Как? А если невозможно, то почему?

73

Как?
А если невозможно,
то почему?

Описанные ниже приключения служились на континенте «Математика».
Участики и очень эти приключения утверждают, что все происходило в точном соответствии с их рассказами. Мы предлагаем вам расследовать эти сообщения и разобраться в возникших у рассказчиков недоумениях и вопросах.

Вечный скиталец
Так с горечью назвал себя первый рассказчик и показал нам «маршрутную карту» своей скитаний (рис. 1). Его дом (Д) находится в центральном треугольнике наиссованного «плана местности». Цифры, размещенные в остальных треугольниках, предписывают путнику, покидащему треугольник, сделать столько шагов, сколько указано в этом треугольнике (шагом называется

Рис. 1.

переход в любой соседний треугольник через его сторону, но не через вершину). Так, войдя в треугольник с цифрой 4 (вверху «плана местности»), путник обязан должен сделать 4 шага — проятки, например, через треугольники 7, 8, 1 в треугольник с цифрой 2; отсюда сделать 2 шага (например, в треугольники 1, 6) и так далее.

— С какого бы из 24 окрашенных треугольников я ни начал маршрут,— желуется рассказчик,— я накак не могу попасть в дом и остаться там. Почему?

Алгоритм сільнее случая

Действуошее лице следующого математического приключения — контролер. Вчера он разложил 90 доброкачественных деталей в 9 ящков поровну и в отдельный ящик — 10 бракованных деталей. Эти 10 деталей оказались забраковыми потому, что каждая из них весла 0,9 г, а любая доброкачественная весит 1 г. Ящики он не пометил и сегодня не может вспомнить, в котором из них лежат бракованные детали.

Придется взвешивать, причем посокее — детали поopa отправлять. Но взвешивать по одной детали из каждой наудачу выбранного ящика — найдется на случай: если не повезет, то придется делать 9 взвешивания. Kontrolер обошелся одним взвешиванием. Каким образом?

74

Триок кинооператора

Третий расскачик принес фильм, показывающий одну из возможных последовательностей удаления (по одной) всех восьми фигур, расположенных на первой горизонтали шахматной доски. При этом можно начать с любой фигуры, а затем расширять образующийся промежуток по желанию как вправо, так и влево. Кадры из этого фильма приведены на рисунке 2.

— Фильм приготовил мой друг, кинооператор,— сказал третий расскачик. Он занитгговал меня сообщением о том, что знает триок, с помощью которого ему удалось легко установить число всех возможных последовательностей удаления фигур. Их оказалось 128.

Расследуйте это сообщение.

Недоумение завхоза

На рисунке 3 представлен план-схема первого этажа склада. Разрывы в линиях обозначают двери. Внутренние и наружные двери расположены так, что завхоз, начиная обход помещений первого этажа из комнаты B, ухитрялся прояты через каждую дверьровно один раз, например по маршруту, указанному непрерывной линей на рисунке 3.

При реконструкции склада были добавлены две наружные двери

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

Рис. 5.

(рис. 4), и теперь завхозу никак не удается обойти все комнаты, проходя через каждую дверь один раз, откуда бы он ни начинал обход.

Архитектор, желая порадовать завхоза, согласился заделать одну из дверей, сохранив при этом две добавленные двери. Теперь завхоз снова нашел маршрут, отвечающий «условиям игры». Его маршрут и начинался и кончался внутри здания.

Действительно ли невозможно на втором варианте плана (рис. 4) найти маршрут, проходящий через каждую дверь по одному разу, или, может быть, такой маршрут существует, только завхоз его не нашел? Какую дверь надо заделать, чтобы вновь появился требуемый маршрут?

Пятак в руках находчивого ученика

Вот что приключилось однажды на уроке геометрии. Учитель предложил задачу «на построение». Нарисована окружность (ее центр не указан), на которой отмечена точка $A$. Требуется найти диаметрально противоположную точку $B$.

— У меня нет циркуля,— заявил ученик.— Можно, я воспользуюсь пятаком?

Учитель позволил, но потребовал дать обоснованное решение. В результате глубоких размышлений

ученик с помощью пятака:

1. построил окружность $O_1$ и отметил на ней произвольную точку $A$ (рис. 5);

2. построил окружность $O_2$, пересекающую окружность $O_1$ в точке $A$ и в какой-то точке $P$;

3. через точку $P$ провел окружность $O_3$, пересекающую $O_2$ в какой-либо точке $Q$;

4. через точку $Q$ провел окружность $O_4$, пересекающую $O_1$ в какой-либо точке $R$, а окружность $O_3$ — в какой-либо точке $S$;

5. приложил пятак к точкам $R$ и $S$ так, чтобы проведенная с помощью пятака окружность $O_5$ прошла через эти точки; пересечение окружностей $O_5$ и $O_1$ дало искомую точку $B$.

При обосновании построения ученик отметил, что если равные окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ пересекаются в точках $M$ и $N$, то $O_1MO_2N$ — ромб.

Дома, пользуясь тем же пятаком, ученик

а) построил окружность, касающуюся заданной «пятачковой» окружности в произвольно выбранной на ней точке;

б) при заданном луче $OA$ построил точку $B$, принадлежащую воображаемому лучу $OB$, составляющему с лучом $OA$ угол $30°$.

Проверьте все это.

75