Однородные уравнения

49

Однородные уравнения

В школьном курсе математики по крайней мере трижды встречается понятие «однородное уравнение» («однородная система уравнения»). Так, при решении систем линейных уравнений однородной называли системы $^*$)

$$\begin{cases} ax + by = 0, \\ cx + dy = 0. \end{cases}$$

Когда рассматривались системы уравнения второй степени, говорилось, что система уравнения

$$\begin{cases} 14x^2 - 5xy + 3y^2 = 16, \\ 6x^2 - xy + y^2 = 8 \end{cases}$$

равnocильна система уравнения, одно из которых однородное, а второе является одним из уравнений исходной системы $^*$). При решении тригонометрических уравнений $^*$) однородными назывались уравнения

$$\sin x - \cos x = 0,$$

$$\sin^2 x - 5 \sin x \cos x + 6 \cos^2 x = 0.$$

Что же объединяет приведенные выше примеры и как понятие термин «однородное уравнение»?

Многоцлен $f(u, v)$ от двух переменных называют однородным многоцленом степени $n$, если все его одно-

$^*$) Е. С. Кочетков, Е. С. Кочеткова. Алгебра и начала анализа. М., «Просвещение», 1974, ч. 1, с. 54.

$^*$) Там же, с. 142.

$^*$) Там же, с. 281.

числены имеем степень $n$. Например,

$$f(u, v) = 2u^2 - 7uv + 9v^2$$

— однородный многочлен второй степени, а

$$f(u, v) = u^3 - 15u^2v + 5v^3$$

— однородный многочлен третьей степени.

Уравнение $f(u, v) = 0$ называют однородным уравнением $k$-й степени, если $f(u, v)$ — однородный многочлен степени $k$.

Заметим, что понятие однородности распространяется и на уравнения с большим числом неизвестных. Например, мы скажем, что уравнение $x^3 + 3x^2y + 3xyz + z^3 = 0$ — однородное уравнение третьей степени относительно неизвестных $x, y$ и $z$.

Рассмотрим однородное уравнение $n$-й степени с двумя неизвестными $x$ и $y$:

$$f(x, y) \equiv a_0x^n + a_1x^{n-1}y + a_2x^{n-2}y^2 + \dots + a_ny^n = 0.$$ (1)

Будем считать, что $a_0 \neq 0$.

Случай, когда $a_0 = 0$, свойится к рассмотрению нами следующим образом: если мы вынесем за скобку $y$ в наименшей встречющей степени, то в скобках будет стоять однородный многочлен с ненулевым старшим коэффициентом. Например, уравнение $x^4y^2 + 3xy^5 - 7y^6 = 0$ принимает вид $y^2(x^4 - 3xy^3 - 7y^4) = 0$, после чего остается рассмотренным уравнением исходному уравнению совокупность уравнений $y^2 = 0, x^4 + 3xy^3 - 7y^4 = 0$.

Заметим, что пара $x = 0, y = 0$ является решением уравнения (1), а пара $x = x_0, y = 0$ при $a_0 \neq 0, x_0 \neq 0$ решением уравнения (1) не

50

Является. Разделив обе части уравнения (1) на $y^n$, мы получим уравнение $n$-й степени с одним неизвестным $t = x/y$:

$$a_0 t^n + a_1 t^{n-1} + \dots + a_{n-1} t + a_n = 0. \tag{2}$$

Этим свойством однородных уравнений мы воспользовемся при решении приведенных ниже задач.

Выясним, что представляет собой множество точек плоскости, координаты $x, y$ которых удовлетворяют уравнению (1). Прежде всего, в это множество входит начало координат $O(0, 0)$. Затем, если $a_0 = 0$, то появляется решение $y = 0$, определяющее ось абсцисс. А корни $t_1, t_2, \dots, t_k$ уравнения (2) определяют прямые $x = t_1 y, x = t_2 y, \dots, x = t_h y$, проходящие через начало координат (например, на рисунке 1 $t_1 = 1, t_2 = -1, t_3 = 2$).

Задача 1 (МГУ, биофак, 1967). Из пункта А в пункте В выехала машина. Однакоремно навстречу ей из пункта В выехал велосипедстm. Через три минуты после встречи машина меневено поворачиваем,.edem за велосипедстом $u$, doenав его, снова меневено поворачиваем и прибываем в пункте B. Если машина меневено повернула через 1 минуту после встречи, а велосипедстm после встречи уведомил бы скорость в 15/7 раза, то машина замратила бы на всю дорогу мо же самое время. Найти оптимное скоростью велосипедства и машины.

Пусть $x (km/min)$ — скорость машины, а $y (km/min)$ — скорость велосипедства. Заметим, что на движение от пункта А до первой встречи с велосипедстом в первом и втором слуае уходит одно и то же время и что на движение машины от места первой встречи с велосипедстом до пункта В в обих случаях также уходит одинаковое время. Поэтому одно и то же время занимает движение машины от момента первой встречи с велосипедстом до второго прохождения места их первой встречи. Подчитаем это время в каждом слуае.

I. Последие встречи с велосипедстом машина exала 3 мин в направлении пункта B. На обратную дорогу до места встречи ей потребуется еще 3 мин. Велосипедст за это время удалится от места встречи на 6у км. Машина будет его дорогять со скоростью $(x-y) \cdot km/min$, на это у нее уйдет $\frac{6y}{x-y} \cdot min$. На обратную дорогу до места встречи у нее уйдет также $\frac{6y}{x-y} \cdot min$, а всего $3+3+2 \cdot \frac{6y}{x-y} = \left(6 + \frac{12y}{x-y}\right) \cdot min$.

II. Провода аналогичные расчуждания, получим

$$1 + 1 + \frac{2 \cdot \frac{15}{7} y}{x - \frac{15}{7} y} + \frac{2 \cdot \frac{15}{7} y}{x - \frac{15}{7} y} = \left(2 + \frac{60y}{7x - 15y}\right) \cdot min$$

Приравнивая найденные выражения, получаем уравнение

$$6 + \frac{12y}{x - y} = 2 + \frac{60y}{7x - 15y},$$

откуда

$$7x^2 - 16xy - 15y^2 = 0.$$

Это однородное уравнение второй степени относительно $x$ и $y$. Поляга $t = x/y$ (отношение скорости машины и велосипедста) и решая уравнение $7t^2 - 16t - 15 = 0$, находим $t = 3$ (отрицательный корень не удовлетворяет условиям).

51

В этой задаче у нас было одно уравнение с двумя независями переменными. Такой случай встречется довольно редко, обычно в задачах переменные связи неокоторыми дополнительными соответствиями.

Задача 2 (МИСИ). Решить уравнение

$$20 \left( \frac{x-2}{x+1} \right)^2 - 5 \left( \frac{x+2}{x-1} \right)^2 + 48 \frac{x^2-4}{x^2-1} = 0.$$

Введем новые неизвестные $u = \frac{x-2}{x+1}$, $v = \frac{x+2}{x-1}$. Получим уравнение $20u^2 - 5v^2 + 48uv = 0$, однородное второй степени относительно $u$ и $v$. Дelimм обе его части на $v^2$ (легко видеть, что в случае $u = v = 0$ решений нет) и полагаем $\frac{u}{v} = t$. Получаем уравнение $20t^2 + 48t - 5 = 0$ с корнями $t_1 = -\frac{5}{2}$, $t_2 = \frac{1}{10}$.

В первом случае $\frac{u}{v} = -\frac{5}{2}$; $\frac{x-2}{x+1} : \frac{x+2}{x-1} = -\frac{5}{2}$; $\frac{x^2-3x+2}{x^2+3x+2} = -\frac{5}{2}$; $7x^2 + 9x + 14 = 0$, это уравнение действительных корней не имеет.

Во втором случае $\frac{u}{v} = \frac{1}{10}$; $\frac{x^2-3x+2}{x^2+3x+2} = \frac{1}{10}$; $3x^2 - 11x + 6 = 0$; $x_1 = 3$; $x_2 = \frac{2}{3}$.

Задача 3 (МИСИ). Решить уравнение

$$2(x^2+x+1)^2 - 7(x-1)^2 = 13(x^3-1).$$

Положим $u = x-1$, $v = x^2+x+1$. Тогда уравнение примет вид $2v^2 - 7u^2 = 13uv$. В случае $v = u = 0$ решений нет. Разделим обе части уравнения на $v^2$ и введем новое неизвестное $t = \frac{u}{v}$, получим уравнение $7t^2 + 13t - 2 = 0$ с корнями $t_1 = 1/7$, $t_2 = -2$.

В первом случае $\frac{x-1}{x^2+x+1} = \frac{1}{7}$, $x^2 - 6x + 8 = 0$, $x_1 = 2$, $x_2 = 4$; во втором $\frac{x-1}{x^2+x+1} = -2$, $2x^2 + 3x + 1 = 0$, $x_3 = -1$, $x_4 = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = 4$, $x_3 = -1$, $x_4 = -\frac{1}{2}$.

Задача 4 (МИСИ). Решить уравнение

$$x^2 + 2x + 15 = 2x\sqrt{2x+15}.$$

Введем еще одно неизвестное $u = \sqrt{2x+15}$. Получим однородное уравнение $x^2 + u^2 = 2xu$. Его можно решать как обычно, а можно представить в виде $(x-u)^2 = 0$, откуда $x = u$. Из уравнения $x = \sqrt{2x+15}$ следует $x^2 - 2x - 15 = 0$, $x_1 = -3$, $x_2 = 5$. Значение $x = -3$ не удовлетворяет уравнению (3), а $x = 5$ удовлетворяет.

Задача 5. Решить уравнение

$$2\sqrt[3]{x+1} - \sqrt[3]{x-1} = \sqrt[6]{x^2-1}.$$

Если положить $u = x+1$, $v = x-1$, то получится уравнение, которое можно было бы назвать «одноородным степени 1/3», если бы было dado соответствующое определение. Чтобы не иметь дела с дробными степями, положим

a) $u = \sqrt[6]{x+1}$, $u = \sqrt[6]{x-1}$, если $x \ge 1$;

b) $u = \sqrt[6]{-x-1}$, $v = \sqrt[6]{-x+1}$, если $x \leq -1$.

В первом случае приходим к уравнению $2u^2 - uv - v^2 = 0$, откуда делением на $v^2$ находится, $\sqrt[6]{x+1} = 1$, $x+1 = x-1$, так что на промежутке $x \ge 1$ исходное уравнение корней не имеет.

Во втором случае (при $x \leq -1$) получаем уравнение $-2u^2 - uv + v^2 =$

52

= 0, откуда $\sqrt[6]{\frac{x+1}{x-1}} = \frac{1}{2}$, $x = -\frac{65}{63}$.
Так как $-\frac{65}{63} \leq -1$, то это — корень исходного уравнения.

Задача 6. Решить систему уравнений

$$\begin{cases} 3x^2 - 2xy - y^2 = 0, \\ x^2 + 5y = 6. \end{cases}$$

Первое уравнение системы — однородное степеня 2. Деля обе его части на $y^2$ (случай $y = x = 0$ не является решением системы) и полагая $t = \frac{x}{y}$, приdem к квадратному уравнению $3t^2 - 2t - 1 = 0$, откуда $t_1 = 1$, $t_2 = -\frac{1}{3}$. Таким образом, либо $y = x$, либо $y = -3x$. Подставляя $y = x$, а затем $y = -3x$ во второе уравнение системы, найдем четыре ее решения: $x_1 = y_1 = 1; x_2 = y_2 = -6$;

$$x_{3,4} = \frac{15 \mp \sqrt{249}}{2},$$
$$y_{3,4} = \frac{-45 \pm \sqrt{249}}{2}.$$

Задача 7. Решить систему уравнений

$$\begin{cases} 3x^2 - \frac{25}{12}xy + 3y^2 = 50, \\ x^2 + y^2 = 25. \end{cases}$$

Эта система характера тем, что все члены, содержащие неизвестные, имеют вторую степень. Чтобы освободиться от свободного члена, умножим второе уравнение системы на 2 и вычтем его из первого. Рассмотрим систему уравнения, которая состоит из полученного уравнения (ono однородное) и второго уравнения исходной системы:

$$\begin{cases} x^2 - \frac{25}{12}xy + y^2 = 0, \\ x^2 + y^2 = 25. \end{cases}$$

Система (5) равnocильна система (4).

Из первого уравнения системы (5), положив $t = \frac{x}{y}$, находим: $t_1 = \frac{3}{4}, t_2 = \frac{4}{3}$. Подставляя $x = \frac{3}{4}y$ и $x = \frac{4}{3}y$ во второе уравнение системы, находим четыре решения: $x_{1,2} = \pm 3, y_{1,2} = \pm 4; x_{3,4} = \pm 4, y_{3,4} = \pm 3$.

Первое уравнение системы (5) определяляет пару прямых с уравнениями $x = \frac{3}{4}y$ и $x = \frac{4}{3}y$, а второе — уравнение окружности с радиусом 5 и центром в начале координат. Решения системы будут координаты точек пересечения прямых с окружностью (рис. 2).

Задача 8 (МИСИ). Решить систему уравнений

$$\begin{cases} 2x^2 - 3xy + y^2 = 3, \\ x^2 + 2xy - 2y^2 = 6. \end{cases}$$

Умножив первое уравнение системы на 2 и вычтя из него второе уравнение, приdem к системе

$$\begin{cases} 3x^2 - 8xy + 4y^2 = 0, \\ x^2 + 2xy - 2y^2 = 6, \end{cases}$$

в которой первое уравнение — однородное, его решения $x = 2y$ и $x = \frac{2}{3}y$. Подставив их во второе уравнение системы, находим два решения: $x_{1,2} = \pm 2, y_{1,2} = \pm 1$.

Рассмотрим примеры тригонометрических уравнений, решения которых можно свести к решению однородных уравнений.

53

Задание 9. Решить уравнение
$$2\sin x + 3\cos x = 0.$$

Это уравнение является однородным первой степени относительно sin x и cos x. Дelimм обе части уравнения на cos x (легко видеть, что при этом потери корней нет). Имеем:
$$2\mathrm{tg}x + 3 = 0, \quad \mathrm{tg}x = -\frac{3}{2}, \quad x = -\mathrm{arctg}\frac{3}{2} + \pi k \quad (k - \text{целое}).$$

Уравнение $a\sin^2x + b\sin x\cos x + c\cos^2x = 0$ приводится к виду $a\mathrm{tg}^2x + b\mathrm{tg}x + c = 0$.

Задание 10. Решить уравнение
$$\sin^2x - 3\sin x\cos x + 2\cos^2x = 0.$$

При делении частей уравнения на $\cos^2x$ потери корней не будет, поэтому получаем уравнение $\mathrm{tg}^2x - 3\mathrm{tg}x + 2 = 0$, откуда $\mathrm{tg}x_1 = 1$, $x_1 = \frac{\pi}{4} + \pi k$; $\mathrm{tg}x_2 = 2$, $x_2 = \mathrm{arctg}2 + \pi m \quad (k, m - \text{целые}).$

Уравнение $a\sin x + b\cos x = c$ допускает много способов решения. Его можно привести к однородному уравнению относительно sin $\frac{x}{2}$ и cos $\frac{x}{2}$, подставив sin $x = 2\sin \frac{x}{2} \times \cos \frac{x}{2}$, cos $x = \cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2}$, $c = c\left(\cos^2\frac{x}{2} + \sin^2\frac{x}{2}\right)$.

Задание 11. Решить уравнение
$$3\sin x + 5\cos x = -3.$$

Имеем: $3\sin x + 5\cos x - 3, \quad \sin^2\frac{x}{2} - 3\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} - 4\cos^2\frac{x}{2} = 0, \quad \mathrm{tg}^2\frac{x}{2} - 3\mathrm{tg}\frac{x}{2} - 4 = 0, \quad \mathrm{tg}\frac{x_1}{2} = -4, \quad x_1 = 2\mathrm{arctg}4 + 2\pi k; \quad \mathrm{tg}\frac{x_2}{2} = -1, \quad x_2 = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m \quad (k, m - \text{целые}).$

Заметим, что решение уравнения $a\sin x + b\cos x = c$ с помощью введения вспомогательного аргумента не всегда удобно. Решая, например, этим методом уравнение (6), получим
$$3\sin x + 5\cos x$$

$$\sqrt{34}\left(\frac{3}{\sqrt{34}}\sin x + \frac{5}{\sqrt{34}}\cos x\right) =$$

$$= \sqrt{34}\sin \left[x + \arcsin \frac{5}{\sqrt{34}}\right],$$

$$\sin \left(x + \arcsin \frac{5}{\sqrt{34}}\right) = -\frac{3}{\sqrt{34}},$$

$$x = (-1)^{m+1}\arcsin \frac{3}{\sqrt{34}} -$$

$$- \arcsin \frac{5}{\sqrt{34}} + \pi m \quad (m - \text{целое}).$$

Идея использования однородности при решении тригонометрических уравнений обогащается возможность увеличивать на 2 степени однолетов относительно $u = \sin x$, $v = \cos x$ путем домножения их на $\sin^2x + \cos^2x$.

Задание 12. Решить уравнение
$$4\sin^3x = \sin x + \cos x.$$

Домножая правую часть уравнения на $\sin^2x + \cos^2x$ и деля затем обе части на $\cos^3x$, приходим к уравнению
$$3\mathrm{tg}^3x - \mathrm{tg}^2x - \mathrm{tg}x - 1 = 0.$$

Догадавшись, что при разложении левой части на множители один из них должен равнять $\mathrm{tg}x - 1$ (так как $\mathrm{tg}x = 1$ удовлетворяет уравнению), мы без труда находим это разложение
$(\mathrm{tg}x - 1)(3\mathrm{tg}^2x + 2\mathrm{tg}x + 1) = 0$

и ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k \quad (k - \text{целое}).$

Удачной заменой к однородным можно свести и неокоторые показательные уравнения.

Задание 13 (МГУ, химфак, 1964). Решить уравнение
$$4^x = 2.14^x + 3.49^x.$$

Поляга $2^x = u, 7^x = v$, приходим к однородному относительно $u$ и $v$ уравнению второй степени $u^2 - 2uv$

54

• 3v² = 0. Решая это уравнение, находим:

a) $\frac{u}{v} = -1, \left(\frac{2}{7}\right)^x = -1$ – решейный нет;

6. $\frac{u}{v} = 3, \left(\frac{2}{7}\right)^x = 3, x = \log_{\frac{2}{7}} 3$.

Упражнения

1 (МГУ, механизм, 1964). Решить уравнение $6\sqrt[3]{x-3} + \sqrt[3]{x-2} = 5\sqrt[6]{(x-2)(x-3)}$.

2 (НГУ, 1970). Решить уравнение $5^{\log_2(x^2)} - 3^2\log_4(x^2/2) = \sqrt[3]{\log_2(\sqrt{2}/2)(2x^2)} - 5^{\log_2(x^2)} - 1$.

3 (УДН, 1971). Решить уравнение $(3 - 2\sqrt{2})^{x^2} - 6x + 9 + (3 + 2\sqrt{2})^{x^2} - 6x + 9 = 6$.

4 (МГУ, геофак, 1960). Решить уравнение $\sin 2x - \mathrm{tg} \frac{\pi}{6} \cos 2x = 1$.

5 (МГУ, биофак, 1966). Решить уравнение $2\sin 4x - 3\sin^2 2x = 1$.

6 (МГУ, химфак, 1964). Решить уравнение $3\cos^2 x - \sin^2 x - \sin 2x = 0$.

7. Решить систему уравнений

$$\begin{cases} x^2 + y\sqrt{xy} = 420, \\ y^2 + x\sqrt{xy} = 280. \end{cases}$$

8 (ЛПИ, 1963). Решить систему уравнений

$$\begin{cases} \frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{5}{2}, \\ x^2 - y^2 = 3. \end{cases}$$

9 (ЛПИ, 1964). Решить уравнение $7.3^{x+1} - 5^{x+2} = 3^{x+4} - 5^{x+3}$.

10 (МГУ, геофак, 1967). В пустой резервуар по двум trубам одновременно начиная поступать чистая вода и расторжать постоянная. После наполнения