“Tất cả”, “một số” và phủ định

Kvant 1976, số 2 tr. 61-63 Thẻ 6SMJ

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

Gần đây tôi đã có một cuộc trò chuyện thú vị với học sinh lớp sáu Alik, thành viên trung tâm của đội bóng sân trường chúng tôi.

Gì thế, Alik, cậu đang đi tập luyện à? Có lẽ vào mùa đông, bạn sẽ chuyển môn bóng đá của mình sang môn khúc côn cầu?

“Không có cách nào trên thế giới!” Alik hét lên đầy nhiệt huyết. “Vào mùa đông, bạn cần vay tiền và không nên chạy theo quả bóng.” Tất cả các cầu thủ khúc côn cầu đều học kém, nhưng các cầu thủ bóng đá học tốt hơn nhiều!

Tại sao cậu lại quyết định như vậy?
Và cái gì? Mọi người trong nhóm của chúng tôi đều nghĩ như vậy, tôi không đơn độc.
Không phải tất cả những người mà bạn đang nói đến bây giờ đều giống như những con khỉ khét tiếng trong cuốn sách “Muggly” của Kipling sao? Bạn có nhớ không, họ đã hét vang cả khu rừng: “Chúng ta vĩ đại! Chúng ta tự do! Chúng ta đáng được khen ngợi! Chúng ta đều nói như vậy, nên đó là sự thật!…”

“Con khỉ này là ai vậy?!” Alik rất phẫn nộ.

“Tôi không muốn xúc phạm bạn, Alik, nhưng bạn không thể chứng minh được điều gì bằng cách trích dẫn ý kiến của nhiều người.” Trái đất tròn nhưng thời xa xưa hầu như mọi người đều cho rằng nó phẳng. Những người da đỏ thuộc bộ tộc Snu, như thủ lĩnh Mato Nazhin của họ viết, thậm chí còn tin rằng Trái đất rất phẳng, và điều này đã xảy ra ở thế kỷ 19… Vậy tại sao tất cả những người chơi khúc côn cầu đều là học sinh nghèo?

Chà, đây là Seryozha Kukushkin. Anh ấy chơi khúc côn cầu mọi lúc và luôn bị điểm kém.

“Bạn nói như một người Pháp đã nói: “Tất cả đàn ông Anh đều lùn, bụ bẫm và da đen”, chỉ vì người phụ nữ Anh duy nhất mà anh ta gặp trông như vậy. Cả bạn và người Pháp này đều vi phạm luật logic.

Alik suy nghĩ về điều đó và tôi quyết định giúp anh ấy. Để bắt đầu, tôi kể câu chuyện này.

“Ở một thành phố, tôi nhìn thấy một tấm biển trên một ngôi nhà: “Nhà chúng tôi không có phòng đôi”. Không có cái bàn như vậy ở nhà bên cạnh. Bạn nghĩ sao, Alik, điều này có nghĩa là mọi người ở nhà bên cạnh đều là một cặp đôi?

“K-không,” Alik lẩm bẩm một cách không chắc chắn. Không nhất thiết phải như vậy. Điều này chỉ có nghĩa là ở đó có những học sinh kém… Ít nhất một học sinh kém… Hoặc có thể tất cả mọi người ở đó đều là học sinh kém. Không, tôi không biết, tôi không có ở đó!

— Cụm từ này có nghĩa là gì: “Không phải trong số các chàng trai có đôi”?

Giống như ở ngôi nhà đầu tiên - mọi người đều học mà không trượt.

“Vậy đó là một trong hai điều,” tôi nói với vẻ hài lòng. “Hoặc là mọi người đều học không bị điểm kém, hoặc trong nhà có ít nhất một học sinh kém.” Còn những người yêu thích bóng chày thì sao?

Và sau đó họ phát hiện ra rằng sau khi suy nghĩ, Alik có thể suy luận chính xác.

Một trong hai điều đúng: hoặc tất cả các cầu thủ khúc côn cầu đều học kém, hoặc không phải tất cả - có những cầu thủ khúc côn cầu học giỏi.
Nhưng ngay cả trong lớp sáng tạo, Alik, tôi biết ba học sinh xuất sắc thích đá bóng. Điều này có nghĩa là điều thứ hai đúng: có những cầu thủ khúc côn cầu học giỏi.
Tất nhiên rồi!
Vậy ví dụ đó với Seryozha Kukushkin có ý nghĩa gì?

Alik đang suy nghĩ.
— Rằng không phải tất cả người Hokken đều học giỏi…
Vì vậy, sau khi cố gắng suy luận một cách logic, bản thân Alik đã đưa ra kết luận chính xác.
Chúng tôi xử lý học sinh kém và học sinh Hockens tương đối nhanh chóng. Chúng ta hãy cố gắng hiểu cách suy luận trong những trường hợp phức tạp hơn. Ví dụ đầu tiên là với những quả bóng nhiều màu. Hãy tưởng tượng rằng nước tiểu (một hộp nhỏ) có thể chứa những quả bóng màu trắng và đỏ. Tất cả các quả bóng đều có cùng kích thước và có cảm giác không thể phân biệt được khi chạm vào. Có người nhúng tay vào nước tiểu và lấy ra một quả bóng. Ví dụ, quả bóng có màu đỏ. Bạn có thể nói gì về màu sắc của những quả bóng còn lại trong nước tiểu?
Một số người sẽ nói: “Tất cả các quả bóng đều màu đỏ.” Trên thực tế, điều này không đúng: chúng ta chỉ có thể nói rằng không phải một số (không nhất thiết là tất cả) quả bóng đều có màu đỏ. Cũng có thể có những quả bóng màu trắng. Cũng có thể quả bóng được rút ra là quả bóng màu đỏ duy nhất trong số những quả bóng màu trắng.
Một quả bóng màu đỏ được rút ra. Điều này có nghĩa là câu “Tất cả các quả bóng đều màu trắng” là sai. Điều gì đúng?—“Một số (ít nhất một) quả bóng có màu đỏ.” Hãy đi lạc thôi. Cho mỗi phát biểu sau đây là sai.

Tất cả các quả bóng trong nước tiểu đều có màu đỏ.
Một số quả bóng trong nước tiểu có màu đỏ.
Một số quả bóng trong nước tiểu có màu trắng.
Mọi tam giác đều đều là tam giác vuông.
Tất cả học sinh trong lớp đều có mặt tại cuộc họp.
Một số cô gái đã có mặt tại cuộc họp.
Hình thành các tuyên bố đúng sự thật.
Và bây giờ sơ đồ chung lời giải của tất cả bài toán tương tự là “phương thuốc kỳ diệu” của chúng tôi. Giả sử chúng ta có một tập M gồm những đồ vật như vậy (có thể là một vài quả bóng, một vài cuốn sách hoặc tất cả học sinh của một lớp nhất định). Mỗi phần tử của tập hợp này có thể có hoặc không có tính chất A nào đó. Ví dụ, quả bóng có thể có hoặc không có màu đỏ; hokkenst - trở thành kẻ thua cuộc hay không.
Quy luật là thế này: một phát biểu hoặc sự phủ định của nó đều có thể đúng. Tuy nhiên, chỉ có một trong hai!
(Theo logic, luật này được gọi là luật ngoại lệ premiezo.) Nghĩa là, mọi phát biểu mà chúng ta sử dụng

người dùng, đúng hoặc sai.
Tuyên bố $B$ là đúng hoặc phủ định của nó (tức là tuyên bố: “Tuyên bố $B$ không đúng”). Tất cả người chơi Hockens đều là những người học kém (họ có thuộc tính $A$ ). Nếu điều này sai thì ít nhất một Hokkenst là học sinh giỏi (không có thuộc tính $A$ ).

Vì vậy, đây là sơ đồ của chúng tôi:

Tuyên bố

Tất cả các mục từ $M$ đều có thuộc tính $A$ .
Một số mục từ $M$ có thuộc tính $A$ .
Sự phủ nhận của anh ấy
Ít nhất một mục từ $M$ không có thuộc tính $A$ .
Tất cả các mục từ $M$ không có thuộc tính $A$ .
Lưu ý rằng các câu lệnh “một số đối tượng có thuộc tính $A$ ” và “ít nhất một đối tượng (và có lẽ tất cả) có thuộc tính $A$ ” có nghĩa tương tự trong sơ đồ của chúng ta.
Và bây giờ - bài toán và.
Xây dựng phủ định của các khẳng định sau:
Tất cả các góc của một hình lục giác nhất định đều là các bộ dữ liệu.
Với mọi $x$ từ tập hợp $A$ , bất đẳng thức sau đúng: $x^2 > 4$ .
Một số người là trẻ em.
Đối với ít nhất một $x$ từ bộ $A$ sẽ có $x^2 - 2x + 1 = 0$ .
Tất cả đàn ông đều cao hơn 2 mét.
Tất cả các số nguyên tố đều là số lẻ.
Với mọi số nguyên tố $p$ thì số $2^p - 1$ cũng là số nguyên tố.
Hãy quay trở lại chiếc bình đựng những quả bóng mà khi chạm vào không thể phân biệt được. Bóng có thể có màu trắng, đỏ, xanh, đen.
Được biết, không phải tất cả các quả bóng trong bình đều có màu trắng. Có đúng là có quả bóng màu đỏ ở đó không?
Được biết, không phải tất cả các quả bóng đều có cùng màu. Có đúng là có ít nhất một quả bóng không phải màu trắng trong bình không?
Có 10 quả bóng trắng, 8 quả bóng đỏ, 11 quả bóng đen trong một chiếc bình. Phải lấy ra bao nhiêu quả bóng để chắc chắn lấy được quả bóng trắng? Tại sao bạn lại nhận được quả bóng có cả ba màu?
Và hai bài toán nữa - chỉ là cái cuối cùng.
Lớp có 5 học sinh giỏi, 20 học sinh giỏi và 10 học sinh C. Một học sinh xuất sắc chỉ được 5 điểm đáp số, một “học sinh giỏi” có thể được 4 hoặc 5, một học sinh C có thể được 3, 4 hoặc 5. Một giáo viên mới đến lớp, anh ấy không quen một học sinh nào. Anh ta phải gọi bao nhiêu người lên bảng để đảm bảo có ít nhất một chữ “A”?
Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ thỏa mãn các bất đẳng thức sau: $486 < n \leq 501$ - và ngoài ra, một và chỉ một trong các điều kiện sau là đúng:
a) số $n$ là số chẵn;
b) $n$ chia hết cho 3;
b) $n$ chia hết cho 2 hoặc 3;
d) $n$ không chia hết cho 3 mà chia hết cho 4;
e) $n$ không chia hết cho 3 hoặc 4;
e) $n$ chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 6;
g) $n$ chia hết cho 8 hoặc 9;
h) $n$ chia hết cho 3 và 4;
i) $n$ chia hết cho 11.

Nói cách khác, đối với mỗi số $n$ từ tập hợp mong muốn, chỉ một trong những điều kiện thứ chín này phải đúng.