Làm sao? Và nếu điều đó là không thể thì tại sao?

73

Làm sao?
Và nếu điều đó là không thể,
vậy thì tại sao?

Những cuộc phiêu lưu được mô tả dưới đây được thực hiện trên lục địa Toán học.
Những người tham gia vào những cuộc phiêu lưu này cho rằng mọi thứ diễn ra chính xác theo câu chuyện của họ. Chúng tôi mời bạn điều tra những thông điệp này và hiểu được sự nhầm lẫn cũng như thắc mắc mà người kể chuyện có thể có.

Kẻ lang thang vĩnh cửu
Đây là cách người kể chuyện đầu tiên cay đắng tự gọi mình và chỉ cho chúng tôi “bản đồ lộ trình” về những chuyến lang thang của anh ta (Hình 1). Ngôi nhà của ông (D) nằm ở tam giác trung tâm của “sơ đồ địa hình” đã phác thảo. Các số đặt trong các hình tam giác còn lại hướng dẫn người du hành rời khỏi hình tam giác phải thực hiện số bước như được chỉ ra trong hình tam giác này (một bước được gọi là

Cơm. 1.

chuyển sang bất kỳ tam giác liền kề nào qua cạnh của nó, nhưng không qua đỉnh của nó). Vì vậy, khi đã đi vào tam giác có số 4 (ở đầu “sơ đồ địa hình”), người du hành phải thực hiện 4 bước - ví dụ như di chuyển qua các tam giác 7, 8, 1 vào tam giác có số 2; từ đây thực hiện 2 bước (ví dụ: vào hình tam giác 1, 6), v.v.

“Cho dù tôi bắt đầu lộ trình từ hình tam giác màu nào trong số 24 hình tam giác màu,” người kể chuyện phàn nàn, “tôi vẫn không thể vào nhà và ở đó.” Tại sao?

Thuật toán mạnh hơn cơ hội

Nhân vật chính trong cuộc phiêu lưu toán học tiếp theo chính là người điều khiển. Hôm qua, anh chia 90 bộ phận có chất lượng tốt vào 9 hộp bằng nhau và 10 bộ phận bị lỗi vào một hộp riêng. 10 bộ phận này hóa ra bị lỗi vì mỗi bộ phận nặng 0,9 g, còn bộ phận nào tốt thì nặng 1 g. Anh ấy đã không đánh dấu các hộp và hôm nay anh ấy không thể nhớ được hộp nào chứa các bộ phận bị lỗi.

Bạn sẽ phải cân nhắc và nhanh chóng hơn - bạn sẽ phải gửi thông tin chi tiết sau. Nhưng việc cân một phần từ mỗi hộp được chọn ngẫu nhiên là trường hợp: nếu kém may mắn, bạn sẽ phải thực hiện 9 lần cân. Bộ điều khiển được thực hiện chỉ bằng một lần cân. Làm sao?

74

Bộ ba quay phim

Người nói thứ ba mang đến một đoạn phim trình chiếu một trong các trình tự có thể loại bỏ (từng quân một) tất cả tám quân nằm trên đường ngang đầu tiên của bàn cờ. Trong trường hợp này, bạn có thể bắt đầu với bất kỳ hình nào, sau đó mở rộng khoảng cách kết quả theo ý muốn, cả sang phải và sang trái. Ảnh tĩnh từ bộ phim này được hiển thị trong Hình 2.

Người nói thứ ba nói: “Bộ phim do bạn tôi, người quay phim, chuẩn bị. Anh ấy làm tôi ngạc nhiên với tin nhắn rằng anh ấy biết một bộ ba, với sự trợ giúp của nó, anh ấy có thể dễ dàng xác định số lượng tất cả các trình tự có thể có của việc loại bỏ các mảnh. Có 128 người trong số họ.

Điều tra tin nhắn này.

Sự bối rối của người quản gia

Hình 3 thể hiện sơ đồ bố trí tầng 1 của nhà kho. Sự ngắt quãng trong các dòng biểu thị cửa ra vào. Các cửa bên trong và bên ngoài được bố trí sao cho người trông coi, bắt đầu đi quanh khuôn viên tầng một từ phòng B, cố gắng đi qua mỗi cửa đúng một lần, chẳng hạn như dọc theo tuyến đường được biểu thị bằng đường liên tục trong Hình 3.

Trong quá trình cải tạo kho đã bổ sung thêm 2 cửa bên ngoài.

Cơm. 2.

Cơm. 3.

Cơm. 4.

Cơm. 5.

(Hình 4), và bây giờ người trông coi không thể đi qua tất cả các phòng, đi qua từng cửa một lần, bất kể anh ta bắt đầu đi bộ ở đâu.

Kiến trúc sư, muốn làm hài lòng người trông coi, đã đồng ý niêm phong một trong những cánh cửa, đồng thời giữ lại hai cánh cửa bổ sung. Bây giờ người chăm sóc lại tìm ra con đường đáp ứng “điều kiện của trò chơi”. Lộ trình của anh bắt đầu và kết thúc bên trong tòa nhà.

Có thực sự không thể tìm thấy tuyến đường đi qua mỗi cửa trong phiên bản thứ hai của kế hoạch (Hình 4) hoặc có thể tuyến đường đó tồn tại nhưng người quản lý cung ứng không tìm thấy? Cánh cửa nào cần bịt kín để tuyến đường yêu cầu xuất hiện trở lại?

Một đồng xu trong tay một sinh viên tháo vát

Đây là điều đã xảy ra vào một ngày nọ trong lớp hình học. Giáo viên gợi ý bài toán “để xây dựng.” Một vòng tròn được vẽ (không chỉ ra tâm của nó), trên đó đánh dấu điểm $A$. Bạn cần tìm điểm đối xứng đường kính $B$.

“Tôi không có la bàn,” sinh viên nói. “Tôi có thể sử dụng đồng xu không?”

Giáo viên cho phép nhưng yêu cầu đưa ra mức lời giải hợp lý. Là kết quả của sự suy nghĩ sâu sắc

học sinh sử dụng niken:

1. xây dựng một vòng tròn $O_1$ và đánh dấu một điểm tùy ý $A$ trên đó (Hình 5);

2. dựng đường tròn $O_2$ cắt đường tròn $O_1$ tại điểm $A$ và tại một điểm nào đó $P$;

3. qua điểm $P$ vẽ đường tròn $O_3$ cắt nhau $O_2$ tại một điểm nào đó $Q$;

4. qua điểm $Q$ vẽ đường tròn $O_4$ cắt nhau $O_1$ tại điểm nào đó $R$ và đường tròn $O_3$ tại điểm nào đó $S$;

5. áp dụng niken cho các điểm $R$ và $S$ sao cho vòng tròn $O_5$ được vẽ bằng niken đi qua các điểm này; giao điểm của các vòng tròn $O_5$ và $O_1$ cho điểm mong muốn $B$.

Khi chứng minh cách xây dựng, học sinh lưu ý rằng nếu các đường tròn bằng nhau có tâm $O_1$ và $O_2$ cắt nhau tại các điểm $M$ và $N$ thì $O_1MO_2N$ là hình thoi.

Ở nhà, sử dụng cùng một đồng xu, học sinh

a) dựng một đường tròn tiếp xúc với một đường tròn “vá” cho trước tại một điểm được chọn tùy ý trên đó;

b) cho tia $OA$, dựng điểm $B$ thuộc tia ảo $OB$, tạo một góc $30°$ với tia $OA$.

Kiểm tra tất cả.

75