Khám phá vĩ đại của lobachevsky

Khám phá vĩ đại của lobachevsky

Việc ngăn chặn Mặt trời, dễ di chuyển Trái đất hơn là giảm tổng các góc trong một tam giác, giảm các đường song song để hội tụ và di chuyển các đường vuông góc thành một đường thẳng một khoảng.

V. F. Kagan

Lịch sử của những khám phá vĩ đại luôn mang tính hướng dẫn. Nhưng tần suất chúng được tạo ra và dòng suy nghĩ đã dẫn nhà khoa học đến với chúng như thế nào vẫn chưa được biết! Thay vào đó, những truyền thuyết được tạo ra: về Archimedes, người đã phát hiện ra định luật của mình trong bồn tắm, hay về quả táo của Newton. Tuy nhiên, người ta biết rằng khi được hỏi làm thế nào mà ông đi đến khám phá này, Newton đã trả lời: “Bằng cách liên tục nghĩ về nó,” nhưng ông không mô tả suy nghĩ của mình ở bất cứ đâu cho đến khi làm cho chúng hoàn toàn rõ ràng.

Năm nay đánh dấu kỷ niệm 150 năm ngày Nikolai Ivanovich Lobachevsky phát hiện ra hình học phi Euclide. Ngày phát hiện này thường được coi là ngày 24 tháng 2 năm 1826, khi vị giáo sư trẻ trình bày báo cáo của mình trước Khoa Vật lý và Toán học của Đại học Kazan. Nội dung của báo cáo không còn tồn tại, nhưng theo tác giả, nội dung của nó đã được xuất bản vào năm 1829 trong một bài báo có tựa đề “Về các nguyên tắc hình học”.

Khám phá của Lobachevsky đã khiến người ta có thể gọi ông là “Copernicus của hình học” vào nửa sau thế kỷ trước, nhưng chỉ đến bây giờ ý nghĩa đầy đủ của ông đối với toán học nói chung và vật lý mới trở nên rõ ràng. Chúng tôi sẽ cố gắng mô tả ngắn gọn những ý tưởng của nhà hình học vĩ đại và làm nổi bật dòng tư tưởng đã dẫn đến chúng.

Lịch sử của vấn đề được lobachevsky giải quyết kéo dài hai thiên niên kỷ. Vào thế kỷ thứ ba trước Công nguyên, bản thảo Cơ sở của Euclid xuất hiện ở Alexandria, trong đó hình học được trình bày dưới một dạng hệ thống chặt chẽ, không khác nhiều so với dạng được chấp nhận trong sách giáo khoa hình học cho đến tận thời gian gần đây. Cách xây dựng của Euclid dựa trên một số phát biểu ban đầu (tiên đề) chưa được chứng minh. Tất cả các phát biểu khác (định lý) đều được suy ra một cách logic từ các tiên đề. Trong số tất cả các tiên đề của Euclid, “tiên đề song song” nổi bật: Hai đường thẳng $a$ và $b$, cắt nhau bởi một đường thẳng thứ ba, cắt nhau ở phía mà tổng các góc một bên $\alpha$ và $\beta$ nhỏ hơn tổng hai góc vuông (Hình 1).

Hình 1

Vị trí này đã thu hút sự chú ý của những người kế nhiệm và các nhà bình luận của Euclid vì nhiều lý do. Thứ nhất, nó phức tạp hơn tất cả các tiên đề khác - ví dụ như “Một đường thẳng đi qua hai điểm” hoặc “Tất cả các góc vuông đều bằng nhau”. Thứ hai, khẳng định ngược lại “Tổng hai góc của một tam giác nhỏ hơn hai đường thẳng” đã được chứng minh dễ dàng. Và do đó đã nảy sinh ý kiến ​​cho rằng “tiên đề song song” Euclide là có thể chứng minh được, nhưng bằng chứng này vẫn cần phải được tìm ra.

Niềm tin này đã trở nên phổ biến, và việc tìm kiếm bằng chứng cho tiên đề Euclid vẫn tiếp tục trong hai thiên niên kỷ ở Hy Lạp và Byzantium, ở Đông và Tây Âu. Tất cả những cuộc tìm kiếm này đều không dẫn đến kết quả gì. Principia vẫn được coi là một mô hình trình bày khoa học và chỉ có lý thuyết về sự tương đồng là cần được cải thiện.

Đến cuối thế kỷ 18, sự quan tâm đến lý thuyết này tăng lên. Ở Pháp, theo sáng kiến ​​của D’Alembert, một trong những tác giả của bộ Bách khoa toàn thư nổi tiếng, những nỗ lực đầu tiên đã được thực hiện nhằm cải thiện cách trình bày của Euclid về mặt phương pháp. Sách giáo khoa hình học của Legendre đã đáp ứng yêu cầu này, và trong mỗi lần xuất bản trong số mười lần xuất bản của nó, ngày càng có nhiều “bằng chứng” về tiên đề Euclid được đưa ra, cho đến lần xuất bản cuối cùng, tác giả đã công nhận tất cả những bằng chứng này là sai lầm.

Ở Đức, sự quan tâm đến tiên đề Euclid mang đậm tính chất triết học. Như nhà triết học duy tâm xuất sắc I. Kant (1724-1804) đã lập luận, tính bất biến của số học và hình học qua hàng nghìn năm cho thấy chúng không dựa trên kinh nghiệm mà là những lời dạy về thời gian và không gian, mà theo Kant, không tồn tại ở thế giới bên ngoài mà chỉ tương ứng với đặc thù nhận thức của con người. Do đó, các tiên đề hoàn toàn hợp lý nếu chúng “hiển nhiên”; vì tiên đề Euclid thiếu bằng chứng tự thân này nên nó phải được chứng minh.

Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856) tiếp cận lý thuyết về sự tương đồng khác với những người đi trước. Ông bắt đầu dạy hình học ngay sau khi tốt nghiệp Đại học Kazan. Những ghi chú trong các bài giảng của ông năm 1816-17, đến tai chúng ta, vẫn chứa đựng nỗ lực khéo léo để chứng minh tiên đề Euclid, nhưng vào năm 1823, ông đã viết trong sách giáo khoa hình học của mình: “Vẫn chưa tìm thấy bằng chứng chính xác về chân lý này”. Chúng ta có thể tìm kiếm sự biện minh cho lý thuyết song song ở đâu nếu tiên đề Euclid không thể suy luận một cách logic từ các tiên đề hình học khác? Trong đáp số Lobachevsky được giúp trả lời câu hỏi này bằng thái độ duy vật nhất quán của mình. Ông viết: “Hãy để công việc vô ích, cố gắng rút ra tất cả sự khôn ngoan từ một tâm trí; hãy hỏi thiên nhiên, cô ấy giữ tất cả sự thật và sẽ trả lời tất cả các câu hỏi của bạn một cách thỏa đáng.” Ở nơi khác, ông viết, bác bỏ rõ ràng khái niệm duy tâm tiên nghiệm của Kant: “Những khái niệm đầu tiên mà bất kỳ khoa học nào bắt đầu phải rõ ràng và được giảm thiểu đến số lượng nhỏ nhất. Khi đó, chúng mới có thể dùng làm nền tảng vững chắc và đầy đủ cho việc giảng dạy. Những khái niệm như vậy được thu thập bằng cảm giác, bẩm sinh - không nên tin.”

Vì vậy, các tiên đề, giống như mọi kết quả của tri thức, đều có nguồn gốc thực nghiệm. Nhưng nếu các tiên đề hình học khác dựa trên quan sát đơn giản hàng ngày thì tiên đề song song phức tạp hơn. Để chứng minh nó, cần phải có một thí nghiệm và một lý thuyết về thí nghiệm này. Tuy nhiên, lý thuyết này không thể là hình học Euclid vì đó là điều chúng ta muốn chứng minh. Nó nên tổng quát hơn và sâu sắc hơn.

Đây là lý thuyết mà lobachevsky tạo ra. Đầu tiên, ông cẩn thận gọi nó là “tưởng tượng” hình học, và sau đó, vào cuối đời, “Pangeometry,” tức là hình học phổ quát.

Chúng ta hãy quay lại Hình 1, giả sử để đơn giản rằng góc $\alpha$ là thẳng (Hình 2). Qua điểm $B$ ta vẽ được nhiều tia khác nhau trong nửa mặt phẳng bên phải cắt đường thẳng $a$. Khi chúng ta quay ngược chiều kim đồng hồ, cuối cùng chúng ta sẽ gặp tia đầu tiên không giao nhau; nó được gọi là song song với dòng $a$; Góc mà tia này tạo với tia $BA$ được gọi là góc song song. Đường thẳng $b$ chứa tia như vậy còn được gọi là song song $a$.

Hình 2

Tất cả những điều trên đều đúng bất kể tiên đề Euclid, trong đó phát biểu rằng góc song song là một đường thẳng, sao cho tại $\beta\lt d$ tia $b$ cắt đường thẳng $a$. Nếu không chấp nhận tiên đề này, thì chúng ta sẽ phải giới hạn mình trong một phát biểu tổng quát hơn và ít xác định hơn rằng góc song song $\Pi$ không vượt quá $d$. Lobachevsky đưa ra lý luận sâu hơn của mình dựa trên giả định này.

Nếu $\Pi=d$, thì tiên đề Euclid được tuân theo và tất cả các mệnh đề của hình học thông thường—Euclide, hay, như Lobachevsky gọi nó là, “chung”—theo sau nó. Nếu $\Pi\lt d$, thì giả định này sẽ dẫn đến những hệ quả hoàn toàn khác, vốn tạo nên nội dung của hình học mới - Lobachevsky gọi nó là “tưởng tượng”, và bây giờ chúng tôi gọi nó là hình học Lobachevsky.

Nhiều định lý về hình học “tưởng tượng” mà Lobachevsky đưa ra, rõ ràng mâu thuẫn với những ý tưởng thông thường của chúng ta, và cần có sức mạnh tư duy lớn lao để không chấp nhận những mâu thuẫn này là logic. Lobachevsky sở hữu sức mạnh này và đã phát triển hình học của mình một cách hoàn hảo, hoàn thiện nó bằng cách xây dựng một loại lượng giác (ngày nay thường được gọi là hyperbolic).

Hình 3

Một phần quan trọng trong hình học của Lobachevsky là học thuyết về tổng các góc của một tam giác. Xét tam giác $ABC$ (Hình 3), chúng ta sẽ xoay đường thẳng $BC$ ($b$) ngược chiều kim đồng hồ quanh điểm $B$. Nếu chúng ta không chấp nhận các tiên đề của Euclid, thì chúng ta phải giả sử rằng đường thẳng $b$ sẽ “tách ra” khỏi đường thẳng $a$ và trở nên song song với nó ngay cả trước khi tổng các góc $\alpha+\beta$ bằng $2d$. Mặt khác, dễ dàng chứng minh rằng khi đường thẳng $b$ quay thì giá trị của góc $\gamma$ tại điểm $C$ có xu hướng bằng không. Suy ra rằng tại một số vị trí của đường thẳng $b$ tổng các góc $\alpha+\beta+\gamma$ sẽ nhỏ hơn $2d$. Cũng có thể chứng minh rằng bất đẳng thức $\alpha+\beta+\gamma\lt2d$ đúng với mọi tam giác, do đó trong hình học Lobachevsky, tổng các góc trong của một tam giác nhỏ hơn hai đường thẳng.

Nhìn vào con số
$$\delta=2d-(\alpha+\beta+\gamma),$$
được gọi là khuyết khuyết tam giác, Lobachevsky rút ra công thức đáng chú ý sau:
$$\delta=\dfrac S{R^2},\tag1$$
trong đó $S$ là diện tích của hình tam giác và $R$ là một số giống nhau cho tất cả các hình tam giác. Đại lượng $R$, có thứ nguyên là chiều dài, được gọi là bán kính cong của không gian Lobachevsky, và đại lượng âm $K=-\dfrac1{R^2}$ là độ cong của không gian này. Trong không gian Euclide có $\delta=0$ và độ cong của nó được coi là bằng 0.

Bán kính cong có liên quan đến tất cả các công thức lượng giác hyperbol; vì vậy, ví dụ, công thức đúng
$$\tg\dfrac\Pi2=e^{-\frac{\scriptstyle\rho}{\scriptstyle R^2}},\tag2$$
trong đó $\Pi$ là góc song song (Hình 2), $\rho$ là “mũi tên”, là độ dài đường vuông góc $AB$.

Bây giờ chúng ta giả sử rằng $R=\infty$, tức là độ cong bằng 0 và chúng ta nhận được
$$\tg\dfrac\Pi2=1,$$
và điều này có nghĩa là góc song song là thẳng, một phát biểu tương đương với tiên đề Euclid. Đó là lý do tại sao Lobachevsky tin rằng hình học Euclide là một trường hợp cụ thể (hay nói đúng hơn là “giới hạn”) của hình học “tưởng tượng” của ông.

Công thức (1) và (2) cho thấy bán kính cong của không gian càng lớn thì sự khác biệt giữa hình học Euclide và hình học phi Euclide càng nhỏ. Mặt khác, những khác biệt này chủ yếu sẽ ảnh hưởng đến các hình có kích thước lớn: ví dụ: đối với một hình tam giác, những khác biệt này tăng theo diện tích của nó và đối với các đường thẳng song song - cùng với sự phát triển của “mũi tên” (Theo đó, trong hình học của Lobachevsky không có những hình như vậy. Ví dụ, hai hình tam giác có các góc bằng nhau tương ứng thì bằng nhau.)

Tất cả những điều này đều rõ ràng đối với Lobachevsky khi ông đặt ra câu hỏi kiểm tra thực nghiệm lý thuyết về sự tương đồng. Đây là những gì ông đã viết về điều này: “Những nỗ lực vô ích kể từ thời Euclid, trong khoảng thời gian hai nghìn năm, đã khiến tôi nghi ngờ rằng bản thân các khái niệm chưa chứa đựng sự thật mà họ muốn chứng minh và điều này chỉ có thể được xác minh bằng các thí nghiệm, chẳng hạn như quan sát thiên văn.”

Tại sao chính xác là quan sát thiên văn? Có, bởi vì thiên văn học quan sát những con số lớn nhất mà chúng ta có được.

Hãy xem xét một trong số họ. Đặt $B$ là điểm mà Trái đất tọa lạc và $B'$ là một điểm khác mà nó đến sau sáu tháng, sao cho $|BB'|=2|AB|$ là đường kính quỹ đạo trái đất, $A$ là tâm quỹ đạo và $|AB|$ là bán kính (Hình 4). Giả sử rằng có một ngôi sao cố định tại điểm $C$ và để đơn giản, chúng ta hãy giả sử rằng đường thẳng $CA$ vuông góc với mặt phẳng quỹ đạo của trái đất (đường hoàng đạo). Nếu $(BM)$ cũng vuông góc với mặt phẳng này thì góc $\eps=\widehat{CBM}$ được gọi là thị sai hàng năm của ngôi sao $C$ - nói cách khác, một nửa góc $2\eps$ được gọi là thị sai, theo đó tia nhìn di chuyển từ người quan sát trên trái đất đến một ngôi sao cố định bị lệch trong sáu tháng. (Trong sách giáo khoa thiên văn học, thị sai là góc mà từ một ngôi sao có thể nhìn thấy bán kính quỹ đạo của trái đất; nhưng chỉ có thể quan sát được góc $\eps$ và định nghĩa như vậy giả định trước rằng không gian là Euclide.)

Hình 4

Chúng ta hãy dựng một tia $BN$ song song với tia $AC$ và gọi khiếm khuyết song song là góc $\delta=d-\Pi$, góc này bù cho góc song song $\Pi$ thành một góc vuông. Khuyết tật song song biến mất nếu không gian là Euclide và trong mọi trường hợp đều thỏa mãn bất đẳng thức
$$\delta\lt\eps.\tag3$$

Do đó, sai số song song tương ứng với mũi tên $\rho$, bằng bán kính quỹ đạo Trái đất, nhỏ hơn bất kỳ thị sai hàng năm nào.

Các nhà thiên văn sử dụng thị sai để xác định khoảng cách tới các ngôi sao cố định. Thị sai đã được đo với số lượng lớn và có độ chính xác cao; cái nhỏ nhất trong số này có thứ tự $0{,}05''$ (một phần hai mươi giây cung). Khi tính đến điều này và bất đẳng thức (3), có thể rút ra từ công thức (2) rằng với sự trợ giúp của các quan sát thiên văn trực tiếp, không thể phát hiện ra sự khác biệt giữa hình học Euclide và hình học phi Euclid nếu bán kính cong của hình học sau lớn hơn sáu mươi năm ánh sáng. Mặt khác, hóa ra là nếu hình học của không gian bên ngoài khác với hình học Euclide thì sự khác biệt này là không đáng kể.

Dựa trên lập luận tương tự, Lobachevsky nói, “lý thuyết song song của chúng tôi chứng minh tính chính xác của mọi phép tính trong hình học thông thường và cho phép các nguyên tắc được chấp nhận của hình học thông thường này được coi như đã được chứng minh một cách nghiêm ngặt”.

Tuyên bố này, cũng như những tuyên bố khác từ các tác phẩm đầu tiên của Lobachevsky, cho thấy rằng ban đầu ông chỉ xem hình học “tưởng tượng” của mình như một phương tiện để chứng minh lý thuyết Euclide về sự song song. Tuy nhiên, vào giữa những năm 30, vào thời điểm xuất bản cuốn “Các nguyên tắc hình học mới với lý thuyết song song hoàn chỉnh”, ông đã có quan điểm khác. Lobachevsky nói: “Trong tự nhiên, chúng ta thực sự chỉ biết đến chuyển động, nếu không có chuyển động thì ấn tượng giác quan là không thể. Vì vậy, tất cả các khái niệm khác, chẳng hạn như hình học, đều do tâm trí chúng ta tạo ra một cách giả tạo, mang tính chất của chuyển động, và do đó, không gian riêng biệt không tồn tại đối với chúng ta. Sau đó, không còn có bất kỳ mâu thuẫn nào trong tâm trí chúng ta khi chúng ta thừa nhận rằng một số lực trong tự nhiên tuân theo một lực, những lực khác tuân theo hình học đặc biệt của riêng chúng.”

Những ý tưởng của lobachevsky không được những người cùng thời với ông hiểu rõ. Chỉ có nhà toán học vĩ đại người Đức Gauss (“vua của các nhà toán học”) đánh giá cao chúng, nhưng ông đã viết về điều này cho bạn bè của mình bằng những bức thư riêng được xuất bản sau cái chết của Lobachevsky. Ở Nga, các tác phẩm của Lobachevsky chỉ vấp phải những đánh giá tiêu cực thô lỗ và thậm chí là chế giễu xúc phạm. Chỉ có một nhà toán học, đồng nghiệp cấp dưới của Lobachevsky trong khoa, giáo sư P.I. Kotelnikov, đã quyết định thốt ra những lời tiên tri trong một bài phát biểu trước công chúng: “Tác phẩm của Lobachevsky sớm muộn gì cũng sẽ tìm đến những người sành sỏi”.

Tuy nhiên, lobachevsky đã không bỏ cuộc, xuất bản các công trình chứa nhiều cách tiếp cận khác nhau đối với hình học mới và các ứng dụng của nó trong việc tính tích phân. Trong tác phẩm cuối cùng của ông, “Pangeometry”, tác phẩm mà ông, vốn đã mù, viết ra ngay trước khi qua đời, câu hỏi về tính khả thi của phép đo hình học “tưởng tượng” trong không gian bên ngoài đã được thảo luận.

Những ý tưởng của nhà hình học vĩ đại người Nga chỉ nhận được sự công nhận trên toàn thế giới sau khi ông qua đời. Để hiểu điều này xảy ra như thế nào, bạn cần quay lại. Năm 1828, cuốn sách “Nghiên cứu về bề mặt cong” của Gauss được xuất bản, trong đó “hình học bề mặt” hay hình học bên trong của nó được xây dựng. Gauss đã đưa ra các công thức giúp tính toán độ dài cung của các đường cong trên một bề mặt, xác định góc giữa các đường cong hoặc diện tích của các khu vực bị giới hạn bởi chúng, tìm các đường trắc địa (tức là ngắn nhất) trên một bề mặt và xác định cái gọi là độ cong Gauss - một giá trị mô tả độ lệch của hình học bên trong của một bề mặt so với hình dạng của mặt phẳng.

Học trò của Gauss, F. Minding (1806-1885), người làm việc ở Dorpat (nay là thành phố Tartu), nghiên cứu cái gọi là giả quyển, tức là một bề mặt có độ cong Gauss không đổi, vào những năm 30 của thế kỷ trước, một số công thức lượng giác của các tam giác trắc địa trên bề mặt này đã thu được. Năm 1868, nhà hình học người Ý E. Beltrami đã thu hút sự chú ý đến thực tế là các công thức. Minding trùng khớp với các công thức hình học hyperbol của lobachevsky. Theo đó, hình học bên trong của giả cầu là hình học Lobachevsky.

Do đó, hóa ra là trong không gian Euclide có thể xây dựng một mô hình của mặt phẳng Lobachevsky; Thực tế này đã xua tan những nghi ngờ về tính nhất quán của hình học phi Euclide và nhanh chóng khiến nó được công nhận rộng rãi.

Sự quan tâm được khơi dậy bởi sự quen thuộc với những ý tưởng của Lobachevsky đã mang lại những hậu quả quan trọng. Từ những năm 70 của thế kỷ trước, các vấn đề cơ sở của hình học bắt đầu được phát triển chuyên sâu. Vào đầu thế kỷ của chúng ta, những cách trình bày khá chặt chẽ về khoa học này đã được xây dựng (D. Hilbert, V.F. Kagan), và công việc chứng minh số học, lý thuyết tập hợp, lý thuyết xác suất và logic bắt đầu được tiếp tục cho đến ngày nay. Trong những thập kỷ gần đây, công trình này đã trở nên rất phù hợp và đã nhận được những ứng dụng vào lý thuyết máy toán học.

Tất nhiên, bài tiểu luận ngắn này không đưa ra một ý tưởng hoàn chỉnh về hình học Lobachevsky. Những ai muốn làm quen sâu hơn với hình học “tưởng tượng” và các ứng dụng của nó trước hết có thể giới thiệu những cuốn sách sau:

1. P.A.Shirokov. Một phác thảo ngắn gọn về các nguyên tắc cơ bản của hình học Lobachevsky. - M.: Gostekhizdat, 1955. Chứa đựng cách trình bày dễ tiếp cận nhất về hình học Lobachevsky.
2. V. F. Kagan. Lobachevsky và hình học của ông. Tiểu luận phạm vi công cộng. - M.: Gostekhizdat, 1955.
3. A. P. Norden. Giới thiệu cơ bản về hình học Lobachevsky. - M.: Gostekhizdat, 1953.
4. A. P. Norden. Những câu hỏi chứng minh hình học trong tác phẩm của Lobachevsky //
   Nghiên cứu lịch sử và toán học. Vấn đề XI. - M.: Fizmatgiz, 1958.