345; F353—F357

32

Bài toán

M341—M345; F353—F357

M341. 20 đội đang tham gia giải vô địch thế giới. Trong số đó có $k$ các đội Châu Âu, kết quả cuộc gặp giữa họ tại Giải vô địch Thế giới được tính vào Giải vô địch Châu Âu. Giải vô địch được tổ chức trong một vòng. Theo hướng nào $k$ có thể hóa ra rằng đội Châu Âu ghi được nhiều điểm nhất trong Giải vô địch Châu Âu sẽ ghi được ít điểm nhất trong Giải vô địch Thế giới, nếu đó là a) giải vô địch khúc côn cầu (được phép hòa),
b) * Giải vô địch bóng chuyền (không có trận hòa)? đáp số sẽ là bao nhiêu cho những câu hỏi này nếu không có 20 đội mà là $n$?

Yu. A. Schrader

M342*. a) Chứng minh rằng từ các chữ số 1 và 2 có thể tạo ra các số $2^{n+1}$, mỗi số có $2^n$ chữ số và mỗi số khác nhau ít nhất $2^{n-1}$ chữ số.

6. Chứng minh rằng không thể có nhiều hơn $2^{n+1}$ các số có $2^n$ chữ số như vậy.

S. V. Fomin

M343. Ở một số nước, thành phố có đường màu xám. Chiều dài của bất kỳ con đường nào đều dưới 500 km và bạn có thể đi từ bất kỳ thành phố nào đến bất kỳ thành phố nào khác bằng cách lái xe dọc theo những con đường dưới 500 km. Khi một con đường bị đóng cửa để sửa chữa, họ phát hiện ra rằng bạn có thể lái xe từ bất kỳ thành phố nào đến bất kỳ thành phố nào khác dọc theo những con đường còn lại. Chứng minh rằng điều này có thể được thực hiện bằng cách lái xe không quá 1500 km.

S. L. Eliseev

M344. Tâm của tất cả 64 ô vuông đều được đánh dấu trên bàn cờ. Có thể vẽ 13 đường thẳng trên một bảng sao cho ở mỗi phần mà các đường này chia bảng không có nhiều hơn một điểm được đánh dấu? (Các đường thẳng không được đi qua tâm của các trường, Hình 1).

A. N. Pechkovsky

M345. Trong dãy 197523… mỗi chữ số bắt đầu từ số thứ năm bằng

33

Cơm. 1.
chữ số cuối cùng là tổng của bốn chữ số trước đó. Nó có xảy ra liên tiếp theo trình tự này không?
a) bốn số 1 2 3 4?
b) số phụ 1 9 7 5?
b) số 8 1 9 7?

G. A. Gurevich

F353. Tiêu cự của gương voguntoferric là F. Nó sẽ như thế nào nếu gương bị nung nóng t độ? Quang thông F từ Mặt trời sẽ tăng lên bao nhiêu lần để có thể bị gương cắn?
Hệ số giãn nở tuyến tính của kim loại làm gương bằng α.
Tôi. Sh. Slobodetsky

Cơm. 2.

F354. Cần thiết kế một lò nung có bộ phận làm nóng sẽ tạo ra công suất 2,1 kW. Điện áp mạng là 220 V, điện trở của dây nguồn là 1 ohm. Điện trở của bộ phận làm nóng lò phải là bao nhiêu?

O. F. Kabardin

F355. Biểu đồ pV (Hình 2) cho thấy một quá trình khép kín được thực hiện với một mol khí. Phần 1-2 và 3-4 của đồ thị là các đường thẳng đi qua gốc tọa độ, còn các phần 2-3 và 4-1 là các đường đẳng nhiệt. Vẽ đồ thị của quá trình này trên sơ đồ TV. Tìm thể tích V₃ nếu biết thể tích V₁ và V₂ = V₄ = V.

F356. Bóng của mặt trăng di chuyển trên bề mặt trái đất nhanh như thế nào khi nhật thực toàn phần? Nhật thực xảy ra ở xích đạo. Để đơn giản, giả sử rằng trục của trái đất vuông góc với quỹ đạo của trái đất và mặt trăng.

Cơm. 3.

F357. Một khối lập phương khối lượng m được gắn vào hai lò xo có độ cứng k₁ và k₂ và chiều dài ở trạng thái không biến dạng lần lượt là l₁ và l₂. Các lò xo được cố định ở hai đầu còn lại (Hình 3) để khối lập phương có thể chuyển động dọc theo mặt phẳng nằm ngang. Hệ số ma sát giữa hình lập phương và mặt phẳng là μ, khoảng cách giữa các điểm gắn của lò xo là L, kích thước hình lập phương nhỏ có thể bỏ qua. Tìm diện tích mà khối lập phương có thể ở trạng thái cân bằng.