«Все», «некоторые» и отрицание

Квант 1976, №2 с. 61-63 Тег 6SMJ

Был у меня недавно интересный разговор с шестиклассником Аликом, центральным направлением футбольной команды нашего двора.

— Что, Алик, бежиш на тренировку? Зимой, небось, сменишь свой футбол на хоккей?

— Ни за что на свете!— воскликнул Алик обженно.— Зимой надо занимать, а не бегать за шайбой. Все хоккейсты плохо учатся,— футбольные учатся гораздо лучше!

— Почему ты так решил?

— А что? Все так считают в нашей команде, не я один.

— А не каждая ли тебе, что ты рассуждаешь сейчас, как печально известные обезьяны из книги Киплинга «Маггли»? Помнишь, они кричали на весь лес: «Мы велики! Мы свободны! Мы достойны восхшення! Мы все так говорим, значит, это правда!…»

— Это кто же обезьяна?!— возмутился Алик.

— Я не хотел обидеть тебя, Алик, но ссылкой на мнение многих нельзя ничего доказать. Земля круглая, а в древности почти все думали, что она плоская. Индейцы племени сну, как пишет их воjdь Мато Нажин, считали даже, что Земля чет狸гульная, а было это уже в XIX веке… Так почему же все хоккейсты плохо учатся?

— Ну-y, вот Сережа Кукушкин. Он все время играет в хоккей и все время получает двойки.

— Ты рассуждаешь, как один францзик, который говорил: «Все английане низенькие, толстенькие и чернаявые»,— только потом, что так выглядел единственный английин, с которой он встречался. И ты, и этот францзик нарушает законы лоziки.

Алик задумался, а я решил помочь ему. Для начала расскаазал такую историю.

— В одном городе я видел на доме таблицу: «В нашей дома нет двоеники». На соседнем доме такой таблицы не было. Как по-твоему, Алик, значит ли это, что в соседнем доме все были двоеники?

— Н-нет,— пробормотал Алик неуверенно. Не обязательно. Это значит только, что там есть двоеники… Хотя бы один двоеник… А может быть, и все там учатся на двойки. Нет, не знаю, я ведь не был там!

— А что же означает такая фраза: «Неверно, что среди ребят есть двоеники»?

— Это как в первом доме — все учатся без двоеки.

— Значит, одно из двух,— сказал я удовлетворенно.— Любо все учатся без двоеки, либо в доме есть хотя бы один двоеник. А что можно сказать о любителях шайбы?

И тут выяснили, что Алик может, подумавши, рассуждать правильно.

— Верно одно из двух: либо все хоккейсты плохо учатся, либо не все,— есть хоккейсты, которые учатся хорошо.

— Но даже в творем классе, Алик, я знаю троих отличников, которые любят гонять шайбу. Значит, верно второе: бывают хоккейсты, которые хорошо учатся.

— Ну, конечно!

— А что же тогда означает той пример с Сережей Кукушкиным?

Алик задумывает.
— Что не все хоккенсты хорошо учается…
Итак, попробовав рассудать логично, Алик сам приSEL к правильному выводу.
С двоечниками и хоккенстами мы разобрались сравнительно быстро. Попробуем понять, как следует рассудать в более сложных случаях. Первый пример — с разноцветными шарами. Представим себе, что в urine (небольном ящике) могут лежать, скажем, белые и красные шары. Все шары одинакового размера и неразличны на ощупь. Кто-то опускает руку в urine и вынимает шар. Шар оказывается, к примеру, красным. Что можно сказать о цвете остальных шаров, лежащих в urine?
Некоторые сказут: «Все шары красные». На самом деле это не верно: можно лишь утверждать, что не екоторые (не обязательно все) шары красные. Могут быть и белые шары. Может быть и так, что вынутий шар — единственный красный среди белых.
Был вынуит красный шар. Значит, неверно утверждение: «Все шары белые». А что верно?—«Некоторые (по крайней мере один) шары красные». Давайте потерируемся. Пусть каждое из следующих утверждений неверно.

Все шары в urine красные.
Некоторые шары в urine красные.
Некоторые шары в urine белые.
Все равноведенные треугольники являются прямоугольными.
Все ученики классы были на собрании.
Некоторые девочки были на собрании.
Сформилируйте верные утверждения.
А теперь общая схема решения всех подобных задач — наше «волшебное средство». Пусть у нас есть множество M таких-то объектов (это может быть несколько шаров, или несколько книг, или все ученики какого-то класса). Каждый из элементов этого множество может обладать, а может и не обладать некоторым свойством A. Например, шар может быть красным, а может и не быть; хоккенст — быть или не быть двоечником.
Закон такой: верно может быть либо утверждение, либо его отрицание. Однако и только одно из двух!
(В логике этот закон называется законом исключению премьезо.) То есть, каждое утверждение, которое мы ис-

пользователь, либо верно, либо неверно.
Любо верно утверждение $B$ , либо его отрицание (то есть утверждение: «Утверждение $B$ не верно»). Любо все хоккенсты плохо учатся (обладают свойством $A$ ). Если же это неверно, то хотя бы один хоккенст учится хорошо (не обладает свойством $A$ ).

Итак, вот наша схема:

Утверждение

Все предметы из $M$ обладают свойством $A$ .
Некоторые предметы из $M$ обладают свойством $A$ .
Его отрицание
Хотя бы один предмет из $M$ не обладает свойством $A$ .
Все предметы из $M$ не обладают свойством $A$ .
Обратите внимание на то, что утверждение «некоморые предметы обладают свойством $A$ » и «хотя бы один предмет (а может быть, и все) обладают свойством $A$ » ознакомют в нашей схеме одно и то же.
А теперь — задач и.
Постройте отрицания следующих утверждений:
Все углы данного шестиугольника туples.
Для любого $x$ из множества $A$ выполнен неравенство: $x^2 > 4$ .
Некоторые люди — детей.
По крайней мере для одного $x$ из множества $A$ будет $x^2 - 2x + 1 = 0$ .
Все мужчины выше 2-х метров.
Все простые числа — нечетные.
Для любого простого $p$ число $2^p - 1$ тоже простое.
Вернемся к урне, в котором лежат шары, неразличные на ощупы. Шары могут быть белого, красного, синего, черного цветов.
Известно, что не все шары в урне белые. Верно ли, что там есть красный шар?
Известно, что не все шары одного цвета. Верно ли, что в урне есть хотя бы один не белый шар?
В урне 10 белых, 8 красных, 11 черных шаров. Сколько из них надо вынуть, чтобы наверняка попался белый шар? Чтоы попались шары всех трех цветов?
И еще две задачи — чуть последнее.
В классе 5 отличников, 20 «хорошистов» и 10 треоечников. Отличник может получить за ответ только 5, «хорошист» — 4 или 5, треоечник — 3, 4 или 5. В классе пришел новый учитель, он не знает никакого из учеников. Сколько человек ему достаюно вызывать к доске, чтобы наверняка была поставлена хотя бы одна пятерка?
Найдите все натуральные числа $n$ , для которых справедливые неравенства: $486 < n \leq 501$ — и, кроме того, верно одно и только одно из следующих условий:
a) число $n$ — четное;
b) $n$ делится на 3;
b) $n$ делится на 2 или на 3;
г) $n$ не делится на 3, но делится на 4;
д) $n$ не делится на 3, ни на 4;
e) $n$ делится на 3, но не делится на 6;
ж) $n$ делится на 8 или на 9;
з) $n$ делится на 3, и на 4;
и) $n$ делится на 11.

Иначе говоря, для каждого числа $n$ из искомого множества должно быть верно только одно из этих девятых условий.