Bài toán độc giả của chúng tôi

29

những bước đi bất ngờ theo hướng không thể đoán trước; và phạm vi của những bước này sẽ thay đổi tài năng của một người.

Chúng tôi chỉ cần nhắc lại: đừng vội hoàn thành bài tập về nhà và đóng sách giáo khoa và vở lại. Hãy xem lại bài tập: họ đã nói gì với bạn điều gì mới? Có một sự thật cụ thể nào ẩn giấu trong chúng hay nó cho phép khái quát hóa? những nhiệm vụ nào đã được giải quyết tương tự? Có thể, mà không cần thay đổi phương thức lời giải, thành điều kiện bài toán không? và điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta loại bỏ một phần điều kiện bài toán? hoặc thay thế chúng bằng những từ đối lập của chúng? tăng cường các yêu cầu bài toán? thêm những hạn chế mới? Tất cả điều này là một cách tuyệt vời để khơi dậy trí tưởng tượng, sự đồng tình và sự tò mò có thể đang ngủ yên trong bạn.

Bài tập

1. Tìm hệ số nào $a_1, b_1, \dots, c_3$ của phương trình
   $$\frac{1}{a_1x + b_1y + c_1z} + \frac{1}{a_2x + b_2y + c_2z} + \frac{1}{a_3x + b_3y + c_3z} = 0$$
   có dạng $Ax^2 + By^2 + Cz^2 = 0$.

2. Giải phương trình $6x^2 = 2y^2 + z^2$ vì mục đích số học. Hãy thử tìm các phương trình khác thuộc loại $Ax^2 + By^2 + Cz^2 = 0$ có thể giải được vì mục đích tính số, cũng như cách giải chúng lời giải.

3. Cố gắng tìm các phương trình như $Ax^2 + By^2 + Cz^2 = 0$ không thể giải được vì mục đích số học (không tính số 0 lời giải).

4. Giải phương trình $xyz = yzv + xzv + xyv$ cho mục đích tính số.

5. Hãy đưa ra một khái quát hóa về bài toán sau: “Đã biết rằng với mọi giá trị của $x$
   $$a_1x^2 + b_1x + c_1 > a_2x^2 + b_2x + c_2$$.
   Chứng minh rằng $a_1 \geq a_2$, $c_1 \geq c_2»$.

6. Hãy nghĩ ra một cách khái quát hóa như thế này bài toán: “Tìm tổng của tất cả các phân số tối giản có giá trị 3 giữa các số nguyên dương $m$ và $n > m$.”

7. Tương tự cho bài toán: “Tìm một chương trình phép thuật mà trung bình phép thuật $n$ của các số hạng đầu tiên đối với bất kỳ $n$ nào đều bằng số của chúng.”

Nhiệm vụ

1. Trong hình bạn thấy hai đường tròn tiếp tuyến $l_1$ và $l_2$ có bán kính $R$ và $r = R/2$ tương ứng với $AB \perp O_1O_2$, $BC \perp O_1O_2$, tiếp tuyến với đường tròn $l_1$, $AC \perp$ tiếp tuyến với đường tròn $l_2$.

Chứng minh rằng độ dài của đoạn $BC$ bằng độ dài của đường tròn $l_1$ với sai số tương đối nhỏ hơn 0,005.

L. M. Dubinsky

2. Cho một parabol—đồ thị của hàm $y = x^2$. Trên trục $Oy$ lấy điểm $A$. Tìm khoảng cách ngắn nhất từ ​​điểm $A$ đến parabol.

Bạn có thể sử dụng định nghĩa sau: parabol là tập hợp các điểm cách đều một điểm nào đó $F$ và một đường thẳng nào đó $l$.

M. L. Preezer

3. Chứng minh rằng các số có dạng
   $$7^{2n+1} + 2^{2n+1} + 5,$$
   trong đó $n$ là số tự nhiên và không thể biểu diễn dưới dạng tổng của ba lập phương các số tự nhiên.

N. I. Mikhailov