Электродинамика движущихся сред

2

«Известно, что электродинамика Максвелла в современном ее виде приводит в применении к движущимся телам к асимметрии, которая несовойствана, по-видимому, самим явлениям». Так начинается знаменитая работа Альберта Эйштейна «К электродинамике движущихся тел»*). Далее Эйштейн рассматривает в качестве примера не какoenибудь новое, только что открытое явление, а явление электромагнитной индукции: при относительной движении проводника и магнита в проводнике возникает электрический ток. Это было установлено Фарадем еще в первой половине прошло столетия. Что же привлекло внимание молодого, в то время еще никому не известного случая его было patentов в швейцарском городе Берне к таким отнюдь не новому и, казалось бы, уже давно обьясенному факту? Эйштейна неSTRAВАЛО не то, что это явление нельзя было обьясить, а то, что оно одинаково хорошо обьясняется двумя совершенно различными способами.

В самом деле, если считать, что движется магнит, а проводник остается в покое, то в нем возникает электрический ток потому, что изменяющиеся магнитное поле вызывает появление электрического поля, которое и приводит в движение заряды

*) Эта работа была опубликована в немецком физическом журнале «Анналы физики» в 1905 году, то естьровно 70 лет тому назад. В ней Эйштейн сформулировал основные положения относительной ответственности.

С другой стороны, если принять, что перемещается проводник, а магнит поконтся (рис. 1), то появление тока обьясняется силой Лоренца, действующей со стороны магнитного поля на свободные электроны, которые находятся в проводнике и движется вместе с ним в магнитном поле. Если $B$ — индукция магнитного поля, $l$ — длина движущегося проводника, $v$ — его скорость, то работа силы Лоренца, относняя к единичному положительному заряду, то есть электродвижущая сила индукции $\mathcal{E}$, равна

$$\mathcal{E} = -vBl$$

(знак минус обьясняется правилом Ленца для направления индукционного тока).

Однако, рассуждает Эйштейн, мы имеем здесь дело с одним и тем же явлением: относительным движением магнита и проводника; так почему же для обьяснения одного явления мы предлагаем две различные принципы? Плюхо, когда явление не имеет обьяснения, но имеет два обьяснения ненамного лучше, либо кто может гарантировать нам, что они на самом деле не противоречат друг другу? Нет, не все в порядке в величественном здании электродинамики. И Эйштейн берет это исходным пунктом для критики современной ему науки, критики, которая привела к радиакальной перестройке наших представлений о пространстве и времени.

Как известно, специальный принцип относительно утверждения, что

3

законы приоды должны быть одинаковы, или, как говоря, инвариантны в различных системах отчета, движущихся друг относительно друга равномерно и прямолинейно. Инвариантность законов приоды не означает совпадения самих наблюдаемых явлений. Однако и то же явление, рассматриваемое в различных системах отчета, описывается обычно различных количественных характеристиками. Так, несмотря на то, что законы падения тела в поезде, движущаяся равномерно и прямолинейно, и на станции одни и те же, предмет, упавший с полки вагона, по-разному движется в системах отчета, связанных с поездом и со станцией. В первом случае он падает по вертикальной прямой, а во втором — по параболе. Причина этого состоит в различных условиях условий. Тело, которое не имело в поезде горизонтальной проекции скорости, в системе отчета, связанной со станцией, имеет ее.

В проечем, существуют и такие величины, которые не зависят от того, в какой системе отчета они изменяются. Они называются инвариантами. К их числу принадлежит, например, заряд. Это утверждение представляет собой вывод, основанный на очень большом числе экспериментальных фактов.

В отличие от заряда, многие другие важные физические величины,

Рис. 1.

Рис. 2.

4

через $B_x, B_y, B_z$ — проекции вектора магнитной индукции на оси координат неподвижной системы отчета. Значения тех же величины, измененные в подвижной системе отчета, будем обозначать со штихами $(E_x', B_x')$ и т. д.). Теория относительной дает следующие соотношения между этим значениями:

$$E_x' = E_x, \quad B_x' = B_x;$$

$$E_y' = \frac{E_y - vB_z}{\sqrt{1 - v^2/c^2}},$$

$$E_z' = \frac{E_z + vB_y}{\sqrt{1 - v^2/c^2}};$$

$$B_y' = \frac{B_y + \frac{v}{c^2}E_z}{\sqrt{1 - v^2/c^2}},$$

$$B_z' = \frac{B_z - \frac{v}{c^2}E_y}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}.$$

Мы видим, что значения направности электрического поля и индукции магнитного поля оказываются различными в разных системах отчета. Так, если в системе $K$ магнитного поля нет $(B_x = B_y = B_z = 0)$, то электрическое поле в движущей системе отчета возвращает в $1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$ раз и одновременно с этим в ней появляется магнитное поле. направление полей также меняется. Например, если в системе $K$ электрическое поле направлено по оси $Y$, то в $K'$ у него может появиться и проекция на ось $Z$ (при $B_y \neq 0$).

Рассмотрим такой пример. Предположим, что в неподвижной системе отчета $(K)$ имеет магнит, создавший магнитное поле $B$, линни индукции которого направлены вдоль оси $Z$, а электрическое поле отсутствуют. Тогда $B_z = B$, $B_x = B_y = 0$ и, кроме того, $E_x = E_y = E_z = 0$. Если $v \ll c$, то можно пренебречь в линчиной $v^2/c^2$ по сравнению с единицей и положить $\sqrt{1 - v^2/c^2} = 1$. Согласно первой из формул (3) получаем, что в движущей системе отчета возвращает электрическое поле,

$$E_y = \frac{E_y' + vB_z'}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}, \quad E_z = \frac{E_z' - vB_y'}{\sqrt{1 - v^2/c^2}};$$

$$B_y = \frac{B_y' - \frac{v}{c^2}E_z'}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}, \quad B_z = \frac{B_z' + \frac{v}{c^2}E_y'}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}.$$

Если, например, в движущей системе отчета магнитного поля нет,

5

то из (8) следует, что

$$B_y = \frac{-\frac{v}{c^2} E'_z}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \quad \text{и} \quad B_z = \frac{\frac{v}{c^2} E'_y}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.$$

т. е. в неподвижной системе отсечета оно существует. Наоборот, если в движущейся системе отсеета нет электрического поля, то в неподвижной системе поле, согласно (7), появится. Таким образом, вопрос о том, имеем ли мы дело с чисто электрическим или чисто магнитным полем и каково соответствие напряженности электрического поля и индукции магнитного поля, решается по-разному в различных системах отсечета. Или, другими словами, единое электромагнитное поле по-разному подзаделяется на электрическое и магнитное поля в различных системах отсечета.

Теория относительной позвольяет сократить число гипотез, которые лежат в основе электродинамики (пример с э. д. с. индукции для движущейся проводника). Теперь рассмотрим другой, не менее интересный пример, связанный с вопросом о силах, действующих на заряды. Мы постараемся показать, что для того чтобы найти силу, с которой магнитное поле действует на движущейся электрический заряд — силу Лоренца, — достаточно знать, как действует электросатическое поле на неподвижный заряд.

Воображим, что имеется заряжение тела, которое поконтся в системе отсечета $K'$, поскольку действие электрического поля уравновешено какой-либо другой силой, например силой упругости $F$. Предположим для определения, что электрическое поле в системе $K'$ направлено вдоль оси $X'$ (то есть $E'_y = E'_z = 0$), а магнитное поле — вдоль оси $Y'$ ($B'_x = B'_z = 0$). Сила, действующая на покоящийся электрический заряд $e$, равна произведению напряженности электрического поля на заряд. Так как заряжение тела поконтся, то сумма действующих на него сил

$$F_{\pi} = -e E_z = \frac{ev B'_y}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.$$

Эта сила и компенсирует действие электрического поля вдоль оси $Z$. Каково же произведение силы $F_{\pi}$? Согласно одному из уравнений (8), в системе $K$ есть и магнитное поле, индукция которого

$$B = B_y = \frac{B'_y}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.$$

Сравниваем (9) и (10), получаем, что $F_{\pi} = ev B$.

Следовательно, $F_{\pi}$ — это и сила Лоренца.

Разберем еще одну задачу: сформулировать закон Ома для движущей-

6

гося проводника. Этот вопрос стал особенно актуальным в связи с появлением магнитной гидродинамики—отрасли науки, исследующей законы движения проводящей среды (жидкость или газа) в магнитном поле. Такой средой может оказаться, например, жидкий металл или плазма, движущаяся в космическом пространстве.

Согласно принципу относительной в системе отчета, движущейся вместе с проводником, справедливый обичный закон Ома, установленный для неподвижного проводника. Так как различные части среды могут двигаться с разными скоростями, то мы будем рассматривать достаточно малый объем ее и запишем закон Ома в виде

$$j' = \lambda E'$$

где $j'$ — плотность тока, $E'$ — напряжение проводника электрического поля, а $\lambda$ — удельная электропроводность.

Пусть (как это объясно и бывают) рассматривается среда движется со скоростью, малыми по сравнению со скоростью света, так что $v^2/c^2 \ll 1$.

Будем считать, что среда как целое не заряжена (это тоже чаще всего выполняется); тогда плотность электрического тока $j$ в неподвижной системе отчета ($K$) равна $j'$. Для заряженной среды это было бы, конечно, не так, поскольку движущейся заряд эkvввалентен току. Для того чтобы получить закон Ома, то есть установить связь между $j$ и $E$, для движения проводника, нам осталось знать напряжение электрического поля $E'$ через ее значение $E$ в неподвижной системе отчета. Это можно сделать с помощью формул (2) и (3). Однако мы еще ничего не сказали о направлении движения проводника.

Если направление движения проводника (вдоль оси $X$) совпадает с направлением тока, а значит, и электрического поля, то, согласно (2), $E' = E_x' = E_x = E$. При этом закон Ома имеет тот же вид, что и для неподвижных проводников.

Рассмотрим теперь другой частиный случай. Пусть имеется магнитное поле $B$, направленное в неподвижной системе отчета вдоль оси $Z$ (то есть $B_z = B$, $B_x = B_y = 0$), пусть проводник движется параллельно оси $X$, а ток течет по оси $Y$ ($E_y = E$). Тогда в движущейся проводнике $E_x' = 0$, $E_z' = 0$ и $E' = E_y'$. При условии, что $v^2/c^2 \ll 1$, $E' = E - vB$ и

$$j = \lambda (E - vB).$$

В данном случае закон Ома для движения проводника от такогоого для неподвижного: ток зависит не только от напряженности электрического поля, но и от скорости движения проводника, а также от индукции магнитного поля.

В заключение — несолько задач для самостоятельного решения.

Уражнения

1. Описать движение заряженной частицы в однородных электрическом и магнитном полях, направленных под прямым углом друг к другу (скрещенные поля). Начальная скорость частицы перpendикулярна обомим полям.

2. Найти выражение для разности потенциальов между обкладками бесконечного плоского конденсатора, движущейся со скоростью $v$ вдоль направления его обкладок. В системе отчета, связанной с конденсатором, разность потенциальов задана и равна $\Delta \varphi_0$.

3. Определить электромагнитное поле электрона, движущаяся с постоянной скоростью $v$.